Satz von Bayes

Schritt 0 Die Aufgabe

Eine bestimmte Population bestehe zu 65 % aus Frauen und zu 35 % aus Männern. Angenommen 15 % der Frauen und 6 % der Männer leiden an Depression.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person an Depression leidet?
Angenommen eine Person leidet an Depression. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person eine Frau bzw. ein Mann ist?

Was gegeben ist

und in welche Richtung die Bedingung zeigt

Schritt 1 Die Zerlegung

Gruppengrößen — eine Zerlegung der Population

P(F) = 0{,}65, \qquad P(M) = 0{,}35, \qquad P(F) + P(M) = 1

Schritt 2 In welche Richtung die Quoten zeigen

Krankheitsquoten — bedingt auf die Gruppe, nicht umgekehrt

P(D \mid F) = 0{,}15, \qquad P(D \mid M) = 0{,}06

(i) Wie viele sind insgesamt betroffen?

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Schritt 3 Beide Gruppen zusammenführen

Über die Zerlegung in Frauen und Männer

P(D) = P(D \mid F)\,P(F) \;+\; P(D \mid M)\,P(M)

Schritt 4 Beitrag der Frauen

Beitrag der Frauen

P(D \cap F) = 0{,}15 \cdot 0{,}65 = 0{,}0975

Schritt 5 Beitrag der Männer

Beitrag der Männer

P(D \cap M) = 0{,}06 \cdot 0{,}35 = 0{,}021

Schritt 6 Die Gesamtquote

Summe

P(D) = 0{,}0975 + 0{,}021 = 0{,}1185 \approx 11{,}9\,\%

(ii) Umgekehrt gefragt

Satz von Bayes

Schritt 7 Die Richtung umdrehen

Bekannt ist

P(D \mid F)

— gesucht ist

P(F \mid D)

P(F \mid D) = \frac{P(D \cap F)}{P(D)} = \frac{P(D \mid F)\,P(F)}{P(D)}

Schritt 8 Frauen unter den Betroffenen

Frauen unter den Betroffenen

P(F \mid D) = \frac{0{,}15 \cdot 0{,}65}{0{,}1185} = \frac{0{,}0975}{0{,}1185} = 0{,}8228

Schritt 9 Männer unter den Betroffenen

Männer unter den Betroffenen

P(M \mid D) = \frac{0{,}06 \cdot 0{,}35}{0{,}1185} = \frac{0{,}021}{0{,}1185} = 0{,}1772

Dieselbe Rechnung an 10 000 Personen

Bayes ohne Formel

Schritt 10 Dieselbe Aufgabe mit ganzen Personen

Gruppe	Personen	davon mit Depression	Anteil an allen Betroffenen
Frauen	6.500	975	0,8228
Männer	3.500	210	0,1772
zusammen	10.000	1.185	1,0000

Die Stolperstelle

P(D \mid F)

und

P(F \mid D)

sind nicht dasselbe

Schritt 11 Die beiden Richtungen nicht verwechseln

Aussage	Symbol	Wert
Von den Frauen sind 15 % betroffen	$P(D \mid F)$	0,1500
Von den Betroffenen sind 82 % Frauen	$P(F \mid D)$	0,8228

Schritt 12 Ergebnis

✓(i)

P(D) = \mathbf{0{,}1185}

, also rund 11,9 % der Population

✓(ii)

P(F \mid D) = \mathbf{0{,}8228}

P(M \mid D) = \mathbf{0{,}1772}

Dass unter den Betroffenen so viele Frauen sind, liegt an beidem: Frauen sind die größere Gruppe (65 %) und haben die höhere Quote (15 %). Beide Effekte multiplizieren sich — deshalb stellen sie über vier Fünftel der Betroffenen.