Tombola: Urnenmodell und Bedingung

Schritt 0 Die Aufgabe

In einer Tombola sind 50 Lose, davon 10 Gewinne und 40 Nieten. Zwei Personen ziehen nacheinander je ein Los.

Welches Urnenmodell (d. h. kombinatorische Formel) ist hier anzuwenden?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person gewinnt, wenn die erste Person ein Gewinnlos gezogen hat?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person gewinnt, wenn die erste Person eine Niete gezogen hat?
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person gewinnt.

(i) Welches Urnenmodell?

zwei Fragen genügen zur Einordnung

Schritt 1 Zwei Fragen legen das Modell fest

Zurücklegen?	Reihenfolge?	Modell	Anzahl
ja	ja	$k$ -Permutation mit Wiederholung	$n^{k}$
nein	ja	$k$ -Variation	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$
nein	nein	$k$ -Kombination	$\binom{n}{k}$
ja	nein	Kombination mit Wiederholung	$\binom{n+k-1}{k}$

Schritt 2 Die Zahl der möglichen Ziehungen

Hier:

n = 50

Lose,

k = 2

Ziehungen

|\Omega| = \frac{50!}{48!} = 50 \cdot 49 = 2\,450

Ereignisse benennen

damit die Bedingungen später eindeutig sind

Schritt 3 Was Person 1 zieht

Person 1 gewinnt — das ist die Bedingung, nicht die Frage

B = \{\,\text{Person 1 gewinnt}\,\}, \qquad P(B) = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}

Schritt 4 Wonach gefragt ist

Person 2 gewinnt — danach ist gefragt

A = \{\,\text{Person 2 gewinnt}\,\}

(ii) und (iii) Die beiden Fälle

je nachdem, was Person 1 gezogen hat

Schritt 5 Person 1 hat gewonnen

(ii) Person 1 hat gewonnen — ein Gewinn weniger in der Trommel

P(A \mid B) = \frac{9}{49} \approx 0{,}1837

Schritt 6 Person 1 hat eine Niete

(iii) Person 1 hat eine Niete — alle 10 Gewinne sind noch da

P(A \mid B^{c}) = \frac{10}{49} \approx 0{,}2041

(iv) Ohne zu wissen, was Person 1 gezogen hat

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Schritt 7 Beide Fälle zusammenführen

B

und

B^{c}

decken alles ab und schließen sich aus

P(A) = P(A \mid B)\,P(B) \;+\; P(A \mid B^{c})\,P(B^{c})

Schritt 8 Werte einsetzen

Werte einsetzen

P(A) = \frac{9}{49} \cdot \frac{1}{5} \;+\; \frac{10}{49} \cdot \frac{4}{5}

Schritt 9 Ausrechnen

Auf einen Nenner bringen und kürzen

P(A) = \frac{9}{245} + \frac{40}{245} = \frac{49}{245} = \frac{1}{5} = 0{,}2

Das Ergebnis im Vergleich

Person 1 gegen Person 2

Schritt 10 Warum beide gleich gut dastehen

Wer gewinnt?	Wahrscheinlichkeit	dezimal
Person 2, wenn Person 1 gewonnen hat	$9/49$	0,1837
Person 2, wenn Person 1 eine Niete hatte	$10/49$	0,2041
Person 2, ohne Vorwissen	$1/5$	0,2000
Person 1	$1/5$	0,2000

Schritt 11 Ergebnis

✓(i) Ohne Zurücklegen, Reihenfolge relevant: $k$ -Variation,

|\Omega| = 50 \cdot 49 = 2\,450

✓(ii)

P(A \mid B) = \tfrac{9}{49} \approx \mathbf{0{,}1837}

✓(iii)

P(A \mid B^{c}) = \tfrac{10}{49} \approx \mathbf{0{,}2041}

✓(iv)

P(A) = \tfrac{1}{5} = \mathbf{0{,}2}

— genau so viel wie für Person 1

Die Ziehungsreihenfolge ist also fair. Wer zuerst zieht, hat keinen Vorteil: Der leichte Nachteil im Fall „Person 1 gewinnt“ wird dadurch ausgeglichen, dass dieser Fall selbst nur mit Wahrscheinlichkeit $\tfrac{1}{5}$ eintritt.