Konfidenzintervall bei bekannter Varianz

Schritt 0 Die Aufgabe

Der Mittelwert $\mu$ einer Normalverteilung mit der Varianz $\sigma^2 = 9$ soll geschätzt werden. Eine Stichprobe vom Umfang $n = 100$ ergibt $\bar x_n = 53{,}97$ .

Geben Sie ein 95 %-Konfidenzintervall für $\mu$ an.
Wie groß müsste der Stichprobenumfang mindestens werden, damit man ein 95 %-Konfidenzintervall der Länge kleiner gleich 0,4 hat?
Wie groß müsste der Stichprobenumfang mindestens werden, damit man ein 99 %-Konfidenzintervall der Länge kleiner gleich 0,4 hat?

Die Aufgabe nennt keine Einheit. Auf dem Blatt stehen die Zahlen mit Dezimalpunkt (53.97, 0.4); hier stehen sie mit Komma.

Hinweis zur Musterlösung: (i) und (ii) stimmen. In (iii) steht

n \ge 1.492{,}818

. Diese Zahl entsteht mit dem gerundeten Quantil

2{,}5758

; mit dem ungerundeten Wert aus R sind es

1.492{,}85

. Das Ergebnis

1.493

ist in beiden Fällen dasselbe (Schritt 20). Der Hinweis am Ende der Musterlösung spricht von „fast der doppelten Stichprobengröße“. Genau ist

1.493 : 865 \approx 1{,}73

, also rund das 1,7-Fache (Schritt 22).

(i) Wie genau ist der Mittelwert?

vom Schätzwert zur Verteilung von

\bar X_{100}

Schritt 1 Das Modell: 100 unabhängige Messungen

Jede Messung

X_i

(

i = 1, \dots, 100

) ist eine normalverteilte Zufallsvariable

X_1, \dots, X_{100} \text{ unabhängig und identisch verteilt}, \qquad X_i \sim N(\mu,\,\sigma^2)

Gegeben: die Varianz, der Stichprobenumfang und der gemessene Mittelwert

\sigma^2 = 9 \;\Rightarrow\; \sigma = \sqrt{9} = 3, \qquad n = 100, \qquad \bar x_{100} = 53{,}97

Unbekannt: der Erwartungswert jeder Messung, die „wahre Mitte“

\mu = E(X_i) = \; ?

Schritt 2 Ein einzelner Schätzwert reicht nicht

Der Stichprobenmittelwert der 100 Messungen

\bar x_{100} = \frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} x_i = 53{,}97

Punktschätzer: eine einzige Zahl als Schätzung für

\mu

\mu \approx 53{,}97 \qquad \text{— aber wie genau?}

Idee: statt eines Punkts ein Intervall mit linker Grenze

I_1

und rechter Grenze

I_2

I = [I_1;\, I_2] \qquad \text{soll } \mu \text{ mit hoher Wahrscheinlichkeit enthalten}

Schritt 3 Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ und Sicherheitsniveau $1-\alpha$

Irrtumswahrscheinlichkeit

\alpha

: so oft darf das Verfahren danebenliegen

\alpha = 0{,}05 = 5\,\%

Sicherheitsniveau

1 - \alpha

: so oft soll es

\mu

treffen

1 - \alpha = 1 - 0{,}05 = 0{,}95 = 95\,\%

Die Forderung an ein 95-%-Konfidenzintervall

P(I_1 \le \mu \le I_2) = 1 - \alpha = 0{,}95

Schritt 4 Der Mittelwert als Zufallsvariable: Mitte $\mu$

Vor dem Messen ist der Mittelwert zufällig (groß geschrieben)

\bar X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i = \frac{1}{n}\,(X_1 + X_2 + \dots + X_n)

Erwartungswert: den Faktor

\frac{1}{n}

nach vorn ziehen

E(\bar X_n) = \frac{1}{n}\cdot E(X_1 + \dots + X_n)

Die Summe aufteilen: Erwartungswert der Summe = Summe der Erwartungswerte

= \frac{1}{n}\cdot\big(E(X_1) + \dots + E(X_n)\big)

Jede Messung hat den Erwartungswert

\mu

= \frac{1}{n}\cdot(\underbrace{\mu + \dots + \mu}_{n\text{-mal}}) = \frac{1}{n}\cdot n\cdot\mu = \mu

Schritt 5 Die Streuung des Mittelwerts: $\sigma^2/n$

Varianz: der Faktor

\frac{1}{n}

kommt quadriert nach vorn

\mathrm{var}(\bar X_n) = \Big(\frac{1}{n}\Big)^2 \cdot \mathrm{var}(X_1 + \dots + X_n)

Die Messungen sind unabhängig: die Varianzen addieren sich

= \frac{1}{n^2}\cdot\big(\mathrm{var}(X_1) + \dots + \mathrm{var}(X_n)\big)

Jede Messung hat die Varianz

\sigma^2

; ein

n

kürzt sich

= \frac{1}{n^2}\cdot n\cdot\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}

Mit

\sigma^2 = 9

und

n = 100

\mathrm{var}(\bar X_{100}) = \frac{9}{100} = 0{,}09

Die Standardabweichung des Mittelwerts: die Wurzel daraus

\sqrt{0{,}09} = 0{,}3 = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10}

Schritt 6 Der Mittelwert ist normalverteilt

Satz aus dem Skript: der Mittelwert u.i.v. normalverteilter Messungen

X_1, \dots, X_n \text{ u.i.v.}, \; X_i \sim N(\mu,\,\sigma^2) \quad\Rightarrow\quad \bar X_n \sim N\Big(\mu,\,\frac{\sigma^2}{n}\Big)

Hier, mit

\sigma^2/n = 0{,}09

aus Schritt 5

\bar X_{100} \sim N(\mu;\; 0{,}09)

Schritt 7 Standardisieren: von $\bar X_n$ zu $Z$

Abstand zur Mitte, gemessen in Standardabweichungen des Mittelwerts

Z = \frac{\bar X_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}

Durch einen Bruch teilen heißt: mit seinem Kehrwert

\frac{\sqrt{n}}{\sigma}

malnehmen

Z = (\bar X_n - \mu)\cdot\frac{\sqrt{n}}{\sigma} = \sqrt{n}\cdot\frac{\bar X_n - \mu}{\sigma}

Z

ist standardnormalverteilt — in dieser Verteilung steht keine unbekannte Zahl

Z \sim N(0,\,1)

Hier, mit

\sigma/\sqrt{n} = 0{,}3

Z = \frac{\bar X_{100} - \mu}{0{,}3}

Schritt 8 Die mittleren 95 %: zwei Ränder zu je 2,5 %

Gesucht: eine Grenze

q

, so dass

Z

mit Wahrscheinlichkeit 0,95 zwischen

-q

und

q

landet

P(-q \le Z \le q) = 1 - \alpha = 0{,}95

Der Rest

\alpha

verteilt sich gleich auf beide Ränder

\frac{\alpha}{2} = \frac{0{,}05}{2} = 0{,}025 = 2{,}5\,\%

Die beiden Ränder

P(Z < -q) = 0{,}025, \qquad P(Z > q) = 0{,}025

Schritt 9 Die Grenze $q_{0{,}975} \approx 1{,}96$ mit qnorm

Links von

q

liegen die Mitte und der linke Rand

P(Z \le q) = 0{,}95 + 0{,}025 = 0{,}975 = 1 - \frac{\alpha}{2}

q

ist also das 0,975-Quantil der Standardnormalverteilung

q = q_{1-\alpha/2} = q_{0{,}975}

qnorm(0.975)
#[1] 1.959964
qnorm(0.025)
#[1] -1.959964

Auf vier Nachkommastellen gerundet

q_{0{,}975} = 1{,}959964\ldots \approx 1{,}9600 = 1{,}96

Probe: Fläche zwischen

-1{,}96

und

1{,}96

P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) = 0{,}975 - 0{,}025 = 0{,}95 \quad \checkmark

pnorm(1.96) - pnorm(-1.96)
#[1] 0.9500042

Schritt 10 Die Ungleichung nach $\mu$ umstellen

Ausgangspunkt:

Z

aus Schritt 7 in

P(-q \le Z \le q) = 0{,}95

eingesetzt

P\Big(-q \le \sqrt{n}\cdot\frac{\bar X_n - \mu}{\sigma} \le q\Big) = 0{,}95

Nur die Doppelungleichung, Zeile für Zeile. Zeile 1:

-q \le \sqrt{n}\cdot\frac{\bar X_n - \mu}{\sigma} \le q

Zeile 2: alle drei Teile mal

\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

(positiv, die Zeichen bleiben)

-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q \le \bar X_n - \mu \le \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q

Zeile 3: auf allen drei Teilen

\bar X_n

abziehen

-\bar X_n - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q \le -\mu \le -\bar X_n + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q

Zeile 4: alle drei Teile mal

(-1)

— dabei drehen sich beide Zeichen um

\bar X_n + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q \ge \mu \ge \bar X_n - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q

Zeile 5: dieselbe Zeile von rechts nach links gelesen

\bar X_n - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q \le \mu \le \bar X_n + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q

Dasselbe Ereignis, also dieselbe Wahrscheinlichkeit

P\Big(\bar X_n - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q \le \mu \le \bar X_n + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q\Big) = 0{,}95

Die halbe Breite: der Abstand nach beiden Seiten, mit

\sigma/\sqrt{n} = 0{,}3

und

q = 1{,}96

\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q = 0{,}3 \cdot 1{,}96 = 0{,}588

(i) Das 95-%-Konfidenzintervall

ausrechnen und richtig lesen

Schritt 11 Die Grenzen des Intervalls ausrechnen

Definition im Skript (Fall 1): das

(1-\alpha)

-Konfidenzintervall für

\mu

I_1 = \bar x_n - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q_{1-\alpha/2}, \qquad I_2 = \bar x_n + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q_{1-\alpha/2}

Eingesetzt:

\bar x_{100} = 53{,}97

\sigma/\sqrt{n} = 0{,}3

q_{0{,}975} = 1{,}96

I_1 = 53{,}97 - 0{,}3 \cdot 1{,}96 = 53{,}97 - 0{,}588 = 53{,}382

I_2 = 53{,}97 + 0{,}3 \cdot 1{,}96 = 53{,}97 + 0{,}588 = 54{,}558

Das 95-%-Konfidenzintervall für

\mu

I = [53{,}382;\; 54{,}558]

53.97 - 3 / sqrt(100) * qnorm(0.975)
#[1] 53.38201
53.97 + 3 / sqrt(100) * qnorm(0.975)
#[1] 54.55799

Schritt 12 Was die 95 % bedeuten

Gedankenexperiment: sehr viele Messreihen mit je 100 Messungen, jede baut ihr eigenes Intervall

\big[\,\bar x_{100} - 0{,}588;\;\; \bar x_{100} + 0{,}588\,\big] \qquad \text{mit jeweils eigenem } \bar x_{100}

Im Bild: 20 Messreihen, 19 Intervalle enthalten

\mu

\frac{19}{20} = 0{,}95 = 95\,\%

Was die Rechnung aus Schritt 10 garantiert

\text{Auf lange Sicht enthalten } 95\,\% \text{ der Intervalle das feste } \mu

Schritt 13 Was das Intervall nicht bedeutet

Größe	vor dem Messen	nach dem Messen
$\mu$	feste Zahl, unbekannt	feste Zahl, unbekannt
Mittelwert	zufällig: $\bar X_{100}$	feste Zahl: $\bar x_{100} = 53{,}97$
Grenzen	zufällig: $\bar X_{100} - 0{,}588$ und $\bar X_{100} + 0{,}588$	feste Zahlen: 53,382 und 54,558

So nicht: nach dem Messen ist nichts mehr zufällig

„

\mu

liegt mit 95 % Wahrscheinlichkeit in

[53{,}382;\, 54{,}558]

.“

So richtig: die 95 % gehören zum Verfahren

„Das Verfahren liefert bei 95 % aller Stichproben ein Intervall, das

\mu

enthält.

[53{,}382;\, 54{,}558]

ist ein so gebautes Intervall.“

(ii) Wie viele Messungen für die Länge 0,4?

Sicherheitsniveau 95 %

Schritt 14 Die Länge des Intervalls

Länge = rechte Grenze minus linke Grenze (Grenzen aus Schritt 11)

L = I_2 - I_1 = \Big(\bar x_n + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q\Big) - \Big(\bar x_n - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q\Big)

Klammern auflösen: das Minus vor der zweiten Klammer dreht beide Vorzeichen um

L = \bar x_n + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q - \bar x_n + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,q

\bar x_n

hebt sich weg, die halbe Breite bleibt zweimal stehen

L = 2 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot q_{1-\alpha/2}

Probe mit (i)

L = 2 \cdot 0{,}3 \cdot 1{,}96 = 1{,}176 = 54{,}558 - 53{,}382 \quad \checkmark

Viel zu lang für die Forderung aus (ii)

1{,}176 > 0{,}4

Schritt 15 Die Bedingung $L \le 0{,}4$

Die Forderung aus (ii): Länge kleiner gleich 0,4

2 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot q_{0{,}975} \le 0{,}4

Fest sind

\sigma = 3

und

q_{0{,}975} = 1{,}96

. Frei ist nur

n

2 \cdot \frac{3}{\sqrt{n}} \cdot 1{,}96 \le 0{,}4

Die festen Zahlen in den Zähler:

2 \cdot 3 \cdot 1{,}96 = 11{,}76

\frac{11{,}76}{\sqrt{n}} \le 0{,}4

Schritt 16 Nach $\sqrt{n}$ auflösen

Beide Seiten mal

\sqrt{n}

(

\sqrt{n}

ist positiv, das

\le

bleibt)

11{,}76 \le 0{,}4 \cdot \sqrt{n}

Beide Seiten durch

0{,}4

(positiv, das

\le

bleibt)

\frac{11{,}76}{0{,}4} \le \sqrt{n}

29{,}4 \le \sqrt{n}

Andersherum geschrieben, wie in der Musterlösung

\sqrt{n} \ge 29{,}4

Schritt 17 Quadrieren: $n \ge 864{,}36$

Beide Seiten quadrieren (beide positiv, das

\ge

bleibt)

n \ge 29{,}4^2 = 29{,}4 \cdot 29{,}4 = 864{,}36

Zum Vergleich mit dem ungerundeten Quantil aus R

n \ge \Big(\frac{2 \cdot 3 \cdot 1{,}959964}{0{,}4}\Big)^2 = 29{,}39946^2 \approx 864{,}33

(2 * 3 * qnorm(0.975) / 0.4)^2
#[1] 864.3282

Schritt 18 Aufrunden, nicht runden: $n = 865$

n

zählt Messungen, ist also ganzzahlig. 864,36 liegt zwischen 864 und 865.

864 < 864{,}36 < 865

Probe mit

n = 864

: zu lang

L = \frac{11{,}76}{\sqrt{864}} = \frac{11{,}76}{29{,}3939} \approx 0{,}40008 > 0{,}4

Probe mit

n = 865

: reicht

L = \frac{11{,}76}{\sqrt{865}} = \frac{11{,}76}{29{,}4109} \approx 0{,}39985 \le 0{,}4 \quad \checkmark

2 * 3 * qnorm(0.975) / sqrt(c(864, 865))
#[1] 0.4000760 0.3998446

Der kleinste Stichprobenumfang, der reicht

n_{\min} = 865

(iii) Dasselbe mit 99 %

mehr Sicherheit, gleiche Länge 0,4

Schritt 19 99 %: das Quantil $q_{0{,}995} \approx 2{,}5758$

Sicherheitsniveau 99 %: die Ränder werden kleiner

1 - \alpha = 0{,}99 \;\Rightarrow\; \alpha = 0{,}01, \qquad \frac{\alpha}{2} = 0{,}005, \qquad 1 - \frac{\alpha}{2} = 0{,}995

qnorm(0.995)
#[1] 2.575829

Auf vier Nachkommastellen gerundet

q_{0{,}995} = 2{,}575829\ldots \approx 2{,}5758

Zum Vergleich bei

n = 100

: das 99-%-Intervall ist länger als das 95-%-Intervall

L = 2 \cdot 0{,}3 \cdot 2{,}5758 \approx 1{,}5455 \quad > \quad 1{,}176

Schritt 20 Dieselbe Rechnung mit 2,5758

Die Bedingung, Zähler zusammengefasst:

2 \cdot 3 \cdot 2{,}5758 = 15{,}4548

\frac{15{,}4548}{\sqrt{n}} \le 0{,}4 \qquad \big| \cdot \sqrt{n}

Wie in Schritt 16, beide Faktoren positiv

15{,}4548 \le 0{,}4 \cdot \sqrt{n} \qquad \big| : 0{,}4

38{,}637 \le \sqrt{n} \qquad \big| \; (\ldots)^2

Quadrieren wie in Schritt 17

n \ge 38{,}637^2 \approx 1.492{,}818

Zum Vergleich mit dem ungerundeten Quantil aus R

n \ge \Big(\frac{2 \cdot 3 \cdot 2{,}575829}{0{,}4}\Big)^2 = 38{,}63744^2 \approx 1.492{,}85

(2 * 3 * qnorm(0.995) / 0.4)^2
#[1] 1492.852

Schritt 21 Aufrunden: $n = 1.493$

Probe mit

n = 1.492

: zu lang

L = \frac{15{,}4548}{\sqrt{1.492}} = \frac{15{,}4548}{38{,}6264} \approx 0{,}40011 > 0{,}4

Probe mit

n = 1.493

: reicht, ganz knapp

L = \frac{15{,}4548}{\sqrt{1.493}} = \frac{15{,}4548}{38{,}6394} \approx 0{,}39998 \le 0{,}4 \quad \checkmark

2 * 3 * qnorm(0.995) / sqrt(c(1492, 1493))
#[1] 0.4001142 0.3999801

Der kleinste Stichprobenumfang für 99 %

n_{\min} = 1.493

Schritt 22 Vergleich: rund das 1,7-Fache

Verhältnis der beiden Stichprobenumfänge

\frac{1.493}{865} \approx 1{,}73 \qquad \text{(das Doppelte wären 1.730)}

Beide Rechnungen hatten dieselbe Form;

\frac{2 \cdot 3}{0{,}4} = 15

und

15^2 = 225

n \ge \Big(\frac{2 \cdot 3 \cdot q}{0{,}4}\Big)^2 = 15^2 \cdot q^2 = 225 \cdot q^2

Probe:

225 \cdot 1{,}96^2

und

225 \cdot 2{,}5758^2

225 \cdot 3{,}8416 = 864{,}36, \qquad 225 \cdot 6{,}63475 \approx 1.492{,}82

n

wächst mit dem Quadrat des Quantils

\Big(\frac{2{,}5758}{1{,}96}\Big)^2 \approx 1{,}3142^2 \approx 1{,}727

Schritt 23 Ergebnis

✓(i) 95-%-Konfidenzintervall:

I = [\mathbf{53{,}382};\; \mathbf{54{,}558}]

, also

53{,}97 \pm 0{,}588

, Länge

1{,}176

✓(ii) Für die Länge höchstens 0,4 bei 95 %: mindestens

n = \mathbf{865}

Messungen (

864{,}36

aufgerundet)

✓(iii) Für die Länge höchstens 0,4 bei 99 %: mindestens

n = \mathbf{1.493}

Messungen (

1.492{,}82

aufgerundet) — rund das 1,7-Fache von (ii)

Proben: Die Länge aus (i) ist $2 \cdot 0{,}588 = 1{,}176 = 54{,}558 - 53{,}382$ . Mit 864 bzw. 1.492 Messungen wäre das Intervall noch knapp länger als 0,4, mit 865 bzw. 1.493 nicht mehr. Größenordnung: Die Länge soll von 1,176 auf 0,4 fallen, also um den Faktor $1{,}176 : 0{,}4 = 2{,}94$ . Die Länge sinkt mit $\sqrt{n}$ , also braucht man $2{,}94^2 = 8{,}6436$ -mal so viele Messungen: $100 \cdot 8{,}6436 = 864{,}36$ . Das passt zu (ii).

Typische Fehler: 864,36 auf 864 runden statt aufrunden. $\sigma^2 = 9$ statt $\sigma = 3$ einsetzen. Das $\sqrt{n}$ vergessen. Das Quantil $q_{0{,}95} \approx 1{,}645$ statt $q_{0{,}975} \approx 1{,}96$ nehmen, also $\alpha$ nicht auf zwei Ränder verteilen; ebenso $q_{0{,}99}$ statt $q_{0{,}995}$ in (iii). Das Intervall als „ $\mu$ liegt mit 95 % Wahrscheinlichkeit darin“ lesen.

Frage	Weg	Wert
(i) 95-%-KI	$53{,}97 \pm 0{,}3 \cdot 1{,}96$	[53,382; 54,558]
(ii) $n$ für $L \le 0{,}4$ , 95 %	$n \ge 29{,}4^2 = 864{,}36$	865
(iii) $n$ für $L \le 0{,}4$ , 99 %	$n \ge 38{,}637^2 \approx 1.492{,}82$	1.493

Schritt 0 Die Aufgabe

(i) Wie genau ist der Mittelwert?

Schritt 1 Das Modell: 100 unabhängige Messungen

Schritt 2 Ein einzelner Schätzwert reicht nicht

Schritt 3 Irrtumswahrscheinlichkeit α\alphaα und Sicherheitsniveau 1−α1-\alpha1−α

Schritt 4 Der Mittelwert als Zufallsvariable: Mitte μ\muμ

Schritt 5 Die Streuung des Mittelwerts: σ2/n\sigma^2/nσ2/n

Schritt 6 Der Mittelwert ist normalverteilt

Schritt 7 Standardisieren: von Xˉn\bar X_nXˉn​ zu ZZZ

Schritt 8 Die mittleren 95 %: zwei Ränder zu je 2,5 %

Schritt 9 Die Grenze q0,975≈1,96q_{0{,}975} \approx 1{,}96q0,975​≈1,96 mit qnorm

Schritt 10 Die Ungleichung nach μ\muμ umstellen

(i) Das 95-%-Konfidenzintervall

Schritt 11 Die Grenzen des Intervalls ausrechnen

Schritt 12 Was die 95 % bedeuten

Schritt 13 Was das Intervall nicht bedeutet

(ii) Wie viele Messungen für die Länge 0,4?

Schritt 14 Die Länge des Intervalls

Schritt 15 Die Bedingung L≤0,4L \le 0{,}4L≤0,4

Schritt 16 Nach n\sqrt{n}n​ auflösen

Schritt 17 Quadrieren: n≥864,36n \ge 864{,}36n≥864,36

Schritt 18 Aufrunden, nicht runden: n=865n = 865n=865

(iii) Dasselbe mit 99 %

Schritt 19 99 %: das Quantil q0,995≈2,5758q_{0{,}995} \approx 2{,}5758q0,995​≈2,5758

Schritt 20 Dieselbe Rechnung mit 2,5758

Schritt 21 Aufrunden: n=1.493n = 1.493n=1.493

Schritt 22 Vergleich: rund das 1,7-Fache

Schritt 23 Ergebnis

Schritt 3 Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ und Sicherheitsniveau $1-\alpha$

Schritt 4 Der Mittelwert als Zufallsvariable: Mitte $\mu$

Schritt 5 Die Streuung des Mittelwerts: $\sigma^2/n$

Schritt 7 Standardisieren: von $\bar X_n$ zu $Z$

Schritt 9 Die Grenze $q_{0{,}975} \approx 1{,}96$ mit qnorm

Schritt 10 Die Ungleichung nach $\mu$ umstellen

Schritt 15 Die Bedingung $L \le 0{,}4$

Schritt 16 Nach $\sqrt{n}$ auflösen

Schritt 17 Quadrieren: $n \ge 864{,}36$

Schritt 18 Aufrunden, nicht runden: $n = 865$

Schritt 19 99 %: das Quantil $q_{0{,}995} \approx 2{,}5758$

Schritt 21 Aufrunden: $n = 1.493$