Beobachtet wird ein Tag. Das Ergebnis ist die Anzahl der Käufe an diesem Tag. Das ist
eine Zahl zwischen 0 und 10.
„Alle Anzahlen gleich wahrscheinlich" ist der entscheidende Satz. Er erlaubt das
Laplace-Modell. In der Wirklichkeit wäre das kaum so, aber hier ist es die Annahme der
Aufgabe.
Der Weg: 1. die möglichen Ergebnisse zählen. 2. den Laplace-Raum aufstellen. 3. für a) und b)
die passenden Ergebnisse abzählen. 4. eine Probe machen.
Merke: Ein Ergebnis ist hier eine Anzahl, nicht ein einzelner Kauf.
∣Ω∣=11
Der Ergebnisraum Ω (großes Omega) ist die Menge aller möglichen Ergebnisse: Ω={0,1,2,…,10}. ∣Ω∣ bedeutet: Anzahl der Elemente von Ω.
Die 0 ist ein möglicher Tagesausgang. Es kann auch gar nichts gekauft werden.
Aus Aufgabe 1 („Ergebnisraum und Ereignisse"): Der Ergebnisraum enthält jedes
mögliche Ergebnis genau einmal. Ein Ereignis ist eine Teilmenge davon.
Vorsicht: Von 0 bis 10 sind es
10−0+1=11 Zahlen, nicht 10. Diesen Fehler
macht man leicht, wenn man nur die obere Grenze ansieht.
Im Bild lässt es sich nachzählen: elf Kästchen.
P({ω})=111
ω (kleines Omega) steht für ein einzelnes Ergebnis, hier eine Anzahl von Käufen.
Alle elf Anzahlen haben denselben Wert. Zusammen müssen sie 1 ergeben, denn irgendeine
Anzahl tritt immer ein: P(Ω)=1. Elf gleich große Anteile mit der Summe 1 sind je
111.
Aus Aufgabe 5 („Ist das eine Wahrscheinlichkeitsfunktion?"): Alle
Wahrscheinlichkeiten sind mindestens 0, und zusammen ergeben sie genau 1.
Damit sind die drei Bedingungen eines Laplace-Raums erfüllt:
| 1. Ω ist endlich |
11 Elemente |
| 2. jede Teilmenge von Ω ist ein Ereignis |
Potenzmenge |
| 3. P({ω})=∣Ω∣1 für jedes ω |
je 111 |
Aus Aufgabe 7 („Blutgruppen als Laplace-Raum"): Dort stehen dieselben drei
Bedingungen. Die Menge aller Teilmengen heißt Potenzmenge.
Warum dann P(E)=11∣E∣ gilt: E steht für ein beliebiges Ereignis mit
∣E∣ Elementen. Es besteht aus ∣E∣ Elementarereignissen, jedes mit 111.
Diese Werte werden addiert: ∣E∣⋅111=11∣E∣.
Aus Aufgabe 6 („Rechenregeln am Würfel"): Zerlegungsregel. Die Wahrscheinlichkeit
eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Elementarereignisse.
P(E)=∣Ω∣∣E∣=11Anzahl gu¨nstiger Ergebnisse
Ab jetzt reicht für beide Teilaufgaben das Abzählen.
P(A)=114≈0,364
Wir nennen das Ereignis „mindestens 7 Käufe" kurz A.
Mindestens 7 heißt: 7 oder mehr. Die 7 selbst gehört also dazu.
A={7,8,9,10}. Das sind vier Ergebnisse, also ∣A∣=4.
P(A)=11∣A∣=114≈0,364 (auf drei Nachkommastellen
gerundet). Auf lange Sicht hat der Shop also an etwa 36 % der Tage mindestens 7 Käufe.
Vorsicht: „mindestens 7" ist
≥7, nicht
>7. Bei
>7 blieben nur drei
Ergebnisse übrig.
P(B)=116≈0,545
Wir nennen das Ereignis „gerade Anzahl Käufe" kurz B.
Gerade Zahlen zwischen 0 und 10: B={0,2,4,6,8,10}. Das sind sechs, also
∣B∣=6.
Vorsicht: Die
0 ist gerade, denn sie ist ohne Rest durch 2 teilbar:
0:2=0, Rest 0. Wer sie vergisst, kommt auf
5/11.
P(B)=11∣B∣=116≈0,545. Auf lange Sicht ist also an gut
der Hälfte der Tage die Zahl der Käufe gerade.
116+115=1
Das Gegenereignis zu B heißt Bc. Es enthält alle Anzahlen, die
nicht gerade sind: Bc={1,3,5,7,9}. Das sind fünf Ergebnisse, also
P(Bc)=115.
Aus Aufgabe 6 („Rechenregeln am Würfel"): Komplementsatz
P(Ec)=1−P(E).
Entweder tritt
E ein oder nicht, deshalb ergeben beide zusammen 1.
Jeder Tag hat entweder eine gerade oder eine ungerade Anzahl. Also muss gelten:
116+115=1111=1 ✓
Mit dem Komplementsatz: 1−116=115. Das passt zum Abzählen. Die
Aufteilung stimmt, es fehlt kein Ergebnis.
(i) Ω={0,…,10}, ∣Ω∣=11, je 111.
a) 114≈0,364: Auf lange Sicht gibt es an etwa 36 % der Tage mindestens
7 Käufe.
b) 116≈0,545: Auf lange Sicht ist an etwa 55 % der Tage die Zahl der
Käufe gerade.
Rückblick: Gerechnet wurde fast nichts. Die ganze Aufgabe besteht daraus, richtig
abzuzählen, und zwar mit der Null.