Ein Würfel mit vier Seiten wird einmal geworfen. Man nennt ihn kurz W4.
Mehr ist nicht gegeben, und mehr wird auch nicht gebraucht.
Das Wort fair heißt: keine Seite fällt öfter als eine andere. Jede der vier Zahlen ist
gleich wahrscheinlich. Für diese Aufgabe spielt das noch keine Rolle. Es wird erst wichtig,
wenn Wahrscheinlichkeiten gerechnet werden.
Merke: Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem man den Ablauf kennt, das
Ergebnis aber nicht vorhersagen kann. Der Wurf des W4 ist so ein Zufallsexperiment.
So gehen wir vor:
- Alle möglichen Ergebnisse als Menge Ω aufschreiben.
- Jedes Ergebnis einzeln als Menge schreiben.
- Für a) und b) die passenden Zahlen aus Ω heraussuchen.
Ω={1,2,3,4}
Zuerst eine Schreibweise. Eine Menge ist eine Sammlung von Dingen. Man schreibt sie
in geschweiften Klammern, zum Beispiel {1,2,3,4}. Die Dinge darin heißen
Elemente. Die Reihenfolge spielt keine Rolle, und jedes Element steht nur einmal
darin.
Im ersten Schritt schreibt man auf, was überhaupt passieren kann. Beim W4 sind das
die vier Zahlen 1, 2, 3 und 4. Das kommt zuerst, weil jedes spätere Ereignis aus genau
diesen Zahlen ausgewählt wird.
Diese Menge heißt Ergebnisraum und bekommt das Zeichen Ω (gesprochen:
Omega). In der Aufgabe und im Skript heißt sie Ereignisraum. Beide Wörter meinen
dasselbe: die Menge aller möglichen Ergebnisse.
∣Ω∣=4 liest man als „Omega hat vier Elemente". Die zwei senkrechten Striche
zählen, wie viele Elemente in der Menge liegen.
{1}, {2}, {3}, {4}
Für ein einzelnes Ergebnis schreibt man das kleine Omega ω. ω∈Ω
heißt: ω ist ein Element von Ω, also eine der Zahlen 1, 2, 3 oder 4. Das
Zeichen ∈ liest man „ist Element von".
Ein Elementarereignis ist ein einzelnes Ergebnis, das sich nicht weiter zerlegen
lässt: der Würfel zeigt genau eine Zahl. Beim W4 gibt es also vier Elementarereignisse.
Merke: Das Skript nennt jedes einzelne Element von
Ω ein Elementarereignis
und schreibt es als Menge:
ω1={1},
ω2={2} usw. Die Klammern
zeigen: Auch ein einzelnes Ergebnis ist eine Menge, nur eben mit genau einem Element.
Jetzt sind zwei Ereignisse in Worten gegeben. Ein Ereignis ist eine Auswahl aus
Ω, also eine Teilmenge: Jedes seiner Elemente liegt auch in Ω. Man
schreibt A⊆Ω und liest „A ist Teilmenge von Omega". Beispiel: „es fällt
eine 1 oder eine 3" ist die Auswahl {1,3}.
Das Vorgehen ist für beide Ereignisse dasselbe:
| 1. Bedingung lesen |
„kleiner als 3" |
| 2. Jede Zahl aus Ω prüfen |
1? 2? 3? 4? |
| 3. Passende Zahlen einsammeln |
Menge |
Man geht Ω also einmal durch und nimmt mit, was die Bedingung erfüllt. So wird
keine Zahl vergessen.
A={1,2}
Der Reihe nach: 1 ist kleiner als 3, passt. 2 ist kleiner als 3, passt. 3 ist
nicht kleiner als 3, passt nicht. 4 ist größer als 3, passt nicht.
Übrig bleibt A={1,2}.
Im Lösungsweg steht dafür A={ω∈Ω∣ω<3}. So liest man
das: „A ist die Menge aller ω aus Ω, für die gilt: ω ist kleiner als
3." Der senkrechte Strich ∣ bedeutet „für die gilt".
Vorsicht: „kleiner als 3" heißt
ω<3, die 3 gehört also
nicht dazu. Nur bei „höchstens 3" wäre sie dabei.
B={2,4}
Wir prüfen jede Zahl: 1 : 2 geht nicht glatt auf, passt nicht. 2 : 2 = 1, passt. 3 : 2
geht nicht glatt auf, passt nicht. 4 : 2 = 2, passt.
Also B={2,4}. Zahlen, die durch 2 teilbar sind, heißen gerade. Deshalb steht
im Lösungsweg „ω ist gerade".
Beide Ereignisse liegen vollständig in Ω: A⊆Ω und B⊆Ω. Das muss so sein, denn ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ergebnisraums.
Im Bild hat die 2 jetzt eine eigene Farbe. Sie war schon in A und ist jetzt auch in B.
Mehr dazu im nächsten Schritt.
A∩B={2}
Am Würfelbild sieht man zwei Dinge, die in den nächsten Aufgaben gebraucht werden:
-
Die 2 gehört zu A und zu B. A∩B (gelesen „A geschnitten B", der
Schnitt) enthält genau die Zahlen, die in beiden Mengen liegen: A∩B={2}.
- Die 3 gehört zu keinem der beiden Ereignisse.
A∪B (gelesen „A vereinigt B", die Vereinigung) enthält die Zahlen, die in
A oder in B liegen oder in beiden: A∪B={1,2,4}. Die 2 steht dabei
nur einmal darin, weil jedes Element in einer Menge nur einmal vorkommt.
Schnitt und Vereinigung kommen ausführlich in Aufgabe 3 dran.
(i) Ω={1,2,3,4} mit den Elementarereignissen {1},{2},{3},{4}.
(ii) A={1,2} und B={2,4}.
Rückblick: Erst
Ω aufschreiben, dann jedes Ereignis daraus aussuchen. Diese
Reihenfolge trägt alle folgenden Aufgaben.