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ESTO · Übungsblatt 5 · Aufgabe 2

Mittelwert und Median: ein Ausreißer bei den Ausgaben

Acht Studierende haben ihre monatlichen Ausgaben genannt. Sieben liegen zwischen 290 und 340 Euro, eine Person gibt 1.200 Euro aus. Gesucht sind zwei „typische Werte“ dieser Daten: der Mittelwert und der Median. Dabei zeigt sich, wie stark ein einzelner Wert den Mittelwert verschiebt und wie wenig den Median. Zum Schluss prüft die IQR-Regel, eine Faustregel mit dem Interquartilsabstand, ob die 1.200 als Ausreißer gilt. Rechts steht der ganze Lösungsweg, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit → geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Schritt 0 Die Aufgabe

Die monatlichen Ausgaben (in Euro) von 8 Studierenden betragen:

320 290 310 305 340 298 315 1.200
  1. Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert xˉ8\bar x_8 und den Median x˙8\dot x_8 von Hand. Vergleichen Sie die beiden Werte – was fällt Ihnen auf?
  2. Berechnen Sie xˉ8\bar x_8 und x˙8\dot x_8 mit R und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse aus (i).
  3. Sie vermuten nun, dass ein Wert die Schätzer verzerrt. Prüfen Sie mit R anhand der IQR-Regel, ob ein Ausreißer vorliegt. Was stellen Sie fest?

Vom Aufgabenblatt, „Wichtige R-Befehle für deskriptive Statistik“ (Auszug): Für eine Stichprobe x <- c(x1, ..., xn) bietet R folgende Funktionen:

Kennzahl R-Befehl Hinweis
Stichprobenmittelwert xˉn\bar x_n mean(x) arithmetisches Mittel
Median x˙n\dot x_n median(x) 50-%-Quantil
Quantile xpx_p quantile(x, p) z. B. quantile(x, 0.25)
Interquartilsabstand (IQR) IQR(x) x0,75−x0,25x_{0{,}75} - x_{0{,}25}

Hinweis vom Aufgabenblatt: Ein Wert heißt Ausreißer, falls er außerhalb des folgenden Intervalls liegt:

[ x0,25−1,5⋅IQR ;    x0,75+1,5⋅IQR ]\big[\,x_{0{,}25} - 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR}\,;\;\; x_{0{,}75} + 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR}\,\big]
Hinweis zur Musterlösung: Im Text zu (iii) steht die obere Schranke xupper=352x_{\text{upper}} = 352. Der R-Code der Musterlösung direkt darüber liefert 357,625357{,}625, und das ist richtig (Schritt 12). Am Ergebnis ändert das nichts: 1.200 liegt über beiden Zahlen. Außerdem nennen Skript und Musterlösung keine Rechenregel für Quantile. Hier wird die Regel verwendet, nach der R rechnet (Schritt 8). Damit stimmen alle Zahlen mit den R-Ausgaben überein.

(i) Mittelwert und Median von Hand

rechnen, vergleichen, verstehen

Schritt 1 Die Stichprobe sortieren

Stichprobe mit Stichprobenumfang n=8n = 8, Werte in Euro
x1,x2,…,x8x_1, x_2, \dots, x_8
Stelle ii 1 2 3 4 5 6 7 8
wie erhoben, xix_i 320 290 310 305 340 298 315 1.200
sortiert, x(i)x_{(i)} 290 298 305 310 315 320 340 1.200
Sortierte Stichprobe: vom kleinsten zum größten Wert
x(1)≤x(2)≤⋯≤x(8):290≤298≤305≤310≤315≤320≤340≤1.200x_{(1)} \le x_{(2)} \le \dots \le x_{(8)}: \quad 290 \le 298 \le 305 \le 310 \le 315 \le 320 \le 340 \le 1.200

Schritt 2 Der Stichprobenmittelwert xˉ8\bar x_8

Stichprobenmittelwert: alle Werte addieren, durch ihre Anzahl teilen
xˉn=1n∑i=1nxi=x1+x2+⋯+xnn\bar x_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}
Die acht Werte eingesetzt
xˉ8=320+290+310+305+340+298+315+1.2008\bar x_8 = \frac{320 + 290 + 310 + 305 + 340 + 298 + 315 + 1.200}{8}
bisherige Summe + nächster Wert neue Summe
320 + 290 610
610 + 310 920
920 + 305 1.225
1.225 + 340 1.565
1.565 + 298 1.863
1.863 + 315 2.178
2.178 + 1.200 3.378
Summe durch n=8n = 8 teilen
xˉ8=3.3788=422,25\bar x_8 = \frac{3.378}{8} = 422{,}25

Schritt 3 Der Median x˙8\dot x_8

Median: der mittlere Wert der sortierten Stichprobe
x˙n={x(n+12)n ungerade12(x(n2)+x(n2+1))n gerade\dot x_n = \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} & n \text{ ungerade} \\[6pt] \dfrac{1}{2}\left(x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right) & n \text{ gerade} \end{cases}
n=8n = 8 ist gerade: die beiden mittleren Stellen
n2=82=4,n2+1=5\frac{n}{2} = \frac{8}{2} = 4, \qquad \frac{n}{2} + 1 = 5
x(4)=310x_{(4)} = 310 und x(5)=315x_{(5)} = 315 aus der sortierten Stichprobe
x˙8=12(x(4)+x(5))=310+3152=6252=312,5\dot x_8 = \frac{1}{2}\big(x_{(4)} + x_{(5)}\big) = \frac{310 + 315}{2} = \frac{625}{2} = 312{,}5
Probe: je vier Werte darunter und darüber
290, 298, 305, 310⏟4 Werte unter 312,5315, 320, 340, 1.200⏟4 Werte u¨ber 312,5\underbrace{290,\ 298,\ 305,\ 310}_{\text{4 Werte unter } 312{,}5} \qquad \underbrace{315,\ 320,\ 340,\ 1.200}_{\text{4 Werte über } 312{,}5}

Schritt 4 Mittelwert und Median vergleichen

Die beiden Ergebnisse nebeneinander
xˉ8=422,25x˙8=312,5\bar x_8 = 422{,}25 \qquad \dot x_8 = 312{,}5
Der Mittelwert liegt um so viel höher
422,25−312,5=109,75422{,}25 - 312{,}5 = 109{,}75
Lage der Werte Anzahl Werte
unter dem Mittelwert 422,25 € 7 290, 298, 305, 310, 315, 320, 340
über dem Mittelwert 422,25 € 1 1.200

Schritt 5 Robustheit: was ein einzelner Wert bewirkt

Die 1.200 liegt so weit über dem zweitgrößten Wert x(7)=340x_{(7)} = 340
1.200−340=8601.200 - 340 = 860
Gedankenspiel: Die achte Person gäbe nur 340 € aus. Neue Summe und neuer Mittelwert
3.378−860=2.518,2.5188=314,753.378 - 860 = 2.518, \qquad \frac{2.518}{8} = 314{,}75
Der Mittelwert fiele um den Überschuss geteilt durch nn
422,25−314,75=107,5=8608422{,}25 - 314{,}75 = 107{,}5 = \frac{860}{8}
Der Median bliebe gleich: x(4)x_{(4)} und x(5)x_{(5)} ändern sich nicht
x˙8=310+3152=312,5\dot x_8 = \frac{310 + 315}{2} = 312{,}5

Schritt 6 Der Bruchpunkt: 1/n1/n gegen 1/21/2

Bruchpunkt ε∗\varepsilon^*: Anteil an Ausreißern, ab dem ein Schätzer unbrauchbar wird
εxˉ∗=1n,εx˙∗=12\varepsilon^*_{\bar x} = \frac{1}{n}, \qquad \varepsilon^*_{\dot x} = \frac{1}{2}
Hier mit n=8n = 8
εxˉ∗=18=12,5 %(1 Wert),εx˙∗=12=50 %(4 Werte)\varepsilon^*_{\bar x} = \frac{1}{8} = 12{,}5\,\% \quad (\text{1 Wert}), \qquad \varepsilon^*_{\dot x} = \frac{1}{2} = 50\,\% \quad (\text{4 Werte})
so viele Werte werden riesig Mittelwert Median 12(x(4)+x(5))\frac{1}{2}\big(x_{(4)} + x_{(5)}\big)
1 (nur x(8)x_{(8)}) wächst mit bleibt 312,5
3 (x(6),x(7),x(8)x_{(6)}, x_{(7)}, x_{(8)}) wächst mit bleibt 312,5
4 (x(5)x_{(5)} bis x(8)x_{(8)}) wächst mit wächst mit, denn x(5)x_{(5)} ist riesig

(ii) Mit R nachrechnen

mean und median

Schritt 7 Mit R nachrechnen: mean und median

x <- c(320, 290, 310, 305, 340, 298, 315, 1200)
sort(x)
#[1]  290  298  305  310  315  320  340 1200
mean(x)
#[1] 422.25
median(x)
#[1] 312.5
Vergleich mit (i): beide Werte stimmen
xˉ8=422,25  ✓x˙8=312,5  ✓\bar x_8 = 422{,}25 \;\checkmark \qquad \dot x_8 = 312{,}5 \;\checkmark

(iii) Ist die 1.200 ein Ausreißer?

Quantile, IQR, Schranken, IQR-Regel

Schritt 8 Das Quantil xpx_p und die Rechenregel von R

Quantil xpx_p: ungefähr der Anteil pp der Werte liegt darunter
x0,25: ein Viertel darunter,x0,5=x˙n: die Ha¨lfte,x0,75: drei Viertelx_{0{,}25}: \text{ ein Viertel darunter}, \quad x_{0{,}5} = \dot x_n: \text{ die Hälfte}, \quad x_{0{,}75}: \text{ drei Viertel}
Regel von R, Teil 1: die Stelle hh in der sortierten Stichprobe
h=1+(n−1)⋅ph = 1 + (n - 1) \cdot p
Regel von R, Teil 2: kk = Stelle vor dem Komma, ff = Nachkommaanteil (h=k+fh = k + f)
xp=x(k)+f⋅(x(k+1)−x(k))x_p = x_{(k)} + f \cdot \big(x_{(k+1)} - x_{(k)}\big)
Probe mit p=0,5p = 0{,}5: kommt der Median heraus?
h=1+7⋅0,5=4,5⇒k=4, f=0,5h = 1 + 7 \cdot 0{,}5 = 4{,}5 \quad\Rightarrow\quad k = 4,\ f = 0{,}5
x0,5=x(4)+0,5⋅(x(5)−x(4))=310+0,5⋅5=312,5=x˙8  ✓x_{0{,}5} = x_{(4)} + 0{,}5 \cdot \big(x_{(5)} - x_{(4)}\big) = 310 + 0{,}5 \cdot 5 = 312{,}5 = \dot x_8 \;\checkmark

Schritt 9 x0,25x_{0{,}25} an den sortierten Daten

Stelle für p=0,25p = 0{,}25
h=1+7⋅0,25=1+1,75=2,75⇒k=2, f=0,75h = 1 + 7 \cdot 0{,}25 = 1 + 1{,}75 = 2{,}75 \quad\Rightarrow\quad k = 2,\ f = 0{,}75
Die Nachbarn: x(2)=298x_{(2)} = 298 und x(3)=305x_{(3)} = 305, Abstand 305−298=7305 - 298 = 7
x0,25=x(2)+0,75⋅(x(3)−x(2))=298+0,75⋅7x_{0{,}25} = x_{(2)} + 0{,}75 \cdot \big(x_{(3)} - x_{(2)}\big) = 298 + 0{,}75 \cdot 7
Ausrechnen
0,75⋅7=5,25,x0,25=298+5,25=303,250{,}75 \cdot 7 = 5{,}25, \qquad x_{0{,}25} = 298 + 5{,}25 = 303{,}25
Probe: 2 von 8 Werten liegen darunter
290, 298  <  303,25,28=25 %290,\ 298 \;<\; 303{,}25, \qquad \frac{2}{8} = 25\,\%

Schritt 10 x0,75x_{0{,}75} an den sortierten Daten

Stelle für p=0,75p = 0{,}75
h=1+7⋅0,75=1+5,25=6,25⇒k=6, f=0,25h = 1 + 7 \cdot 0{,}75 = 1 + 5{,}25 = 6{,}25 \quad\Rightarrow\quad k = 6,\ f = 0{,}25
Die Nachbarn: x(6)=320x_{(6)} = 320 und x(7)=340x_{(7)} = 340, Abstand 340−320=20340 - 320 = 20
x0,75=x(6)+0,25⋅(x(7)−x(6))=320+0,25⋅20x_{0{,}75} = x_{(6)} + 0{,}25 \cdot \big(x_{(7)} - x_{(6)}\big) = 320 + 0{,}25 \cdot 20
Ausrechnen
0,25⋅20=5,x0,75=320+5=3250{,}25 \cdot 20 = 5, \qquad x_{0{,}75} = 320 + 5 = 325
Probe: 6 von 8 Werten liegen darunter, 2 darüber
68=75 %,340, 1.200  >  325\frac{6}{8} = 75\,\%, \qquad 340,\ 1.200 \;>\; 325

Schritt 11 Der Interquartilsabstand (IQR)

Interquartilsabstand: Abstand zwischen oberem und unterem Quartil
IQR=x0,75−x0,25\mathrm{IQR} = x_{0{,}75} - x_{0{,}25}
Die Werte aus Schritt 9 und 10 eingesetzt
IQR=325−303,25=21,75\mathrm{IQR} = 325 - 303{,}25 = 21{,}75
In der Box liegt die mittlere Hälfte der Werte
303,25≤305, 310, 315, 320≤32548=50 %303{,}25 \le 305,\ 310,\ 315,\ 320 \le 325 \qquad \frac{4}{8} = 50\,\%

Schritt 12 Die Schranken xlowerx_{\text{lower}} und xupperx_{\text{upper}}

Untere und obere Schranke: je 1,5 IQR außerhalb der Box
xlower=x0,25−1,5⋅IQR,xupper=x0,75+1,5⋅IQRx_{\text{lower}} = x_{0{,}25} - 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR}, \qquad x_{\text{upper}} = x_{0{,}75} + 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR}
Zuerst der Abstand
1,5⋅IQR=1,5⋅21,75=32,6251{,}5 \cdot \mathrm{IQR} = 1{,}5 \cdot 21{,}75 = 32{,}625
Untere Schranke
xlower=303,25−32,625=270,625x_{\text{lower}} = 303{,}25 - 32{,}625 = 270{,}625
Obere Schranke
xupper=325+32,625=357,625x_{\text{upper}} = 325 + 32{,}625 = 357{,}625

Schritt 13 Die IQR-Regel: welcher Wert fällt heraus?

IQR-Regel: ein Wert xx ist ein Ausreißer, wenn er außerhalb der Schranken liegt
x<xlower=270,625oderx>xupper=357,625x < x_{\text{lower}} = 270{,}625 \qquad \text{oder} \qquad x > x_{\text{upper}} = 357{,}625
Wert unter 270,625? über 357,625? Ausreißer?
290 nein nein nein
298 nein nein nein
305 nein nein nein
310 nein nein nein
315 nein nein nein
320 nein nein nein
340 nein nein nein
1.200 nein ja ja

Schritt 14 Die IQR-Regel mit R

quantile(x, 0.25)
#   25%
#303.25
quantile(x, 0.75)
#75%
#325
IQR(x)
#[1] 21.75
q1 <- quantile(x, 0.25)
q3 <- quantile(x, 0.75)
iqr <- IQR(x)
lower <- q1 - 1.5 * iqr
upper <- q3 + 1.5 * iqr
lower
#    25%
#270.625
upper
#    75%
#357.625
x < lower | x > upper
#[1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE  TRUE
x[x < lower | x > upper]
#[1] 1200

Ergänzung: ohne die 1.200

nicht Teil der Aufgabe

Schritt 15 Ergänzung: dieselbe Rechnung ohne die 1.200

Ergänzung — nicht Teil der Aufgabe. Die IQR-Regel hat die 1.200 als Ausreißer markiert. Was wäre ohne sie?

Sieben Werte bleiben, ihre Summe steht schon in Schritt 2
3.378−1.200=2.178,xˉ7=2.1787=311,142857…≈311,143.378 - 1.200 = 2.178, \qquad \bar x_7 = \frac{2.178}{7} = 311{,}142857\ldots \approx 311{,}14
n=7n = 7 ist ungerade: der Median ist der Wert an Stelle 7+12=4\frac{7+1}{2} = 4
x˙7=x(4)=310\dot x_7 = x_{(4)} = 310
Wie weit sich beide bewegen
Mittelwert: 422,25−311,14=111,11Median: 312,5−310=2,5\text{Mittelwert: } 422{,}25 - 311{,}14 = 111{,}11 \qquad \text{Median: } 312{,}5 - 310 = 2{,}5

Schritt 16 Ergebnis

✓(i) xˉ8=422,25\bar x_8 = \mathbf{422{,}25} € und x˙8=312,5\dot x_8 = \mathbf{312{,}5} € — der Mittelwert liegt 109,75 € über dem Median, weil die 1.200 ihn nach oben zieht
✓(ii) R liefert mit mean(x) und median(x) dieselben Werte
✓(iii) x0,25=303,25x_{0{,}25} = 303{,}25, x0,75=325x_{0{,}75} = 325, IQR=21,75\mathrm{IQR} = 21{,}75, Schranken 270,625270{,}625 und 357,625357{,}625 — nur 1.200 liegt außerhalb und ist ein Ausreißer

Probe: Unter dem Median liegen vier Werte, über ihm vier. In der Box von 303,25 € bis 325 € liegen vier der acht Werte, also die Hälfte. Die Quantile passen damit zu ihrer Bedeutung.

Typische Fehler: Den Median aus der unsortierten Liste ablesen: Die Werte an Stelle 4 und 5 sind dort 305 und 340, das ergäbe fälschlich 322,5. Die Schranken mit 1⋅IQR1 \cdot \mathrm{IQR} statt 1,5⋅IQR1{,}5 \cdot \mathrm{IQR} rechnen oder sie vom Median aus abtragen statt von x0,25x_{0{,}25} und x0,75x_{0{,}75}. Und: Ein Ausreißer nach der IQR-Regel ist nicht automatisch ein Fehler in den Daten.