Eine Familie mit vier Kindern. Bekannt ist bereits: das
älteste Kind ist ein Junge.
| Kinder |
4 |
| je Geburt |
J oder M, je 50 % |
| Geburten unabhängig? |
ja |
| bereits bekannt |
1. Kind = J |
Das Stichwort: „Das älteste Kind ist ein Junge“ ist keine Frage, sondern eine
Bedingung. Sie verkleinert den Ergebnisraum, bevor gerechnet wird.
∣Ω∣=24=16
Eine Familie lässt sich als Folge schreiben, etwa
J M J J: ältestes Kind links.
Jede Geburt hat zwei Ausgänge und verdoppelt damit die Zahl der Folgen: 2⋅2⋅2⋅2=16.
Weil Jungen und Mädchen gleich wahrscheinlich sind, sind auch alle
16 Folgen gleich wahrscheinlich — jede mit 161.
Merke: Die Reihenfolge festzuhalten kostet nichts und macht die Bedingung „das
älteste Kind“ überhaupt erst greifbar.
P(J1)=0,5
Wir schreiben Ji für „das i-te Kind ist ein Junge“. Die Bedingung der Aufgabe ist
damit schlicht J1.
Sie betrifft nur die erste Geburt, also P(J1)=21 — über die anderen drei
Kinder sagt sie nichts.
∣J1∣=8 statt
16
Alle Folgen, die mit M beginnen, fallen weg — das ist die
Hälfte. Übrig bleiben acht Folgen von J J J J bis
J M M M.
Diese acht sind untereinander weiterhin gleich wahrscheinlich, jede jetzt mit
81.
Das ist die ganze Idee der bedingten Wahrscheinlichkeit: nicht neu würfeln, sondern
in einem kleineren Ergebnisraum weiterzählen.
A=J1∩J2∩J3∩J4
Gesucht ist „alle vier sind Jungen“, also alle vier Ereignisse gleichzeitig — ein
Schnitt.
Weil die Geburten unabhängig sind, dürfen die Einzelwahrscheinlichkeiten multipliziert
werden:
P(A)=0,5⋅0,5⋅0,5⋅0,5=0,54=161=0,0625
Das ist die Wahrscheinlichkeit ohne Vorwissen. Gefragt ist aber die
bedingte.
P(A∣J1)=P(J1)P(A∩J1)
Die Definition verlangt im Zähler den Schnitt A∩J1.
Hier ist eine Vereinfachung möglich: Wer alle vier Kinder als Jungen hat, hat
insbesondere das älteste als Jungen. A liegt also vollständig in J1, und damit
gilt A∩J1=A.
Merke: Gilt
A⊆B, so vereinfacht sich
P(A∣B) zu
P(B)P(A).
P(A∣J1)=0,50,54=0,125
0,50,54=0,53=81=0,125
Die Division durch P(J1) kürzt genau einen Faktor 0,5 weg — nämlich den der
ersten Geburt, die ja bereits feststeht.
Übrig bleiben die drei Geburten, über die noch nichts bekannt ist.
∣J1∣∣A∩J1∣=81
Weil alle Folgen gleich wahrscheinlich sind, geht es auch ohne Formel: von den
acht möglichen Folgen ist genau eine J J J J.
81=0,125 — dasselbe Ergebnis.
Gute Gewohnheit: Im Laplace-Fall lässt sich jede bedingte Wahrscheinlichkeit so
gegenprüfen. Stimmen Formel und Abzählung nicht überein, steckt der Fehler fast immer im
Schnitt.
P(Ac∣J1)=1−0,125=0,875
„Mindestens ein Mädchen“ und „alle vier Jungen“ schließen sich aus und decken zusammen
alles ab. Das eine ist also das Gegenereignis des anderen.
P(Ac∣J1)=1−P(A∣J1)=1−0,125=0,875
Wichtig: Die Bedingung bleibt dabei stehen. Auch die Gegenwahrscheinlichkeit
wird innerhalb der acht Folgen gebildet, nicht innerhalb der sechzehn.
Von den acht möglichen Folgen enthalten sieben mindestens ein
M. Nur J J J J nicht.
87=0,875 ✓
Die beiden Anteile ergänzen sich zu 1 — eine schnelle Schlusskontrolle.
0,53=0,125 statt
0,54=0,0625
Der häufigste Fehler ist, die Bedingung zu überlesen und 0,54 hinzuschreiben.
Die Bedingung erledigt eine der vier Geburten: sie ist bereits eingetreten und
kostet keinen Faktor mehr. Es bleiben drei offene Geburten, also 0,53.
Das Vorwissen verdoppelt die Wahrscheinlichkeit — von 6,25 % auf 12,5 %.
Probe: Formulierungen wie „gegeben, dass …“, „wenn bekannt ist, dass …“ oder „das
älteste Kind ist …“ zeigen immer eine Bedingung an.
(i) 0,125 · (ii) 0,875
Rückblick: Die Bedingung hat den Ergebnisraum von 16 auf 8 Folgen halbiert. Danach
war beides reine Abzählung — eine günstige Folge für (i), sieben für (ii).