Rechenregeln am Würfel

Schritt 0 Die Aufgabe

Ein fairer, 6-seitiger Würfel (W6) wird geworfen. Beschreiben Sie die Ereignisse mit Mengen und berechnen Sie mit den Rechenregeln der Vorlesung:

$P(\text{„gerade Zahl oder Zahl} > 4\text{"})$
$P(\text{„ungerade Zahl und Zahl} \le 3\text{"})$
$P(\text{„keine 6"})$

(i) Gerade Zahl oder Zahl > 4

Additivitätsregel

Schritt 1 Die beiden Ereignisse aufschreiben

Beide Ereignisse als Mengen, dazu ihr Schnitt

A = \{2, 4, 6\}, \qquad B = \{5, 6\}, \qquad A \cap B = \{6\}

Abzählen: Anzahl der Zahlen geteilt durch 6

P(A) = \frac{3}{6}, \qquad P(B) = \frac{2}{6}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Schritt 2 Warum man nicht einfach addiert

Additivitätsregel

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Schritt 3 Einsetzen und kürzen

Werte einsetzen

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{4 : 2}{6 : 2} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667

(ii) Ungerade Zahl und Zahl ≤ 3

Zerlegungsregel

Schritt 4 „und" heißt Durchschnitt

Beide Bedingungen als Mengen (

\le 3

heißt: höchstens 3), dazu die Zahlen, die in beiden liegen

A = \{1, 3, 5\}, \qquad B = \{1, 2, 3\}, \qquad A \cap B = \{1, 3\}

Schritt 5 Zerlegungsregel

Zerlegungsregel: die Werte der einzelnen Ergebnisse addieren

P(E) = P(\{\omega_1\}) + \dots + P(\{\omega_n\})

P(A \cap B) = P(\{1\}) + P(\{3\}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333

(iii) Keine 6

Komplementsatz

Schritt 6 Keine 6 — über das Gegenereignis

Statt fünf Fälle aufzuzählen: das Gegenereignis nehmen

A = \{6\} \quad\text{mit}\quad P(A) = \frac{1}{6}, \qquad A^{c} = \{1, 2, 3, 4, 5\}

Schritt 7 Komplementsatz

Komplementsatz: 1 minus die Wahrscheinlichkeit der 6

P(A^{c}) = 1 - P(A) = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0{,}833

Schritt 8 Ergebnis

✓(i)

P(A \cup B) = 4/6 = 2/3 \approx 0{,}667

✓(ii)

P(A \cap B) = 2/6 = 1/3 \approx 0{,}333

✓(iii)

P(A^{c}) = 5/6 \approx 0{,}833

Probe: Alle drei Ergebnisse lassen sich am Bild nachzählen — vier, zwei und fünf von sechs Kästchen. In Worten: Bei etwa 2 von 3 Würfen fällt eine gerade Zahl oder eine Zahl größer als 4. Bei etwa 1 von 3 Würfen fällt eine 1 oder eine 3. Bei etwa 5 von 6 Würfen fällt keine 6. Gerundet ist auf drei Nachkommastellen.

1. Den Satz in Mengen übersetzen	A, B
2. Die gesuchte Menge bestimmen	oder / und / kein
3. Die passende Regel anwenden	Werte einsetzen