Stochastische Unabhängigkeit

Schritt 0 Die Aufgabe

Zwei faire sechsseitige Würfel werden geworfen. Wir betrachten die folgenden Ereignisse:

$A = \{\,\text{Augensumme ist 7}\,\}$
$B = \{\,\text{Augensumme ist 8}\,\}$
$C = \{\,\text{der erste Würfel zeigt eine 3}\,\}$

Prüfen Sie, ob die Ereignisse $A \cap C$ bzw. $B \cap C$ stochastisch unabhängig sind. Begründen Sie das Ergebnis.

Ergebnisraum

Laplace: alle Würfe sind gleich wahrscheinlich

Schritt 1 Der Ergebnisraum

Zwei Würfel, jeder mit sechs Seiten

\Omega = \{1,\dots,6\}^{2}, \qquad |\Omega| = 6 \cdot 6 = 36

Die drei Ereignisse aufschreiben

vom Satz zur Menge

Schritt 2 A — Augensumme 7

Augensumme 7 — sechs Würfe

A = \{\,(1,6),\,(2,5),\,(3,4),\,(4,3),\,(5,2),\,(6,1)\,\}, \qquad |A| = 6

Schritt 3 B — Augensumme 8

Augensumme 8 — nur fünf Würfe

B = \{\,(2,6),\,(3,5),\,(4,4),\,(5,3),\,(6,2)\,\}, \qquad |B| = 5

Schritt 4 C — erster Würfel zeigt 3

Erster Würfel zeigt 3 — eine ganze Zeile

C = \{\,(3,i) \mid i = 1,\dots,6\,\}, \qquad |C| = 6

Schritt 5 Die drei Einzelwahrscheinlichkeiten

Ereignis	Anzahl	Wahrscheinlichkeit	dezimal
$A$ — Summe 7	6	$6/36 = 1/6$	0,1667
$B$ — Summe 8	5	$5/36$	0,1389
$C$ — erster Würfel 3	6	$6/36 = 1/6$	0,1667

Erster Test: $A$ und $C$

Ist

P(A \cap C) = P(A)\,P(C)

Schritt 6 Der Schnitt A ∩ C

Der Schnitt enthält genau einen Wurf

A \cap C = \{\,(3,4)\,\} \quad\Longrightarrow\quad P(A \cap C) = \tfrac{1}{36}

Schritt 7 Beide Seiten vergleichen

Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten

P(A)\,P(C) = \frac{6}{36} \cdot \frac{6}{36} = \frac{36}{1296} = \frac{1}{36} \;=\; P(A \cap C) \quad\checkmark

Zweiter Test: $B$ und $C$

dieselbe Rechnung, anderes Ergebnis

Schritt 8 Der Schnitt B ∩ C

Auch hier nur ein Wurf im Schnitt

B \cap C = \{\,(3,5)\,\} \quad\Longrightarrow\quad P(B \cap C) = \tfrac{1}{36}

Schritt 9 Hier geht die Gleichung nicht auf

Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten, gekürzt durch 6

P(B)\,P(C) = \frac{5}{36} \cdot \frac{6}{36} = \frac{30}{1296} = \frac{5}{216}

Linke Seite auf denselben Nenner bringen (mit 6 erweitern) und vergleichen

P(B \cap C) = \frac{1}{36} = \frac{6}{216} \;\neq\; \frac{5}{216} = P(B)\,P(C) \quad\text{(abhängig)}

Woran es liegt

derselbe Test, als bedingte Wahrscheinlichkeit gelesen

Schritt 10 Warum das eine klappt und das andere nicht

Frage	ohne Bedingung	wenn der erste Würfel 3 zeigt	Urteil
Augensumme 7?	$P(A) = 1/6$	$P(A \mid C) = 1/6$	ändert sich nicht → unabhängig
Augensumme 8?	$P(B) = 5/36$	$P(B \mid C) = 1/6$	steigt → abhängig

Schritt 11 Ergebnis

✓

A

und

C

sind stochastisch unabhängig:

P(A \cap C) = \tfrac{1}{36} = P(A)\,P(C)

✓

B

und

C

sind nicht unabhängig:

\tfrac{6}{216} \neq \tfrac{5}{216}

Begründung: Zu jedem Wert des ersten Würfels gibt es genau einen zweiten Wert, der die Summe 7 ergibt — die Information über den ersten Würfel hilft also nicht. Für die Summe 8 gilt das nicht: mit einer 1 vorne ist sie unmöglich, mit einer 3 vorne dagegen sogar wahrscheinlicher als im Durchschnitt.