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ESTO · Übungsblatt 4 · Aufgabe 1

Normalverteilung: die σ-Regeln

Die Körpergröße ist die erste Zufallsvariable in diesen Aufgaben, die jeden Wert annehmen kann, nicht nur 0, 1, 2, … Statt Säulen gibt es deshalb eine Kurve, und eine Wahrscheinlichkeit ist eine Fläche unter dieser Kurve. Mit drei festen Prozentwerten, den σ-Regeln, lassen sich alle vier Fragen ohne Software beantworten. Rechts steht der ganze Lösungsweg, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Schritt 0 Die Aufgabe

Die Körpergröße XX (in cm) einer erwachsenen Person sei normalverteilt mit Erwartungswert μ=175\mu = 175 und Standardabweichung σ=8\sigma = 8, also X∼N(175,64)X \sim N(175, 64). Verwenden Sie zur Beantwortung der folgenden Fragen die σ-Regeln der Normalverteilung (ohne R). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass …

  1. … eine Person zwischen 167 cm und 183 cm groß ist?
  2. … eine Person zwischen 159 cm und 191 cm groß ist?
  3. … eine Person größer als 191 cm ist?
  4. … eine Person kleiner als 151 cm oder größer als 199 cm ist?

In eigenen Worten: Im Mittel sind Erwachsene 175 cm groß. Die Zahl 8 cm sagt, wie weit die Größen typischerweise um diesen Mittelwert streuen. Gesucht ist in jeder Teilfrage der Anteil der Erwachsenen in einem bestimmten Größenbereich — als Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person in diesem Bereich liegt.

Hinweis zur Genauigkeit: Die σ-Regeln aus der Vorlesung (68,2 %, 95,4 %, 99,6 %) sind aus gerundeten Teilflächen zusammengesetzt und deshalb nicht ganz genau. Für (i) bis (iii) ändert das an der Antwort praktisch nichts. Bei (iv) schon: Nach σ-Regel ergeben sich 0,40{,}4 %, genau gerechnet sind es etwa 0,270{,}27 %, weil der genaue Wert der dritten Regel 99,7399{,}73 % statt 99,699{,}6 % ist. Die Aufgabe verlangt die σ-Regeln, deshalb ist 0,40{,}4 % hier die Antwort. Schritt 13 rechnet den genauen Wert nach.

Von Säulen zur Kurve

was bei einer stetigen Zufallsvariable neu ist

Schritt 1 Eine Größe, die jeden Wert annehmen kann

Bisher: endlich viele Werte, die man aufzählen kann
X∼B(12; 0,2):X∈{0,1,2,…,12}X \sim B(12;\,0{,}2): \quad X \in \{0, 1, 2, \dots, 12\}
Jetzt: jeder Wert in einem Bereich ist möglich
X=Ko¨rpergro¨ße in cm:X=174,    174,3,    174,31,    …X = \text{Körpergröße in cm}: \quad X = 174, \;\; 174{,}3, \;\; 174{,}31, \;\; \dots

Schritt 2 Von Säulen zur Kurve

Größen in Klassen von 4 cm Breite: erst die Wahrscheinlichkeit der Klasse, dann die Höhe der Säule
P(175≤X≤179)≈0,1915⟹Ho¨he=0,19154≈0,0479 je cmP(175 \le X \le 179) \approx 0{,}1915 \quad\Longrightarrow\quad \text{Höhe} = \frac{0{,}1915}{4} \approx 0{,}0479 \text{ je cm}
Probe: Fläche = Höhe mal Breite
4⋅0,0479≈0,194 \cdot 0{,}0479 \approx 0{,}19
Immer schmalere Klassen: die Oberkante wird zur glatten Kurve
Sa¨ulen  ⟶  Dichtefunktion fX(x)\text{Säulen} \;\longrightarrow\; \text{Dichtefunktion } f_X(x)

Schritt 3 Wahrscheinlichkeit ist Fläche

Die Fläche unter fXf_X zwischen aa und bb
P(a≤X≤b)=∫abfX(x) dxP(a \le X \le b) = \int_a^b f_X(x)\,dx
Die ganze Fläche unter der Kurve
∫−∞∞fX(x) dx=1\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1

Die Normalverteilung

zwei Zahlen legen die Glocke fest

Schritt 4 Die Glocke: Mitte μ\mu, Breite σ\sigma

Die Dichtefunktion der Normalverteilung
fX(x)=12π σ  e−12(x−μσ)2f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\; e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}
Symmetrisch um μ\mu: links und rechts je die Hälfte
P(X≤μ)=P(X≥μ)=0,5P(X \le \mu) = P(X \ge \mu) = 0{,}5

Schritt 5 N(175,64)N(175, 64) lesen: σ=8\sigma = 8

Der zweite Parameter ist die Varianz σ2\sigma^2, nicht σ\sigma
X∼N(μ,σ2)=N(175,64)X \sim N(\mu, \sigma^2) = N(175, 64)
Die Standardabweichung ist die Wurzel daraus
σ2=64⟹σ=64=8 cm\sigma^2 = 64 \quad\Longrightarrow\quad \sigma = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}

Das Werkzeug: die σ-Regeln

Grenzen in Schritten von σ

Schritt 6 Die Grenzen in σ-Schritten

Wie viele σ liegt eine Grenze xx von μ\mu entfernt?
k=x−μσ=x−1758k = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{x - 175}{8}
Grenze xx Abstand x−175x - 175 k=x−1758k = \frac{x-175}{8} als μ+kσ\mu + k\sigma
151 −24 −3 μ−3σ\mu - 3\sigma
159 −16 −2 μ−2σ\mu - 2\sigma
167 −8 −1 μ−1σ\mu - 1\sigma
175 0 0 μ\mu
183 +8 +1 μ+1σ\mu + 1\sigma
191 +16 +2 μ+2σ\mu + 2\sigma
199 +24 +3 μ+3σ\mu + 3\sigma

Schritt 7 Die σ-Regeln

Die Teilflächen aus dem Skript, je Seite von μ\mu (gerundet)
34,1 %⏟μ bis μ+1σ13,6 %⏟μ+1σ bis μ+2σ2,1 %⏟μ+2σ bis μ+3σ0,1 %⏟u¨ber μ+3σ\underbrace{34{,}1\,\%}_{\mu \text{ bis } \mu+1\sigma}\quad \underbrace{13{,}6\,\%}_{\mu+1\sigma \text{ bis } \mu+2\sigma}\quad \underbrace{2{,}1\,\%}_{\mu+2\sigma \text{ bis } \mu+3\sigma}\quad \underbrace{0{,}1\,\%}_{\text{über } \mu+3\sigma}
Jeder Streifen ist einzeln gerundet: eine Seite ergibt nicht ganz 50 %
34,1+13,6+2,1+0,1=49,9 %≠50 %34{,}1 + 13{,}6 + 2{,}1 + 0{,}1 = 49{,}9\,\% \ne 50\,\%
Daraus die drei σ-Regeln (beide Seiten zusammen)
P(μ−1σ≤X≤μ+1σ)≈2⋅34,1 %=68,2 %P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈2⋅(34,1+13,6) %=95,4 %P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈2⋅(34,1+13,6+2,1) %=99,6 %\begin{aligned} P(\mu - 1\sigma \le X \le \mu + 1\sigma) &\approx 2 \cdot 34{,}1\,\% = 68{,}2\,\% \\ P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) &\approx 2 \cdot (34{,}1 + 13{,}6)\,\% = 95{,}4\,\% \\ P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) &\approx 2 \cdot (34{,}1 + 13{,}6 + 2{,}1)\,\% = 99{,}6\,\% \end{aligned}

(i) Zwischen 167 und 183 cm

eine σ-Stufe nach jeder Seite

Schritt 8 167 bis 183 cm ist μ±1σ\mu \pm 1\sigma

Die Grenzen als μ±1σ\mu \pm 1\sigma schreiben
167=175−8=μ−1σ,183=175+8=μ+1σ167 = 175 - 8 = \mu - 1\sigma, \qquad 183 = 175 + 8 = \mu + 1\sigma
Erste σ-Regel anwenden
P(167≤X≤183)=P(μ−1σ≤X≤μ+1σ)≈0,682=68,2 %P(167 \le X \le 183) = P(\mu - 1\sigma \le X \le \mu + 1\sigma) \approx 0{,}682 = 68{,}2\,\%

(ii) Zwischen 159 und 191 cm

zwei σ-Stufen nach jeder Seite

Schritt 9 159 bis 191 cm ist μ±2σ\mu \pm 2\sigma

Die Grenzen als μ±2σ\mu \pm 2\sigma schreiben
159=175−2⋅8=μ−2σ,191=175+2⋅8=μ+2σ159 = 175 - 2 \cdot 8 = \mu - 2\sigma, \qquad 191 = 175 + 2 \cdot 8 = \mu + 2\sigma
Zweite σ-Regel anwenden
P(159≤X≤191)=P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,954=95,4 %P(159 \le X \le 191) = P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}954 = 95{,}4\,\%

(iii) Größer als 191 cm

ein Rand — über Gegenereignis und Symmetrie

Schritt 10 Beide Ränder über das Gegenereignis

Außerhalb von μ±2σ\mu \pm 2\sigma liegen zwei Ränder
{159≤X≤191}c={X<159}∪{X>191}\{159 \le X \le 191\}^{c} = \{X < 159\} \cup \{X > 191\}
Komplementsatz: beide Ränder zusammen
P(X<159)+P(X>191)=1−P(159≤X≤191)≈1−0,954=0,046P(X < 159) + P(X > 191) = 1 - P(159 \le X \le 191) \approx 1 - 0{,}954 = 0{,}046

Schritt 11 Symmetrie: ein Rand ist die Hälfte

Die Glocke ist um μ\mu symmetrisch, beide Ränder sind gleich groß
P(X<159)=P(X>191)P(X < 159) = P(X > 191)
Also ist ein Rand die Hälfte von 0,0460{,}046
P(X>191)≈1−0,9542=0,0462=0,023=2,3 %P(X > 191) \approx \frac{1 - 0{,}954}{2} = \frac{0{,}046}{2} = 0{,}023 = 2{,}3\,\%
Probe über die Teilflächen der rechten Hälfte
P(X>191)≈50 %−34,1 %−13,6 %=2,3 %P(X > 191) \approx 50\,\% - 34{,}1\,\% - 13{,}6\,\% = 2{,}3\,\%

Die äußeren Streifen direkt addiert ergeben 2,1+0,1=2,22{,}1 + 0{,}1 = 2{,}2 % — der Unterschied ist die Rundung der Streifen. Genau sind es 2,282{,}28 % (Schritt 13).

(iv) Kleiner als 151 oder größer als 199 cm

beide Ränder jenseits von drei σ

Schritt 12 Zwei Ränder jenseits von μ±3σ\mu \pm 3\sigma

Die Grenzen als μ±3σ\mu \pm 3\sigma schreiben
151=175−3⋅8=μ−3σ,199=175+3⋅8=μ+3σ151 = 175 - 3 \cdot 8 = \mu - 3\sigma, \qquad 199 = 175 + 3 \cdot 8 = \mu + 3\sigma
Gefragt sind beide Ränder; ihr Gegenereignis ist die Mitte
({X<151}∪{X>199})c={151≤X≤199}\big(\{X < 151\} \cup \{X > 199\}\big)^{c} = \{151 \le X \le 199\}
Komplementsatz und dritte σ-Regel
P(X<151 oder X>199)=1−P(151≤X≤199)≈1−0,996=0,004=0,4 %P(X < 151 \text{ oder } X > 199) = 1 - P(151 \le X \le 199) \approx 1 - 0{,}996 = 0{,}004 = 0{,}4\,\%

Aus den Streifen käme 2⋅0,1=0,22 \cdot 0{,}1 = 0{,}2 % heraus. Beide Zahlen stammen aus gerundeten Streifen; der genaue Wert 0,270{,}27 % liegt dazwischen (Schritt 13). Verlangt ist die σ-Regel, also 0,40{,}4 %.

Schritt 13 Ergänzung: wie genau die σ-Regeln sind

Ergänzung — die Antworten im Sinne der Aufgabe stehen schon da. Hier wird nur gezeigt, wie weit die gerundeten σ-Regeln vom genauen Wert entfernt sind.

Die Teilflächen genauer, in Prozent auf drei Stellen
34,134+13,591+2,140+0,135=50,00034{,}134 + 13{,}591 + 2{,}140 + 0{,}135 = 50{,}000
Die dritte σ-Regel genau
P(151≤X≤199)=2⋅(34,134+13,591+2,140) %=2⋅49,865 %=99,730 %P(151 \le X \le 199) = 2 \cdot (34{,}134 + 13{,}591 + 2{,}140)\,\% = 2 \cdot 49{,}865\,\% = 99{,}730\,\%
Damit (iv) genau
P(X<151 oder X>199)=100 %−99,730 %=0,270 %≈0,27 %P(X < 151 \text{ oder } X > 199) = 100\,\% - 99{,}730\,\% = 0{,}270\,\% \approx 0{,}27\,\%
Frage σ-Regel genau
(i) μ±1σ\mu \pm 1\sigma 68,2 % 68,27 %
(ii) μ±2σ\mu \pm 2\sigma 95,4 % 95,45 %
(iii) über μ+2σ\mu + 2\sigma 2,3 % 2,28 %
(iv) außerhalb μ±3σ\mu \pm 3\sigma 0,4 % 0,27 % 
pnorm(183, mean = 175, sd = 8) - pnorm(167, mean = 175, sd = 8)
#[1] 0.6826895
1 - pnorm(191, mean = 175, sd = 8)
#[1] 0.02275013
2 * pnorm(151, mean = 175, sd = 8)      # linker Rand, mal 2 wegen der Symmetrie
#[1] 0.002699796

Schritt 14 Ergebnis

✓(i) P(167≤X≤183)≈0,682=68,2P(167 \le X \le 183) \approx \mathbf{0{,}682} = 68{,}2 % — gut zwei von drei Erwachsenen sind 167 bis 183 cm groß
✓(ii) P(159≤X≤191)≈0,954=95,4P(159 \le X \le 191) \approx \mathbf{0{,}954} = 95{,}4 % — etwa 19 von 20 Erwachsenen liegen zwischen 159 und 191 cm
✓(iii) P(X>191)≈0,023=2,3P(X > 191) \approx \mathbf{0{,}023} = 2{,}3 % — gut zwei von 100 Erwachsenen sind größer als 191 cm
✓(iv) P(X<151 oder X>199)≈0,004=0,4P(X < 151 \text{ oder } X > 199) \approx \mathbf{0{,}004} = 0{,}4 % nach σ-Regel, also etwa 4 von 1.000 Personen — genau gerechnet sind es 0,270{,}27 %, knapp 3 von 1.000

Plausibilität: Je breiter der Bereich um 175 cm, desto größer die Wahrscheinlichkeit: 0,682<0,954<0,9960{,}682 < 0{,}954 < 0{,}996. Die Ränder werden entsprechend kleiner. (iii) ist genau die Hälfte dessen, was bei (ii) fehlt: 0,954+2⋅0,023=10{,}954 + 2 \cdot 0{,}023 = 1.

Typische Fehler: N(175,64)N(175, 64) als σ=64\sigma = 64 lesen — der zweite Parameter ist die Varianz, also σ=64=8\sigma = \sqrt{64} = 8. Bei (iii) das Halbieren vergessen und 0,0460{,}046 angeben — das wären beide Ränder. Bei (iv) dagegen halbieren, obwohl dort nach beiden Rändern gefragt ist.