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ESTO · Übungsblatt 4 · Aufgabe 3

Standardnormalverteilung mit R

Fünf Wahrscheinlichkeiten zu einer standardnormalverteilten Zufallsvariable XX. Jede davon ist eine Fläche unter derselben Glockenkurve. R kennt nur eine Sorte Fläche: die Fläche links von einer Grenze. Der ganze Weg besteht darin, jede Frage auf diese eine Sorte zurückzuführen. Rechts steht der ganze Lösungsweg, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Schritt 0 Die Aufgabe

Es sei X∼N(0,1)X \sim N(0,1). Bestimmen Sie mit Hilfe von R:

  1. P(X≤0,83)P(X \le 0{,}83)
  2. P(X>1,54)P(X > 1{,}54)
  3. P(1,68≤X≤2)P(1{,}68 \le X \le 2)
  4. P(eX≤2,5)P(e^{X} \le 2{,}5)
  5. P(∣X∣≥2,4)P(|X| \ge 2{,}4)

In eigenen Worten: XX ist eine Zufallsvariable mit der Standardnormalverteilung, also der Glockenkurve mit der Mitte 00. Gesucht sind fünf Wahrscheinlichkeiten, jede als Dezimalzahl zwischen 00 und 11. Jede davon ist eine Fläche unter der Glockenkurve. Die Flächen sollen mit der Statistik-Software R bestimmt werden, weil es für sie keine Formel zum Ausrechnen von Hand gibt.

Die Werkzeuge

Glockenkurve, Fläche, R-Befehl

Schritt 1 Die Standardnormalverteilung

Der Sonderfall: Mitte 0, Varianz 1
X∼N(μ,σ2)mitμ=0,σ2=1X \sim N(\mu,\sigma^2) \quad\text{mit}\quad \mu = 0,\quad \sigma^2 = 1
Der zweite Parameter ist die Varianz — die Standardabweichung ist ihre Wurzel
σ=σ2=1=1\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{1} = 1

Schritt 2 Keine Formel für die Fläche

Die Höhe der Kurve hat eine Formel …
fX(x)=12π e−12x2f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{1}{2}x^{2}}
… die Fläche links von tt nicht
FX(t)=P(X≤t)=Fla¨che unter fX links von tF_X(t) = P(X \le t) = \text{Fläche unter } f_X \text{ links von } t

Schritt 3 Der R-Befehl pnorm: die Fläche links

Was pnorm ausrechnet
pnorm(t)=FX(t)=P(X≤t)\texttt{pnorm}(t) = F_X(t) = P(X \le t)
pnorm(t, mean = 0, sd = 1)   # mean = μ, sd = σ
pnorm(t)                     # dasselbe: 0 und 1 sind voreingestellt
pnorm(0)
#[1] 0.5

(i) P(X≤0,83)P(X \le 0{,}83)

die Grundform: Fläche links

Schritt 4 Fläche links von 0,83

Genau die Form, die pnorm liefert
P(X≤0,83)=FX(0,83)P(X \le 0{,}83) = F_X(0{,}83)
pnorm(0.83, mean = 0, sd = 1)
#[1] 0.7967306
Auf vier Nachkommastellen gerundet
P(X≤0,83)=0,7967306≈0,7967P(X \le 0{,}83) = 0{,}7967306 \approx 0{,}7967
Probe am Bild: die Hälfte links von 0 plus der Streifen von 0 bis 0,83
0,7967=0,5⏟links von 0+0,2967⏟von 0 bis 0,830{,}7967 = \underbrace{0{,}5}_{\text{links von } 0} + \underbrace{0{,}2967}_{\text{von } 0 \text{ bis } 0{,}83}

(ii) P(X>1,54)P(X > 1{,}54)

Fläche rechts: über das Gegenereignis

Schritt 5 „Größer als“ über das Gegenereignis

Das Gegenereignis von „größer als 1,54“
{X>1,54}c={X≤1,54}\{X > 1{,}54\}^{c} = \{X \le 1{,}54\}
Komplementsatz: beide Flächen zusammen sind 1
P(X>1,54)=1−P(X≤1,54)=1−FX(1,54)P(X > 1{,}54) = 1 - P(X \le 1{,}54) = 1 - F_X(1{,}54)

Schritt 6 Fläche rechts von 1,54 ausrechnen

pnorm(1.54)
#[1] 0.9382198
1 - pnorm(1.54)
#[1] 0.06178018
Einsetzen und runden
P(X>1,54)=1−0,9382198=0,0617802≈0,0618P(X > 1{,}54) = 1 - 0{,}9382198 = 0{,}0617802 \approx 0{,}0618

(iii) P(1,68≤X≤2)P(1{,}68 \le X \le 2)

Fläche zwischen zwei Grenzen: eine Differenz

Schritt 7 „Zwischen“ als Differenz zweier Flächen

Links von 2 = links von 1,68 + Streifen
FX(2)=FX(1,68)+P(1,68≤X≤2)F_X(2) = F_X(1{,}68) + P(1{,}68 \le X \le 2)
Nach dem Streifen umgestellt: FX(1,68)F_X(1{,}68) auf beiden Seiten abziehen
P(1,68≤X≤2)=FX(2)−FX(1,68)P(1{,}68 \le X \le 2) = F_X(2) - F_X(1{,}68)

Schritt 8 Den Streifen von 1,68 bis 2 ausrechnen

pnorm(2)
#[1] 0.9772499
pnorm(1.68)
#[1] 0.9535213
pnorm(2) - pnorm(1.68)
#[1] 0.02372853
dnorm(1.84)          # nur für die Probe: Höhe der Kurve bei 1,84
#[1] 0.07340681
Mit den angezeigten Werten
P(1,68≤X≤2)=0,9772499−0,9535213=0,0237286≈0,0237P(1{,}68 \le X \le 2) = 0{,}9772499 - 0{,}9535213 = 0{,}0237286 \approx 0{,}0237
Probe: Streifen ≈ Rechteck aus Breite und Höhe in der Mitte (x=1,84x = 1{,}84)
0,32⋅fX(1,84)=0,32⋅0,0734≈0,02350{,}32 \cdot f_X(1{,}84) = 0{,}32 \cdot 0{,}0734 \approx 0{,}0235

(iv) P(eX≤2,5)P(e^{X} \le 2{,}5)

erst umformen, dann Fläche links

Schritt 9 Das Ereignis anders beschreiben

pnorm beantwortet nur Fragen dieser Form
P(X≤t)P(X \le t)
Gefragt ist aber nach eXe^{X} — die Frage lautet also:
Fu¨r welche Werte von X gilt eX≤2,5 ?\text{Für welche Werte von } X \text{ gilt } e^{X} \le 2{,}5\,?

Schritt 10 Umformen mit ln: das ≤ bleibt

ln ist streng monoton wachsend: die größere Zahl behält den größeren ln
2<3⟹ln⁡2≈0,693  <  ln⁡3≈1,0992 < 3 \quad\Longrightarrow\quad \ln 2 \approx 0{,}693 \;<\; \ln 3 \approx 1{,}099
Auf beiden Seiten ln anwenden, ln⁡(eX)=X\ln(e^{X}) = X
eX≤2,5  ⟺  ln⁡ ⁣(eX)≤ln⁡2,5  ⟺  X≤ln⁡2,5e^{X} \le 2{,}5 \iff \ln\!\big(e^{X}\big) \le \ln 2{,}5 \iff X \le \ln 2{,}5
Die neue Grenze
ln⁡2,5=0,9162907≈0,916\ln 2{,}5 = 0{,}9162907 \approx 0{,}916

Schritt 11 Fläche links von ln 2,5 ausrechnen

Dasselbe Ereignis, also dieselbe Wahrscheinlichkeit
P(eX≤2,5)=P(X≤ln⁡2,5)=FX(0,9162907)P(e^{X} \le 2{,}5) = P(X \le \ln 2{,}5) = F_X(0{,}9162907)
log(2.5)            # log ist in R der natürliche Logarithmus ln
#[1] 0.9162907
pnorm(log(2.5))
#[1] 0.8202428
Gerundet
P(eX≤2,5)=0,8202428≈0,8202P(e^{X} \le 2{,}5) = 0{,}8202428 \approx 0{,}8202

(v) P(∣X∣≥2,4)P(|X| \ge 2{,}4)

zwei Ränder, dank Symmetrie gleich groß

Schritt 12 Der Betrag: Abstand von 0

∣x∣|x| ist der Abstand der Zahl xx von 0
∣−3∣=3,∣3∣=3,∣−1,5∣=1,5|{-3}| = 3, \qquad |3| = 3, \qquad |{-1{,}5}| = 1{,}5
Abstand mindestens 2,4: ganz links oder ganz rechts
∣X∣≥2,4  ⟺  X≤−2,4   oder   X≥2,4|X| \ge 2{,}4 \iff X \le -2{,}4 \;\text{ oder }\; X \ge 2{,}4
Die beiden Teile überschneiden sich nicht: addieren
P(∣X∣≥2,4)=P(X≤−2,4)+P(X≥2,4)P(|X| \ge 2{,}4) = P(X \le -2{,}4) + P(X \ge 2{,}4)

Schritt 13 Symmetrie: zwei gleich große Ränder

Die Kurve ist an der 0 gespiegelt
P(X≥2,4)=P(X≤−2,4)P(X \ge 2{,}4) = P(X \le -2{,}4)
Also zweimal der linke Rand — und der ist eine Fläche links
P(∣X∣≥2,4)=2⋅P(X≤−2,4)=2⋅FX(−2,4)P(|X| \ge 2{,}4) = 2 \cdot P(X \le -2{,}4) = 2 \cdot F_X(-2{,}4)

Schritt 14 Die beiden Ränder ausrechnen

pnorm(-2.4)
#[1] 0.008197536
1 - pnorm(2.4)       # Probe: der rechte Rand
#[1] 0.008197536
2 * pnorm(-2.4)
#[1] 0.01639507
Einsetzen und runden
P(∣X∣≥2,4)=2⋅0,008197536=0,016395072≈0,0164P(|X| \ge 2{,}4) = 2 \cdot 0{,}008197536 = 0{,}016395072 \approx 0{,}0164

Schritt 15 Ergebnis

✓(i) P(X≤0,83)≈0,7967P(X \le 0{,}83) \approx \mathbf{0{,}7967} — rund 80 % der Werte liegen links von 0,83
✓(ii) P(X>1,54)≈0,0618P(X > 1{,}54) \approx \mathbf{0{,}0618} — rund 6 % liegen rechts von 1,54
✓(iii) P(1,68≤X≤2)≈0,0237P(1{,}68 \le X \le 2) \approx \mathbf{0{,}0237} — rund 2 % liegen im schmalen Streifen
✓(iv) P(eX≤2,5)≈0,8202P(e^{X} \le 2{,}5) \approx \mathbf{0{,}8202} — dasselbe wie P(X≤0,916)P(X \le 0{,}916)
✓(v) P(∣X∣≥2,4)≈0,0164P(|X| \ge 2{,}4) \approx \mathbf{0{,}0164} — rund 1,6 % liegen mindestens 2,4 von der Mitte entfernt
Frage nach … umgeschrieben in R Wert
links von tt FX(t)F_X(t) pnorm(0.83) 0,7967
rechts von tt 1−FX(t)1 - F_X(t) 1 - pnorm(1.54) 0,0618
zwischen aa und bb FX(b)−FX(a)F_X(b) - F_X(a) pnorm(2) - pnorm(1.68) 0,0237
eX≤ce^{X} \le c FX(ln⁡c)F_X(\ln c) pnorm(log(2.5)) 0,8202
∣X∣≥c|X| \ge c 2⋅FX(−c)2 \cdot F_X(-c) 2 * pnorm(-2.4) 0,0164

Plausibilität: (i) und (iv) liegen über 0,50{,}5, weil ihre Grenzen rechts von der Mitte 0 liegen. (iv) ist etwas größer als (i), weil 0,9160{,}916 weiter rechts liegt als 0,830{,}83. (ii), (iii) und (v) sind kleine Flächen weit außen, wo die Kurve flach ist.

Typische Fehler: bei (ii) das „1−1 -“ vergessen und 0,93820{,}9382 angeben; bei (iv) pnorm(2.5) rechnen, obwohl die Grenze für XX erst ln⁡2,5\ln 2{,}5 ist; bei (v) nur einen Rand zählen (0,00820{,}0082) oder die Mitte (0,98360{,}9836) statt der Ränder.