Gegeben sind vier Anzahlen: 54 Personen mit Blutgruppe A, 16 mit B, 4 mit AB und 49 mit 0. Die
Blutgruppe 0 (gesprochen „Null") ist ein Name, keine Zahl.
Die Aufgabe nennt kein Zufallsexperiment. Ohne Experiment gibt es aber keine
Wahrscheinlichkeit. Wir nehmen deshalb an: Aus den 123 Personen wird
eine Person zufällig ausgewählt. Jede Person hat dabei dieselbe Chance.
Der Weg: 1. klären, was ein Ergebnis ist. 2. prüfen, warum das ein Laplace-Raum ist. 3. die
vier Wahrscheinlichkeiten ablesen. 4. a) mit der Additivitätsregel, b) über die leere Menge,
c) mit dem Komplementsatz.
Merke: Bevor gerechnet wird, muss klar sein, was ein einzelnes Ergebnis ist. Hier: eine
Person, nicht eine Blutgruppe.
∣Ω∣=54+16+4+49=123
Der Ergebnisraum Ω (großes Omega) ist die Menge aller möglichen Ergebnisse. Hier
sind das alle 123 Personen. ∣Ω∣ bedeutet: Anzahl der Elemente von Ω.
Jede einzelne Person, als Menge geschrieben, ist ein Elementarereignis.
Aus Aufgabe 1 („Ergebnisraum und Ereignisse"): Ein Elementarereignis ist ein
einzelnes Ergebnis als Menge, zum Beispiel
{2} beim Würfel. Es lässt sich nicht weiter
zerlegen.
Vorsicht: Man könnte auf die Idee kommen,
Ω={A,B,AB,0} zu setzen. Das
wäre
kein Laplace-Raum: Blutgruppe A kommt viel öfter vor als AB. Die vier Ausgänge
sind also nicht gleich wahrscheinlich.
P({ω})=1231
Ein Laplace-Raum ist ein Modell, in dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Laut
Vorlesung braucht er drei Bedingungen:
| 1. Ω ist endlich |
123 Personen |
| 2. jede Teilmenge von Ω ist ein Ereignis |
Potenzmenge |
| 3. P({ω})=∣Ω∣1 für jedes ω |
je 1231 |
ω (kleines Omega) steht für ein einzelnes Ergebnis, hier eine Person. Die Menge
aller Teilmengen heißt Potenzmenge. Bedingung 3 gilt, weil „zufällig ausgewählt"
heißt: jede Person hat dieselbe Chance.
Warum dann P(E)=123∣E∣ gilt: E steht für ein beliebiges Ereignis.
Enthält E genau ∣E∣ Personen, dann besteht es aus ∣E∣ Elementarereignissen. Jedes
hat 1231. Diese Werte werden addiert: ∣E∣⋅1231=123∣E∣.
Aus Aufgabe 6 („Rechenregeln am Würfel"): Zerlegungsregel. Die Wahrscheinlichkeit
eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Elementarereignisse.
Ab jetzt reicht es also, Personen zu zählen.
P({A})=12354
Jedes Ereignis ist die Gruppe der Personen mit dieser Blutgruppe. Die Wahrscheinlichkeit
ist ihr Anteil an den 123: 12354, 12316, 1234 und
12349.
Probe: 12354+16+4+49=123123=1. Die vier Abschnitte füllen
den Balken genau aus. Nichts fehlt, nichts überlappt.
Schreibweise: Streng genommen ist
{A} die Menge der 54 Personen mit Blutgruppe
A. Das ist eine Teilmenge von
Ω mit 54 Elementen. Die Aufgabe schreibt kurz
{A}. Wir übernehmen das. Gemeint sind aber immer die Personen.
P({A}∪{0})=123103
∪ heißt „oder": Die gezogene Person hat Blutgruppe A oder Blutgruppe 0. Wir
zählen also alle Personen, die in mindestens einer der beiden Gruppen sind.
Die Additivitätsregel für zwei Ereignisse E und F lautet P(E∪F)=P(E)+P(F)−P(E∩F). Hier setzen wir E={A} und F={0} ein.
Aus Aufgabe 6 („Rechenregeln am Würfel"): Additivitätsregel. Der Schnitt
E∩F
wird abgezogen, weil er sonst doppelt gezählt würde.
{A}∩{0} sind die Personen mit beiden Blutgruppen. Solche Personen gibt es
nicht. Also ist dieser Teil 0 (genauer in Schritt 5). Ereignisse ohne gemeinsame Elemente
heißen disjunkt.
Aus Aufgabe 4 („Beweisen mit Venn-Diagrammen"): Sind zwei Mengen disjunkt, fällt
der Abzug weg. Man addiert nur noch.
12354+12349−0=123103≈0,837 (auf drei
Nachkommastellen gerundet). Im Balken sind das die beiden breiten Abschnitte außen.
P({A}∩{0})=0
∩ heißt „und": Gesucht ist eine Person, die A und gleichzeitig 0 hat.
Aus Aufgabe 3 („Mengenoperationen am Venn-Diagramm"): Die Vereinigung
∪
enthält alles, was in mindestens einer Menge liegt. Der Durchschnitt
∩ enthält nur,
was in beiden Mengen liegt.
Eine Person hat genau eine Blutgruppe. Es gibt also keine Person, die in beiden
Gruppen liegt.
Der Durchschnitt ist deshalb die leere Menge ∅, also die Menge ohne jedes
Element: {A}∩{0}=∅.
Ein Ereignis ohne Ergebnis kann nie eintreten. Deshalb hat es die Wahrscheinlichkeit 0:
P(∅)=0. Das ist eine Grundeigenschaft jeder Wahrscheinlichkeitsfunktion, genau
wie P(Ω)=1.
Merke: ∅ heißt „unmögliches Ereignis". Typischer Fehler:
12354⋅12349 rechnen. Das ist falsch, denn keine Person liegt in beiden Gruppen.
P({0}c)=12374
{0}c ist das Gegenereignis zu {0}: alle Personen, die
nicht Blutgruppe 0 haben.
Aus Aufgabe 6 („Rechenregeln am Würfel"): Komplementsatz
P(Ec)=1−P(E).
Entweder tritt
E ein oder nicht. Etwas Drittes gibt es nicht, deshalb ergeben beide
zusammen 1.
Mit E={0}: 1−12349=123123−12349=12374≈0,602.
Zur Probe direkt gezählt: 54+16+4=74 Personen. Beide Wege führen zum selben
Ergebnis.
(i) Ω sind die 123 Personen, jede mit 1231.
a) 123103≈0,837: Mit etwa 84 % hat eine zufällig gezogene Person
Blutgruppe A oder 0.
b) 0: Eine Person mit A und 0 zugleich gibt es nicht.
c) 12374≈0,602: Mit etwa 60 % hat sie nicht Blutgruppe 0.
Rückblick: Die ganze Arbeit steckt im Modell. Steht einmal fest, dass jede der 123
Personen gleich wahrscheinlich ist, reicht für alle drei Teilaufgaben das Abzählen.