Drei Mengen sind gegeben:
| Ω (Grundmenge) |
1, 2, 3, 4, 5, 6 |
| A |
1, 2, 3 |
| B |
2, 4, 6 |
Ω ist die Grundmenge: alle Zahlen, die überhaupt vorkommen können. A und B sind
Teile davon. Man kann sich einen Würfel vorstellen: Ω sind die Augenzahlen 1 bis 6, A
ist „höchstens 3“, B ist „gerade Zahl“.
Aus Aufgabe 1 („Ergebnisraum und Ereignisse“): Ω heißt dort Ergebnisraum, also
die Menge aller möglichen Ergebnisse. Ein Ereignis wie
A ist eine Teilmenge davon.
Gefragt sind fünf neue Mengen, die aus A und B gebildet werden. Das braucht man später
ständig: A∪B heißt dann „A oder B tritt ein“, A∩B heißt „beide treten ein“.
Das Werkzeug: ein Venn-Diagramm. Es zeichnet Mengen als Flächen. Das Rechteck
ist Ω. Der linke Kreis ist A, der rechte Kreis ist B. Steht eine Zahl in einem
Kreis, gehört sie zu dieser Menge. Steht sie nur im Rechteck, gehört sie zu Ω, aber
weder zu A noch zu B.
Der Weg: Zuerst bekommt jede Zahl ihren Platz im Bild (Schritt 1). Danach wird jede der
fünf Mengen im Bild abgelesen (Schritte 2 bis 6).
Für jede Zahl aus Ω gibt es zwei Fragen: Liegt sie in A, ja oder nein? Liegt sie
in B, ja oder nein? Das ergibt 2⋅2=4 Möglichkeiten. Deshalb teilen die zwei
Kreise das Rechteck in vier Bereiche.
| Zahl |
in A? |
in B? |
Bereich |
| 1, 3 |
ja |
nein |
nur A |
| 2 |
ja |
ja |
in beiden |
| 4, 6 |
nein |
ja |
nur B |
| 5 |
nein |
nein |
in keinem |
Der Bereich „in beiden“ ist die Überlappung der zwei Kreise in der Mitte. Der Bereich „in
keinem“ ist die Fläche im Rechteck außerhalb beider Kreise.
Merke: Jede Zahl steht an genau einer Stelle. Wenn am Ende alle sechs Zahlen
einmal im Bild stehen, ist nichts verloren gegangen.
A∪B={1,2,3,4,6}
Das Zeichen ∪ heißt Vereinigung. Man liest A∪B als „A vereinigt B“.
Eine Zahl gehört dazu, wenn sie in A oder in B liegt. Auch eine Zahl, die in
beiden liegt, gehört dazu.
Im Bild sind das beide Kreise zusammen: die Bereiche „nur A“, „in beiden“ und „nur
B“. Also 1, 3, dann 2, dann 4 und 6.
Vorsicht: Die 2 liegt in beiden Mengen, wird aber nur einmal aufgeschrieben.
In einer Menge steht jedes Element höchstens einmal.
A∩B={2}
Das Zeichen ∩ heißt Durchschnitt, kurz auch Schnitt. Man liest A∩B als
„A geschnitten B“.
Eine Zahl gehört dazu, wenn sie in A und in B liegt.
Das trifft nur auf die 2 zu. Im Bild ist das der Bereich „in beiden“, also die
Überlappung in der Mitte.
Eselsbrücke: ∩ sieht aus wie ein Dach und steht für
und,
∪ wie ein
Becher und steht für
oder.
A∖B={1,3}
Das Zeichen ∖ heißt Differenz. Man liest A∖B als „A ohne
B“. Gemeint ist alles aus A, was nicht zugleich in B liegt.
Aus A={1,2,3} fällt die 2 heraus, weil sie auch in B liegt. Übrig bleiben 1 und
3. Im Bild ist das der Bereich „nur A“.
Die Reihenfolge zählt: B∖A wäre {4,6}, also etwas anderes.
Ac={4,5,6}
Das Komplement Ac ist alles, was in Ω liegt, aber nicht in A. Als
Formel: Ac=Ω∖A, also „Ω ohne A“.
Das hochgestellte c kommt vom englischen Wort „complement“, auf Deutsch Ergänzung.
Ac ergänzt A zur ganzen Grundmenge Ω.
Im Bild ist das die gesamte Fläche außerhalb des linken Kreises: der Bereich „nur
B“ und der Bereich „in keinem“.
Aus Aufgabe 2 („Zwei Münzen gleichzeitig“): Dort hieß
Ac Gegenereignis. Zu
„mindestens einmal Kopf“ war das „kein einziges Mal Kopf“.
Vorsicht: Die
5 wird leicht vergessen, weil sie in keinem der beiden Kreise
liegt. Sie gehört trotzdem zu
Ω und damit zu
Ac.
Ac∩B={4,6}
Das kleine c steht nur an A, nicht am ganzen Ausdruck. Deshalb bildet man zuerst
Ac={4,5,6} aus Teil (iv). Danach bildet man den Durchschnitt mit B={2,4,6}.
Wäre das Komplement vom ganzen Ausdruck gemeint, stünde eine Klammer da: (A∩B)c.
Das ist eine andere Menge.
Gemeinsam haben Ac und B die 4 und die 6. Die 5 fehlt in B, die 2 fehlt in
Ac.
Das Ergebnis ist genau der Bereich „nur B“. Damit ist es dasselbe wie B∖A.
Beide Schreibweisen beschreiben dieselbe Menge.
(i) {1,2,3,4,6} (ii) {2} (iii) {1,3} (iv) {4,5,6}
(v) {4,6}
Rückblick: Ein einziges Bild beantwortet alle fünf Teilaufgaben. Der Aufwand steckt
im Einordnen der Zahlen, nicht im Rechnen.