Ist das eine Wahrscheinlichkeitsfunktion?

Schritt 0 Die Aufgabe

Überprüfen Sie, welche der folgenden Funktionen eine gültige Wahrscheinlichkeitsfunktion $P$ auf $\Omega = \{1, 2, 3\}$ definiert:

$P(\{1\}) = 0{,}5$ , $P(\{2\}) = 0{,}3$ , $P(\{3\}) = 0{,}2$
$P(\{1\}) = 0{,}6$ , $P(\{2\}) = 0{,}5$ , $P(\{3\}) = -0{,}1$
$P(\{1\}) = 1/3$ , $P(\{2\}) = 1/3$ , $P(\{3\}) = 1/3$

Die Prüfliste

beide Bedingungen müssen erfüllt sein

Schritt 1 Zwei Bedingungen

1. Kein Wert darf negativ sein (dass keiner größer als 1 ist, folgt dann aus Punkt 2)

P(\{1\}) \ge 0, \quad P(\{2\}) \ge 0, \quad P(\{3\}) \ge 0

2. Alle Werte zusammen müssen genau 1 ergeben (Zerlegungsregel und Normiertheit)

P(\{1\}) + P(\{2\}) + P(\{3\}) = P(\Omega) = 1

(i) 0,5 · 0,3 · 0,2

Summe prüfen, Vorzeichen prüfen

Schritt 2 0,5 · 0,3 · 0,2

Summe

0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}8 + 0{,}2 = 1 \qquad\text{und alle Werte} \ge 0 \;\Rightarrow\; \text{gültig}

(ii) 0,6 · 0,5 · −0,1

die Summe allein genügt nicht

Schritt 3 Die Summe stimmt hier sogar

Die Summe stimmt sogar

0{,}6 + 0{,}5 + (-0{,}1) = 1{,}1 - 0{,}1 = 1

Schritt 4 Trotzdem nicht erlaubt

Aber die erste Bedingung ist verletzt

P(\{3\}) = -0{,}1 < 0 \;\Rightarrow\; \text{keine Wahrscheinlichkeitsfunktion}

(iii) 1/3 · 1/3 · 1/3

gültig — und ein Sonderfall

Schritt 5 Dreimal ein Drittel

Summe und Vorzeichen

\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{3}{3} = 1, \qquad \tfrac{1}{3} > 0 \;\Rightarrow\; \text{gültig}

Schritt 6 Sogar ein Laplace-Raum

Alle Elementarereignisse sind gleich wahrscheinlich

|\Omega| = 3, \qquad P(\{\omega\}) = \frac{1}{|\Omega|} = \frac{1}{3} \ \text{ für jedes } \omega \in \Omega \;\Rightarrow\; \text{Laplace-Raum}

Schritt 7 Ergebnis

✓(i) gültig — Summe 1, kein Wert negativ

✓(ii) nicht gültig —

P(\{3\}) = -0{,}1

ist negativ, obwohl die Summe 1 ergibt

✓(iii) gültig — und sogar ein Laplace-Raum

Eine Wahrscheinlichkeit ist der Anteil der Versuche, in denen ein Ereignis bei sehr vielen Wiederholungen eintritt. Etwas kann nicht seltener als „nie" eintreten. Deshalb sind negative Werte ausgeschlossen.

Nichtnegativität	jedes Ereignis bekommt eine Zahl zwischen 0 und 1
Normiertheit	$P(\Omega) = 1$