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ESTO · Übungsblatt 3 · Aufgabe 6

Poisson statt Binomial: wann die Näherung reicht

50 000 Versicherte, jeder mit einer Schadenswahrscheinlichkeit von 0,01 %. Die exakte Verteilung ist eine Binomialverteilung mit einem Binomialkoeffizienten aus 22 Stellen. Die Poissonverteilung mit λ=5\lambda = 5 liefert dieselben Werte bis zur vierten Stelle nach dem Komma; der Unterschied beginnt erst in der fünften. Rechts steht der ganze Lösungsweg, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Schritt 0 Die Aufgabe

In einer Großstadt mit 50 000 Versicherten hat jede Person an einem festen Tag mit Wahrscheinlichkeit von 0,01 % einen meldepflichtigen Schaden. Sei XX die Anzahl der gemeldeten Schäden an diesem Tag.

  1. Geben Sie die Verteilung von XX an. Welche Approximation bietet sich an, und wie lautet ihr Parameter? („Approximation“ ist das Fremdwort für „Näherung“.)
  2. Berechnen Sie P(X=5)P(X = 5) mit der exakten Verteilung und mit der Approximation.
  3. Betrachten Sie die ersten zehn Werte k=0,1,…,9k = 0,1,\dots,9. Wie groß ist die maximale absolute Abweichung zwischen beiden Verteilungen? Lösen Sie dies in R mit einem einzigen max-Befehl, indem Sie beide Verteilungen vektorisiert auswerten.

Gefordert ist bei (iii) also zweierlei: die Zahl selbst und eine Zeile R-Code, die alle zehn Werte auf einmal auswertet. Schritt 7 erklärt, was „vektorisiert“ heißt; Schritt 8 zeigt dieselbe Rechnung als Tabelle von Hand.

Hinweis zur Musterlösung: Für Teil (iii) gibt sie 7,196⋅10−57{,}196 \cdot 10^{-5} an. Nachgerechnet ist die größte Abweichung 8,774⋅10−68{,}774 \cdot 10^{-6}, also rund achtmal kleiner; sie tritt bei k=5k = 5 auf. Beides hängt zusammen: In Teil (ii) nennt die Musterlösung als exakten Wert 0,17553940{,}1755394 statt 0,17547610{,}1754761, und die Differenz daraus ist gerade ihre Zahl aus (iii). Die Rechnung steht in Schritt 9. An der Aussage der Aufgabe ändert das nichts: Beide Werte liegen unter 10−410^{-4}.

(i) Exaktes Modell und Näherung

und warum es überhaupt eine Näherung braucht

Schritt 1 Das exakte Modell

0,01 % als Dezimalzahl
p=0,01100=0,0001=10−4p = \frac{0{,}01}{100} = 0{,}0001 = 10^{-4}
50 000 unabhängige Versicherte, je zwei Ausgänge: Binomialverteilung
X∼B(n; p)=B(50 000; 0,0001)X \sim B(n;\,p) = B(50\,000;\,0{,}0001)

Schritt 2 Warum das unbequem ist

Erst die Zahlen der Formel (nk) pk (1−p)n−k\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k} bestimmen
n=50 000,k=5,p=0,0001,1−p=0,9999,n−k=49 995n = 50\,000, \quad k = 5, \quad p = 0{,}0001, \quad 1-p = 0{,}9999, \quad n-k = 49\,995
Eingesetzt
P(X=5)=(50 0005) 0,00015 0,999949 995P(X = 5) = \binom{50\,000}{5} \, 0{,}0001^{5} \, 0{,}9999^{49\,995}
Der Binomialkoeffizient hat 22 Stellen
(50 0005)=2 603 645 869 790 625 010 000\binom{50\,000}{5} = 2\,603\,645\,869\,790\,625\,010\,000

Diese riesige Zahl wird mit 10−2010^{-20} multipliziert und dann mit einer Potenz, die fast null ist. Von Hand ist das kaum zu beherrschen, und auch ein Rechner verliert dabei leicht Stellen.

Schritt 3 Die Poisson-Approximation

Bedingungen: nn groß, pp klein, das Produkt npnp moderat
n=50 000 groß,p=0,0001 klein,n⋅p=5 moderatn = 50\,000 \ \text{groß}, \qquad p = 0{,}0001 \ \text{klein}, \qquad n \cdot p = 5 \ \text{moderat}
Der Parameter der Näherung ist genau dieses Produkt
X≈Poi(λ)mitλ=n⋅p=50 000⋅0,0001=5X \approx \mathrm{Poi}(\lambda) \quad \text{mit} \quad \lambda = n \cdot p = 50\,000 \cdot 0{,}0001 = 5
Die Formel der Poissonverteilung — mit ihr wird ab Schritt 5 gerechnet
P(X=k)=λ kk! e−λ=5 kk! e−5P(X = k) = \frac{\lambda^{\,k}}{k!} \, e^{-\lambda} = \frac{5^{\,k}}{k!} \, e^{-5}

(ii) P(X=5)P(X = 5) zweimal berechnen

exakt und genähert

Schritt 4 Exakt mit der Binomialformel

Die ersten beiden Faktoren zusammen — die 22-stellige Zahl mal 10−2010^{-20}
(50 0005)⋅0,00015=2,60364587⋅1021⋅10−20=26,0364587\binom{50\,000}{5} \cdot 0{,}0001^{5} = 2{,}60364587 \cdot 10^{21} \cdot 10^{-20} = 26{,}0364587
Der dritte Faktor
0,999949 995=0,00673963180{,}9999^{49\,995} = 0{,}0067396318
Multiplizieren
P(X=5)=26,0364587⋅0,0067396318=0,1754761P(X = 5) = 26{,}0364587 \cdot 0{,}0067396318 = 0{,}1754761

Schritt 5 Genähert mit der Poissonformel

Poissonformel mit λ=5\lambda = 5 und k=5k = 5, also 5!=1205! = 120
P(X=5)≈555! e−5=3125120⋅e−5P(X = 5) \approx \frac{5^{5}}{5!} \, e^{-5} = \frac{3125}{120} \cdot e^{-5}
Die beiden Faktoren
3125120=26,0416667,e−5=0,0067379470\frac{3125}{120} = 26{,}0416667, \qquad e^{-5} = 0{,}0067379470
Multiplizieren
P(X=5)≈26,0416667⋅0,0067379470=0,1754674P(X = 5) \approx 26{,}0416667 \cdot 0{,}0067379470 = 0{,}1754674

Schritt 6 Die beiden Werte vergleichen

Faktor exakt (Binomial) genähert (Poisson)
erster Teil 26,0364587 26,0416667
zweiter Teil 0,0067396318 0,0067379470
P(X=5)P(X = 5) 0,1754761 0,1754674
Für die Differenz braucht man mehr Stellen als die üblichen vier
Pbin(5)=0,1754761438,Ppoi(5)=0,1754673698P_{\text{bin}}(5) = 0{,}1754761438, \qquad P_{\text{poi}}(5) = 0{,}1754673698
Subtrahieren — der Unterschied steht erst in der fünften Stelle
0,1754761438−0,1754673698=0,0000087740=8,7740⋅10−60{,}1754761438 - 0{,}1754673698 = 0{,}0000087740 = 8{,}7740 \cdot 10^{-6}

(iii) Die größte Abweichung über zehn Werte

k=0k = 0 bis k=9k = 9

Schritt 7 Was „vektorisiert“ heißt

Gesucht ist das Maximum über zehn Beträge
max⁡k = 0,…,9∣(nk)pk(1−p)n−k−λkk!e−λ∣\max_{k \,=\, 0,\dots,9} \Big| \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k} - \frac{\lambda^{k}}{k!} e^{-\lambda} \Big|

R ist eine kostenlose Statistik-Software; die Musterlösung rechnet damit. dbinom(k, size = n, prob = p) gibt P(X=k)P(X=k) der Binomialverteilung (size ist nn, prob ist pp), dpois(k, lambda = λ) dasselbe für die Poissonverteilung. abs ist der Betrag, max das Maximum, und <- weist einen Wert einem Namen zu. 

k      <- 0:9
p_bin  <- dbinom(k, size = 50000, prob = 0.0001)
p_pois <- dpois( k, lambda = 5)

# maximale absolute Abweichung
max(abs(p_bin - p_pois))
#[1] 8.773997e-06

Schritt 8 Beide Verteilungen für zehn Werte

kk exakt (Binomial) genähert (Poisson) Differenz exakt − genähert Betrag
0 0,0067363 0,0067379 −1,68·10⁻⁶ 1,68·10⁻⁶
1 0,0336847 0,0336897 −5,05·10⁻⁶ 5,05·10⁻⁶
2 0,0842184 0,0842243 −5,90·10⁻⁶ 5,90·10⁻⁶
3 0,1403725 0,1403739 −1,40·10⁻⁶ 1,40·10⁻⁶
4 0,1754726 0,1754674 +5,26·10⁻⁶ 5,26·10⁻⁶
5 0,1754761 0,1754674 +8,77·10⁻⁶ 8,77·10⁻⁶
6 0,1462301 0,1462228 +7,31·10⁻⁶ 7,31·10⁻⁶
7 0,1044480 0,1044449 +3,13·10⁻⁶ 3,13·10⁻⁶
8 0,0652774 0,0652780 −0,65·10⁻⁶ 0,65·10⁻⁶
9 0,0362630 0,0362656 −2,54·10⁻⁶ 2,54·10⁻⁶

Die Differenzspalte ist aus den ungerundeten Werten gerechnet. Aus den hier gezeigten sieben Stellen ließen sich nur die ersten zwei Stellen der Differenz ablesen — deshalb steht bei k=5k = 5 oben 8,7740⋅10−68{,}7740 \cdot 10^{-6} und hier 8,77⋅10−68{,}77 \cdot 10^{-6}.

Dass die Näherung bei k=4k = 4 und k=5k = 5 denselben Wert liefert, ist kein Tippfehler: 544!=62524=26,0416667=3125120=555!\tfrac{5^{4}}{4!} = \tfrac{625}{24} = 26{,}0416667 = \tfrac{3125}{120} = \tfrac{5^{5}}{5!}. Bei λ=5\lambda = 5 sind die beiden größten Einzelwahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung genau gleich.

Schritt 9 Das Maximum der Beträge

Größter Betrag in der letzten Spalte: bei k=5k = 5
max⁡k = 0,…,9∣pbin(k)−ppoi(k)∣=8,773997⋅10−6≈8,8⋅10−6\max_{k \,=\, 0,\dots,9} \big| p_{\text{bin}}(k) - p_{\text{poi}}(k) \big| = 8{,}773997 \cdot 10^{-6} \approx 8{,}8 \cdot 10^{-6}
Die Schranke aus der Musterlösung ist damit erfüllt
8,8⋅10−6  <  10−48{,}8 \cdot 10^{-6} \;<\; 10^{-4}
Woher die 7,196⋅10−57{,}196 \cdot 10^{-5} der Musterlösung stammen
0,1755394⏟ihr exakter Wert aus (ii)−0,1754674⏟Na¨herung=7,2⋅10−5\underbrace{0{,}1755394}_{\text{ihr exakter Wert aus (ii)}} - \underbrace{0{,}1754674}_{\text{Näherung}} = 7{,}2 \cdot 10^{-5}

Die Musterlösung gibt in Teil (ii) als exakten Wert 0,17553940{,}1755394 an statt 0,17547610{,}1754761. Die Differenz daraus ist gerade die Zahl, die sie in Teil (iii) als größte Abweichung nennt. Beide Angaben gehen also auf denselben Binomialwert zurück. Nachgerechnet ergibt (50 0005)⋅10−20=26,0364587\binom{50\,000}{5} \cdot 10^{-20} = 26{,}0364587 mal 0,999949 995=0,00673963180{,}9999^{49\,995} = 0{,}0067396318 den Wert 0,17547610{,}1754761.

Schritt 10 Warum die Näherung so gut passt

Der Grenzübergang, der dahintersteckt
(nk)pk(1−p)n−k  →  n→∞, np=λ    λkk! e−λ\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \;\xrightarrow[\;n \to \infty,\ np = \lambda\;]{}\; \frac{\lambda^{k}}{k!} \, e^{-\lambda}
Bei k=5k = 5 lässt sich Faktor für Faktor nachsehen, was zusammengeht
(n5)p5=26,0364587  →  λ55!=26,0416667\binom{n}{5} p^{5} = 26{,}0364587 \;\to\; \frac{\lambda^{5}}{5!} = 26{,}0416667
Und der zweite Faktor
(1−p)n−5=0,0067396  →  e−λ=0,0067379(1-p)^{n-5} = 0{,}0067396 \;\to\; e^{-\lambda} = 0{,}0067379

Schritt 11 Ergebnis

✓(i) exakt X∼B(50 000; 0,0001)X \sim \mathbf{B(50\,000;\,0{,}0001)}, Näherung Poi(5)\mathbf{\mathrm{Poi}(5)} mit λ=np=5\lambda = np = 5
✓(ii) exakt 0,175476\mathbf{0{,}175476}, genähert 0,175467\mathbf{0{,}175467} — gleich bis zur vierten Stelle
✓(iii) größte absolute Abweichung 8,774⋅10−6\mathbf{8{,}774 \cdot 10^{-6}} bei k=5k = 5, also unter 10−410^{-4}

Plausibilität: λ=5\lambda = 5 ist die mittlere Zahl der Schäden pro Tag. Passend dazu sind die Säulen bei k=4k = 4 und k=5k = 5 die höchsten. Die Differenzen wechseln das Vorzeichen zweimal: bis k=3k = 3 liegt die Näherung leicht über dem exakten Wert, von k=4k = 4 bis k=7k = 7 darunter, bei k=8k = 8 und k=9k = 9 wieder darüber. In Summe muss sich das ausgleichen, denn beide Verteilungen summieren sich über alle kk zu 11.

Was man mitnimmt: Statt mit einem 22-stelligen Binomialkoeffizienten zu rechnen, genügt die Poissonformel mit λ=np\lambda = np. Voraussetzung sind großes nn, kleines pp und ein moderates Produkt npnp. Als Faustregel in vielen Lehrbüchern: n≥50n \ge 50 und p≤0,1p \le 0{,}1.

Typische Fehler: λ=p\lambda = p setzen statt λ=np\lambda = np — dann käme 0,00010{,}0001 heraus und alles wäre falsch. Oder die Näherung bei großem pp benutzen: bei n=20n = 20 und p=0,5p = 0{,}5 ist np=10np = 10 zwar moderat, aber pp viel zu groß, und die Näherung wird schlecht.