Exponentialverteilung: ein Punkt, links davon, dazwischen

Schritt 0 Die Aufgabe

Es sei $X$ exponentialverteilt mit Parameter $\lambda = 3{,}5$ . Bestimmen Sie

$P(X = 3{,}5)$
$P(X \le 3{,}5)$
$P(2 \le X \le 3)$

In eigenen Worten: $X$ ist eine Zufallsvariable, die jeden Wert größer als 0 annehmen kann — etwa eine Wartezeit. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ (i) genau 3,5 ist, (ii) höchstens 3,5 ist und (iii) zwischen 2 und 3 liegt, die Grenzen eingeschlossen. $\lambda$ (gesprochen „lambda“) ist der einzige Parameter der Verteilung; was er bedeutet, steht in Schritt 2.

Hinweis zur Musterlösung: Für (ii) schreibt sie

\approx 0{,}99999

. Das ist nach fünf Stellen abgeschnitten, nicht gerundet — gerundet wäre es

1{,}00000

. Hier steht deshalb

0{,}9999952

mit sieben Stellen (Schritt 8). Die Ergebnisse selbst stimmen überein.

Das Modell

stetig, Dichte, Exponentialverteilung

Schritt 1 Eine stetige Zufallsvariable

X

kann jeden Wert in einem Intervall annehmen, nicht nur ganze Zahlen

X \text{ nimmt Werte } t \text{ an mit } t > 0

Wahrscheinlichkeit ist Fläche unter der Dichte

P(a \le X \le b) = \text{Fläche unter } f_X \text{ zwischen } a \text{ und } b, \qquad \text{Gesamtfläche} = 1

Schritt 2 Die Exponentialverteilung $\mathrm{Exp}(\lambda)$

Die Dichte hat einen einzigen Parameter, die Rate

\lambda > 0

X \sim \mathrm{Exp}(\lambda), \qquad f_X(t) = \lambda \, e^{-\lambda t} \quad \text{für } t > 0

Am Anfang, bei

t = 0

, ist

e^{0} = 1

f_X(0) = \lambda \cdot e^{0} = \lambda \cdot 1 = \lambda

Schritt 3 Die Dichte für $\lambda = 3{,}5$

\lambda = 3{,}5

eingesetzt

f_X(t) = 3{,}5 \, e^{-3{,}5\,t}

Ein Wert zum Nachrechnen:

t = 2

f_X(2) = 3{,}5 \cdot e^{-3{,}5 \cdot 2} = 3{,}5 \cdot e^{-7} \approx 3{,}5 \cdot 0{,}000912 \approx 0{,}00319

$t$	$3{,}5 \cdot t$	$e^{-3{,}5\,t}$	$f_X(t)$
0	0	1	3,5
0,5	1,75	0,174	0,608
1	3,5	0,0302	0,106
2	7	0,000912	0,00319
3	10,5	0,0000275	0,0000964
3,5	12,25	0,00000479	0,0000167

Die Werte $e^{-3{,}5\,t}$ und $f_X(t)$ sind auf drei gültige Ziffern gerundet: drei Ziffern, gezählt ab der ersten, die nicht 0 ist. Die Werte bei $t = 0$ sind genau.

(i) Genau der Wert 3,5

ein Strich hat keine Fläche

Schritt 4 Ein Punkt hat keine Fläche

Ein schmaler Streifen der Breite

h

ab 3,5 passt in ein Rechteck der Höhe 3,5

P(X = 3{,}5) \;\le\; P(3{,}5 \le X \le 3{,}5 + h) \;\le\; 3{,}5 \cdot h

Breite $h$	obere Schranke $3{,}5 \cdot h$
0,1	0,35
0,01	0,035
0,001	0,0035
0,000001	0,0000035

Schritt 5 $P(X = 3{,}5) = 0$

Kleiner als jede positive Zahl und nicht negativ — also 0

P(X = 3{,}5) = 0

Das gilt für jeden einzelnen Wert

x

einer stetigen Zufallsvariablen

P(X = x) = 0

(ii) Höchstens 3,5

die Fläche links von 3,5

Schritt 6 Die Verteilungsfunktion: Fläche links von $t$

Dieselbe Definition wie bei diskreten Zufallsvariablen

F_X(t) = P(X \le t) = \text{Fläche unter } f_X \text{ links von } t

\le

oder

<

, ist bei einer stetigen Zufallsvariablen gleich — der Punkt

t

hat keine Fläche

P(X \le t) = P(X < t) + \underbrace{P(X = t)}_{=\,0} = P(X < t)

Schritt 7 Die Formel $F_X(t) = 1 - e^{-\lambda t}$

Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung

F_X(t) = 1 - e^{-\lambda t} \quad \text{für } t \ge 0

Probe an den Rändern: links von 0 liegt keine Fläche, insgesamt ist sie 1

F_X(0) = 1 - e^{0} = 1 - 1 = 0, \qquad t \text{ sehr groß: } e^{-\lambda t} \approx 0 \;\Rightarrow\; F_X(t) \approx 1

Mit

\lambda = 3{,}5

F_X(t) = 1 - e^{-3{,}5\,t}

Schritt 8 $F_X(3{,}5)$ ausrechnen

t = 3{,}5

einsetzen

P(X \le 3{,}5) = F_X(3{,}5) = 1 - e^{-3{,}5 \cdot 3{,}5} = 1 - e^{-12{,}25}

Die Potenz:

e^{-12{,}25}

ist 1 geteilt durch

e^{12{,}25}

e^{-12{,}25} = \frac{1}{e^{12{,}25}} = \frac{1}{208.981{,}3} \approx 0{,}0000047851

Von 1 abziehen, auf sieben Nachkommastellen gerundet

P(X \le 3{,}5) = 1 - 0{,}0000047851 = 0{,}9999952149 \approx 0{,}9999952

(iii) Zwischen 2 und 3

die Differenz zweier Flächen

Schritt 9 „Zwischen“ als Differenz zweier Flächen

Die Fläche links von 3 besteht aus zwei Stücken

\underbrace{P(X \le 3)}_{\text{links von } 3} = \underbrace{P(X < 2)}_{\text{links von } 2} + \underbrace{P(2 \le X \le 3)}_{\text{zwischen 2 und 3}}

Nach dem gesuchten Stück umstellen;

P(X < 2) = P(X \le 2)

, weil

P(X = 2) = 0

P(2 \le X \le 3) = P(X \le 3) - P(X \le 2) = F_X(3) - F_X(2)

Allgemein: die obere Grenze zuerst

P(a \le X \le b) = F_X(b) - F_X(a)

Schritt 10 $F_X(3)$ und $F_X(2)$ ausrechnen

t = 3

gehört

3{,}5 \cdot 3 = 10{,}5

, zu

t = 2

gehört

3{,}5 \cdot 2 = 7

F_X(3) = 1 - e^{-10{,}5}, \qquad F_X(2) = 1 - e^{-7}

Die beiden Potenzen

e^{-10{,}5} = \frac{1}{36.315{,}5} \approx 0{,}00002753645, \qquad e^{-7} = \frac{1}{1.096{,}633} \approx 0{,}00091188197

$t$	$3{,}5 \cdot t$	$e^{-3{,}5\,t}$	$F_X(t) = 1 - e^{-3{,}5\,t}$
2	7	0,00091188197	0,99908811803
3	10,5	0,00002753645	0,99997246355

Schritt 11 Die Differenz: die Einsen heben sich auf

Einsetzen —

F_X(3)

vorne,

F_X(2)

hinten

F_X(3) - F_X(2) = \big(1 - e^{-10{,}5}\big) - \big(1 - e^{-7}\big)

Klammern auflösen: das Minus vor der zweiten Klammer dreht beide Vorzeichen darin um

= 1 - e^{-10{,}5} - 1 + e^{-7}

1 - 1 = 0

, der Rest umsortiert

= e^{-7} - e^{-10{,}5}

Zahlen aus Schritt 10 einsetzen, auf sechs Nachkommastellen gerundet

= 0{,}00091188197 - 0{,}00002753645 = 0{,}00088434552 \approx 0{,}000884

Ergänzung: R

dieselben Zahlen mit einem Befehl

Schritt 12 Ergänzung: dieselbe Rechnung in R

Ergänzung — das Ergebnis steht schon in den Schritten davor. Hier dieselben Zahlen mit den R-Befehlen der Musterlösung. pexp(t, rate = λ) gibt $F_X(t)$ , also die Fläche links von $t$ .

(ii)  pexp(3.5, rate = 3.5)
      #[1] 0.9999952
(iii) pexp(3, 3.5) - pexp(2, 3.5)
      #[1] 0.0008843455

Schritt 13 Ergebnis

✓(i)

P(X = 3{,}5) = \mathbf{0}

— ein einzelner Wert hat bei einer stetigen Zufallsvariablen keine Fläche

✓(ii)

P(X \le 3{,}5) = 1 - e^{-12{,}25} \approx \mathbf{0{,}9999952}

— fast sicher; nur in etwa 5 von einer Million Fällen ist

X

größer als 3,5

✓(iii)

P(2 \le X \le 3) = e^{-7} - e^{-10{,}5} \approx \mathbf{0{,}000884}

— in etwa 9 von 10.000 Fällen liegt

X

zwischen 2 und 3

Probe zu (iii): Rechts von 2 liegt insgesamt die Fläche $1 - F_X(2) = e^{-7} \approx 0{,}000912$ . Das Stück zwischen 2 und 3 ist ein Teil davon und muss kleiner sein: $0{,}000884 < 0{,}000912$ . Es ist sogar fast alles davon — rechts von 3 bleibt nur noch $e^{-10{,}5} \approx 0{,}0000275$ .

Plausibilität (Ergänzung): Im Mittel über viele Wiederholungen ist eine exponentialverteilte Wartezeit $\tfrac{1}{\lambda}$ lang, hier $\tfrac{1}{3{,}5} \approx 0{,}29$ Zeiteinheiten. Die Werte 2, 3 und 3,5 sind also 7-, 10,5- und 12,25-mal so groß wie die mittlere Wartezeit — genau die Zahlen $\lambda \cdot t$ im Exponenten. So lange Wartezeiten sind extrem selten. Deshalb liegt fast die ganze Fläche links von 3,5, und das Stück zwischen 2 und 3 ist winzig.

Typische Fehler: Für (i) den Dichtewert $f_X(3{,}5) \approx 0{,}0000167$ hinschreiben — eine Dichte ist keine Wahrscheinlichkeit. In (iii) die Exponenten vertauschen: $e^{-10{,}5} - e^{-7}$ ist negativ, und eine Wahrscheinlichkeit kann nie negativ sein. Und zu früh runden: Mit $F_X(3) \approx 1{,}0000$ und $F_X(2) \approx 0{,}9991$ käme $0{,}0009$ heraus statt $0{,}000884$ .

Frage	Weg	Wert
(i) genau 3,5	ein Punkt hat keine Fläche	0
(ii) höchstens 3,5	$F_X(3{,}5) = 1 - e^{-12{,}25}$	0,9999952
(iii) zwischen 2 und 3	$F_X(3) - F_X(2) = e^{-7} - e^{-10{,}5}$	0,000884