Ein Sägewerk schneidet Dachbalken. Jeder Balken soll 750 cm lang sein. Dem Inhaber wird
vorgeworfen, seine Balken seien im Mittel kürzer als 750 cm. Das Wort „unterstellt“ in
der Aufgabe heißt: Jemand behauptet das, bewiesen ist es noch nicht.
Um den Vorwurf zu prüfen, wurden 40 Balken zufällig herausgegriffen und gemessen. Im
Durchschnitt waren sie 749 cm lang, also 1 cm zu kurz. Von der Säge ist außerdem
bekannt, wie stark ihre Schnitte schwanken: Die Standardabweichung ist σ = 0,6 \sigma = 0{,}6 σ = 0 , 6
Gesucht ist eine Ja-oder-Nein-Antwort: Kann man den Vorwurf „zum Niveau α = 1 % \alpha =
1\,\% α = 1 %
Neu auf diesem Blatt: Bisher wurde vor allem geschätzt, zuletzt mit einem
Konfidenzintervall. Hier wird entschieden . Das Werkzeug dafür heißt
statistischer Test . Er sagt, ob die Daten stark genug gegen eine Annahme sprechen, um
sie zu verwerfen. In Aufgabe 3 wurde schon einmal entschieden, dort über das
Konfidenzintervall. Hier wird zum ersten Mal ein Test Schritt für Schritt durchgerechnet, und
jeder Baustein wird von Grund auf erklärt.
Der Weg in drei Etappen:
Die Frage als Test schreiben (Schritte 1–7): zwei Hypothesen H 0 H_0 H 0 H A H_A H A α \alpha α
Rechnen und entscheiden (Schritte 8–16): die Teststatistik Z Z Z
Zwei Ergänzungen (Schritte 17–18): dieselbe Entscheidung in Zentimetern und mit dem p-Wert.
Merke: Ein Test kann nur eine Annahme
verwerfen . Deshalb kommt das, was man
zeigen will, in die Alternative
H A H_A H A — hier also „die Balken sind im Mittel zu kurz“.
Zur Musterlösung: Sie rechnet genauso und kommt auf dieselben Zahlen:
Z ≈ − 10,541 Z \approx
-10{,}541 Z ≈ − 10 , 541 , kritischer Wert
− 2,3263 -2{,}3263 − 2 , 3263 ,
H 0 H_0 H 0 wird verworfen. Das Artefakt ergänzt die
Begründungen und zwei Zusatzrechnungen.
n = 40 n = 40 n = 40 ,
x ˉ 40 = 749 \bar x_{40} = 749 x ˉ 40 = 749 cm,
σ = 0,6 \sigma = 0{,}6 σ = 0 , 6 cm,
μ 0 = 750 \mu_0 = 750 μ 0 = 750
cm
Zuerst bekommt jede Angabe der Aufgabe einen Namen.
X i X_i X i i i i i = 1 , … , 40 i = 1, \dots, 40 i = 1 , … , 40 Stichprobe , ihr Umfang ist n = 40 n = 40 n = 40
x ˉ 40 = 749 \bar x_{40} = 749 x ˉ 40 = 749 Stichprobenmittelwert : die durchschnittliche Länge
dieser 40 Balken.
σ = 0,6 \sigma = 0{,}6 σ = 0 , 6 Standardabweichung der Säge: So weit weicht ein
einzelner Balken typischerweise von der mittleren Länge ab. Sie ist bekannt. Man muss
sie also nicht wie in Blatt 5 aus den Daten schätzen.
μ \mu μ Erwartungswert : die mittlere Länge aller
Balken, die diese Säge schneidet. Um μ \mu μ μ \mu μ unbekannt — sonst bräuchte man keinen Test.
μ 0 = 750 \mu_0 = 750 μ 0 = 750 μ \mu μ
„Zufällig entnommen“ heißt hier: Die Längen X 1 , … , X 40 X_1, \dots, X_{40} X 1 , … , X 40 unabhängig und identisch verteilt . Das bedeutet: Jede Messung folgt derselben
Verteilung, denn alle Balken kommen von derselben Säge. Und keine Messung beeinflusst eine
andere.
Im Bild steht der gemessene Mittelwert 749 cm als Punkt, die Solllänge 750 cm als
gestrichelte Linie.
Aus Blatt 5, Aufgabe 2 („Mittelwert und Median: ein Ausreißer bei den Ausgaben“):
Der Stichprobenmittelwert ist
x ˉ n = 1 n ∑ i = 1 n x i \bar x_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i x ˉ n = n 1 ∑ i = 1 n x i , die Summe aller
Werte geteilt durch ihre Anzahl. Hier nennt die Aufgabe ihn fertig:
x ˉ 40 = 749 \bar x_{40} = 749 x ˉ 40 = 749
cm.
Aus Blatt 5, Aufgabe 3 („Stichprobenvarianz: die Länge der Fische“): Dort war die
Streuung unbekannt und wurde aus den Daten geschätzt (
s s s ). Hier ist
σ \sigma σ von der
Maschine bekannt. Dieser Unterschied entscheidet in Schritt 7 über den Test.
1 cm unter dem Soll: Zufall oder zu kurz?
Der Mittelwert der 40 Balken liegt 1 cm unter dem Soll. Ist der Vorwurf damit bewiesen?
Nein, noch nicht.
Der Mittelwert hängt davon ab, welche 40 Balken man zufällig gegriffen hat. Andere 40
Balken hätten einen etwas anderen Mittelwert ergeben. Selbst wenn die Säge im Mittel genau
750 cm schneidet, kommt bei 40 Balken fast nie genau 750,0 cm heraus. Mal sind es ein paar
Millimeter mehr, mal weniger.
Für die 749 cm gibt es also zwei mögliche Erklärungen:
Zufall: Die Balken sind im Mittel in Ordnung (μ ≥ 750 \mu \ge 750 μ ≥ 750
Echter Fehler: Die Säge schneidet im Mittel zu kurz (μ < 750 \mu < 750 μ < 750
Ein Test fragt: Ist die Abweichung so groß, dass Zufall allein sie kaum noch erklären
kann? Dafür braucht man zweierlei: eine klare Formulierung der beiden Erklärungen
(Schritte 3–6) und ein Maß dafür, wie stark der Mittelwert zufällig schwankt (Schritt 8).
H 0 : μ ≥ 750 H_0: \mu \ge 750 H 0 : μ ≥ 750 gegen
H A : μ < 750 H_A: \mu < 750 H A : μ < 750
Eine Hypothese ist eine Aussage über den unbekannten Wert μ \mu μ
die Nullhypothese H 0 H_0 H 0
die Alternative H A H_A H A
Die beiden dürfen sich nicht überschneiden, und zusammen müssen sie alle Möglichkeiten
abdecken. Hier:
H A : μ < 750 H_A: \mu < 750 H A : μ < 750 kürzer als 750 cm. Das ist der
Vorwurf.
H 0 : μ ≥ 750 H_0: \mu \ge 750 H 0 : μ ≥ 750 mindestens 750 cm lang, also nicht
zu kurz. Das Zeichen ≥ \ge ≥
Jeder mögliche Wert von μ \mu μ H 0 H_0 H 0
Zu lange Balken wirft dem Inhaber niemand vor. Deshalb zählt nur die Richtung „kürzer“. So
ein Test heißt einseitig . Weil die Alternative links von 750 liegt, genauer
linksseitig . Im Bild sind die beiden Bereiche als Bänder eingezeichnet.
Aus Aufgabe 3 („Ein Ausreißer im Konfidenzintervall: Mehlpackungen“): Dort ging es
um
H 0 : μ = 500 H_0: \mu = 500 H 0 : μ = 500 gegen
H A : μ ≠ 500 H_A: \mu \ne 500 H A : μ = 500 — gefragt war, ob das Füllgewicht in
irgendeine Richtung abweicht. Das ist ein zweiseitiger Test. Hier zählt nur eine
Richtung.
„zeigen“ heißt:
H 0 H_0 H 0 verwerfen
Warum steht der Vorwurf in H A H_A H A H 0 H_0 H 0
H 0 H_0 H 0 H 0 H_0 H 0 H 0 H_0 H 0 H A H_A H A gezeigt . Der Test ist so gebaut, dass er H 0 H_0 H 0 H 0 H_0 H 0 α \alpha α α \alpha α
H 0 H_0 H 0 H 0 H_0 H 0 nicht , dass H 0 H_0 H 0
Nur der erste Ausgang ist eine belastbare Aussage. Was man zeigen will, muss deshalb in
H A H_A H A H 0 H_0 H 0
Vergleich mit einem Gericht: Ein Angeklagter gilt als unschuldig, bis seine Schuld
bewiesen ist. Die Unschuld ist H 0 H_0 H 0 H A H_A H A H 0 H_0 H 0
Merke: Die Vermutung, die man zeigen will, kommt in
H A H_A H A . „Zeigen“ heißt:
H 0 H_0 H 0
verwerfen. „
H 0 H_0 H 0 nicht verwerfen“ zeigt gar nichts.
Typischer Fehler: H 0 : μ < 750 H_0: \mu < 750 H 0 : μ < 750 ansetzen. Dann könnte der Test höchstens
zeigen, dass die Balken
nicht zu kurz sind — das Gegenteil der Frage.
Fehler 1. Art:
H 0 H_0 H 0 verworfen, obwohl
H 0 H_0 H 0 stimmt
Der Test entscheidet mit zufälligen Daten. Deshalb kann er sich irren. Es gibt genau zwei
Arten, sich zu irren; die Tabelle im Lösungsweg stellt alle vier Fälle nebeneinander.
Fehler 1. Art: H 0 H_0 H 0 H 0 H_0 H 0
Fehler 2. Art: H A H_A H A H 0 H_0 H 0
Bei fester Stichprobengröße kann man nicht beide Fehler zugleich beliebig klein machen.
Ein Test, der sehr vorsichtig verwirft, beschuldigt selten jemanden zu Unrecht (wenig
Fehler 1. Art). Dafür übersieht er öfter echte Mängel (mehr Fehler 2. Art). Man muss sich
also entscheiden, welchen Fehler man begrenzt. Das zeigt der nächste Schritt.
Im Bild steht über jedem Band, welcher Fehler dort passieren kann.
P ( Fehler 1. Art ) ≤ α = 0,01 P(\text{Fehler 1. Art}) \le \alpha = 0{,}01 P ( Fehler 1. Art ) ≤ α = 0 , 01
Man begrenzt den Fehler 1. Art. Dafür legt man eine obere Schranke α \alpha α
P ( Fehler 1. Art ) ≤ α P(\text{Fehler 1. Art}) \le \alpha P ( Fehler 1. Art ) ≤ α
Diese Schranke heißt Signifikanzniveau . Hier gibt die Aufgabe α = 1 % = 0,01 \alpha = 1\,\% =
0{,}01 α = 1 % = 0 , 01
„Zum Niveau 1 % nachweisen“ heißt also: H 0 H_0 H 0
Zwei Dinge gehören dazu:
α \alpha α vor dem Blick auf die Daten festgelegt und danach nicht mehr
geändert. Sonst könnte man sich das gewünschte Ergebnis passend machen.
α \alpha α H 0 H_0 H 0
Aus Aufgabe 1 („Konfidenzintervall bei bekannter Varianz“): Dort hieß
α \alpha α
Irrtumswahrscheinlichkeit, und
1 − α 1 - \alpha 1 − α war das Sicherheitsniveau. Beim Test heißt
dasselbe
α \alpha α Signifikanzniveau.
σ = 0,6 \sigma = 0{,}6 σ = 0 , 6 cm bekannt ⇒ Gauß-Test
Für Tests über den Erwartungswert μ \mu μ
Fall 1: Die Standardabweichung σ \sigma σ Gauß-Test .
Fall 2: σ \sigma σ
Hier kennt man σ = 0,6 \sigma = 0{,}6 σ = 0 , 6 Gauß-Test . Er heißt nach
Carl Friedrich Gauß, weil er mit der Normalverteilung rechnet, der „Gaußschen
Glockenkurve“.
Voraussetzung: Streng genommen verlangt der Gauß-Test normalverteilte Längen. Das
sagt die Aufgabe nicht ausdrücklich. Es reicht aber hier, weil der Test nur mit dem
Mittelwert arbeitet. Der zentrale Grenzwertsatz sagt: Der Mittelwert vieler
unabhängiger, identisch verteilter Messungen ist näherungsweise normalverteilt, egal wie
die einzelnen Messungen verteilt sind. „Viele“ heißt als Faustregel n ≥ 30 n \ge 30 n ≥ 30 n = 40 n =
40 n = 40 näherungsweise .
Aus Aufgabe 1 („Konfidenzintervall bei bekannter Varianz“), Schritt 6: Der zentrale
Grenzwertsatz sagt: Auch wenn die einzelnen Messungen nicht normalverteilt sind, ist ihr
Mittelwert bei großem
n n n ungefähr normalverteilt. Als Faustregel gilt
n ≥ 30 n \ge 30 n ≥ 30 .
Aus Aufgabe 3 („Ein Ausreißer im Konfidenzintervall: Mehlpackungen“): Ein
zweiseitiger Test und das Konfidenzintervall kommen zur selben Entscheidung:
H 0 : μ = μ 0 H_0: \mu =
\mu_0 H 0 : μ = μ 0 wird genau dann verworfen, wenn
μ 0 \mu_0 μ 0 nicht im Intervall liegt. Hier ist der Test
einseitig; deshalb wird er direkt gerechnet.
σ 40 = 0,6 6,3246 ≈ 0,0949 \dfrac{\sigma}{\sqrt{40}} = \dfrac{0{,}6}{6{,}3246} \approx 0{,}0949 40 σ = 6 , 3246 0 , 6 ≈ 0 , 0949 cm
Zurück zur Frage aus Schritt 2: Ist 1 cm viel? Das hängt davon ab, wie stark der
Mittelwert von 40 Balken zufällig schwankt.
Den Mittelwert als Zufallsgröße schreibt man mit großem Buchstaben: X ˉ 40 \bar X_{40} X ˉ 40 bevor gemessen wird — er kann noch verschieden ausfallen. Das
kleine x ˉ 40 = 749 \bar x_{40} = 749 x ˉ 40 = 749
Aus Aufgabe 1 ist bekannt: X ˉ n ∼ N ( μ , σ 2 / n ) \bar X_n \sim N\big(\mu,\ \sigma^2/n\big) X ˉ n ∼ N ( μ , σ 2 / n ) μ \mu μ σ / n \sigma/\sqrt{n} σ / n
40 ≈ 6,3246 \sqrt{40} \approx 6{,}3246 40 ≈ 6 , 3246
σ 40 = 0,6 6,3246 ≈ 0,0949 \dfrac{\sigma}{\sqrt{40}} = \dfrac{0{,}6}{6{,}3246} \approx 0{,}0949 40 σ = 6 , 3246 0 , 6 ≈ 0 , 0949
Ein einzelner Balken weicht typischerweise um 0,6 cm ab. Der Mittelwert von 40 Balken nur
um knapp 0,1 cm: Beim Mitteln gleichen sich zu lange und zu kurze Balken weitgehend aus.
Was heißt das für 749 cm? Angenommen, μ = 750 \mu = 750 μ = 750 x ˉ 40 \bar x_{40} x ˉ 40 750 − 3 ⋅ 0,0949 ≈ 749,72 750 - 3 \cdot 0{,}0949 \approx
749{,}72 750 − 3 ⋅ 0 , 0949 ≈ 749 , 72 750 + 3 ⋅ 0,0949 ≈ 750,28 750 + 3 \cdot 0{,}0949 \approx 750{,}28 750 + 3 ⋅ 0 , 0949 ≈ 750 , 28
Aus Aufgabe 1 („Konfidenzintervall bei bekannter Varianz“): Sind
X 1 , … , X n X_1, \dots, X_n X 1 , … , X n
unabhängig und
N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N ( μ , σ 2 ) -verteilt, so ist
X ˉ n ∼ N ( μ , σ 2 / n ) \bar X_n \sim N(\mu, \sigma^2/n) X ˉ n ∼ N ( μ , σ 2 / n ) . Die
Varianz des Mittelwerts ist
σ 2 / n \sigma^2/n σ 2 / n , seine Standardabweichung
σ / n \sigma/\sqrt{n} σ / n . Hier
gilt die Normalverteilung nach Schritt 7 näherungsweise; Varianz und Standardabweichung
des Mittelwerts gelten genau.
Aus Blatt 4, Aufgabe 1 („Normalverteilung: die σ-Regeln“): Zwischen
μ − 3 σ \mu - 3\sigma μ − 3 σ
und
μ + 3 σ \mu + 3\sigma μ + 3 σ liegen rund 99,6 % der Fläche unter der Glockenkurve.
Z = n ⋅ x ˉ n − μ 0 σ = x ˉ n − μ 0 σ / n Z = \sqrt{n}\cdot\dfrac{\bar x_n - \mu_0}{\sigma} = \dfrac{\bar x_n -
\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} Z = n ⋅ σ x ˉ n − μ 0 = σ / n x ˉ n − μ 0
Ein Test braucht eine einzige Zahl, die aus den Daten berechnet wird und über die
Entscheidung bestimmt. Sie heißt Teststatistik . Beim Gauß-Test heißt sie Z Z Z
Z = n ⋅ x ˉ n − μ 0 σ Z = \sqrt{n}\cdot\dfrac{\bar x_n - \mu_0}{\sigma} Z = n ⋅ σ x ˉ n − μ 0
Die Zeichen: n n n x ˉ n \bar x_n x ˉ n μ 0 \mu_0 μ 0 σ \sigma σ
Was misst Z Z Z Man sieht es nach einer Umformung. Mal n \sqrt{n} n 1 / n 1/\sqrt{n} 1/ n σ / n \sigma/\sqrt{n} σ / n
Z Z Z wie viele Standardabweichungen des Mittelwerts liegt x ˉ n \bar x_n x ˉ n μ 0 \mu_0 μ 0 Z Z Z
Z Z Z negativ , wenn der Mittelwert unter 750 cm liegt.Z Z Z
Für μ 0 \mu_0 μ 0 H 0 H_0 H 0 H 0 : μ ≥ 750 H_0: \mu \ge 750 H 0 : μ ≥ 750
Z = 40 ⋅ 749 − 750 0,6 ≈ − 10,54 Z = \sqrt{40}\cdot\dfrac{749 - 750}{0{,}6} \approx -10{,}54 Z = 40 ⋅ 0 , 6 749 − 750 ≈ − 10 , 54
Jetzt werden die Zahlen eingesetzt: n = 40 n = 40 n = 40 x ˉ 40 = 749 \bar x_{40} = 749 x ˉ 40 = 749 μ 0 = 750 \mu_0 = 750 μ 0 = 750 σ = 0,6 \sigma
= 0{,}6 σ = 0 , 6
Z = 40 ⋅ 749 − 750 0,6 Z = \sqrt{40}\cdot\dfrac{749 - 750}{0{,}6} Z = 40 ⋅ 0 , 6 749 − 750
Erst der Zähler des Bruchs: 749 − 750 = − 1 749 - 750 = -1 749 − 750 = − 1
Z = 6,3246 ⋅ − 1 0,6 = − 6,3246 0,6 ≈ − 10,541 Z = 6{,}3246 \cdot \dfrac{-1}{0{,}6} = -\dfrac{6{,}3246}{0{,}6} \approx -10{,}541 Z = 6 , 3246 ⋅ 0 , 6 − 1 = − 0 , 6 6 , 3246 ≈ − 10 , 541
R rechnet mit dem vollen Wert von 40 \sqrt{40} 40 − 10,54093 -10{,}54093 − 10 , 54093 Z ≈ − 10,54 Z \approx \mathbf{-10{,}54} Z ≈ − 10 , 54 − 10,541 -10{,}541 − 10 , 541
Probe mit Schritt 8: − 1 0,0949 ≈ − 10,54 \dfrac{-1}{0{,}0949} \approx -10{,}54 0 , 0949 − 1 ≈ − 10 , 54
In Worten: Der Mittelwert der 40 Balken liegt 10,54 Standardabweichungen des
Mittelwerts unter der Solllänge. Die Skala im Bild reicht nur bis − 4 -4 − 4 Z Z Z
Ist
μ = 750 \mu = 750 μ = 750 , dann ist
Z Z Z (näherungsweise)
∼ N ( 0 , 1 ) \sim N(0,\,1) ∼ N ( 0 , 1 )
Ist − 10,54 -10{,}54 − 10 , 54 Z Z Z H 0 H_0 H 0 H 0 H_0 H 0 μ = 750 \mu = 750 μ = 750
Dann ist X ˉ 40 ∼ N ( 750 , 0,6 2 / 40 ) \bar X_{40} \sim N\big(750,\ 0{,}6^2/40\big) X ˉ 40 ∼ N ( 750 , 0 , 6 2 /40 ) Z Z Z
Z = X ˉ 40 − 750 σ / 40 Z = \dfrac{\bar X_{40} - 750}{\sigma/\sqrt{40}} Z = σ / 40 X ˉ 40 − 750
Das ist genau das Standardisieren : vom Mittelwert die Mitte 750 abziehen und durch
seine Standardabweichung σ / 40 \sigma/\sqrt{40} σ / 40 standardnormalverteilt — hier nach Schritt 7 näherungsweise: Z ∼ N ( 0 , 1 ) Z \sim N(0,\,1) Z ∼ N ( 0 , 1 )
Das Bild zeigt diese Glocke. Wenn μ = 750 \mu = 750 μ = 750 Z Z Z − 3 -3 − 3 3 3 3
Wichtig: Diese Glocke gilt für jede Gauß-Test-Aufgabe, egal welche Zahlen. Das macht Z Z Z N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 )
Aus Aufgabe 1 („Konfidenzintervall bei bekannter Varianz“): Standardisiert man den
Mittelwert, erhält man
n ⋅ X ˉ n − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) \sqrt{n}\cdot\dfrac{\bar X_n - \mu}{\sigma} \sim N(0,1) n ⋅ σ X ˉ n − μ ∼ N ( 0 , 1 ) . Hier
steht für
μ \mu μ der Wert
μ 0 = 750 \mu_0 = 750 μ 0 = 750 .
Aus Blatt 4, Aufgabe 3 („Standardnormalverteilung mit R“): Die
Standardnormalverteilung
N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 ) ist die Normalverteilung mit
μ = 0 \mu = 0 μ = 0 und
σ = 1 \sigma = 1 σ = 1 .
Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter ihrer Glocke; die ganze Fläche ist 1.
H 0 H_0 H 0 verwerfen, falls
Z < c Z < c Z < c mit
P ( Z < c ) = 0,01 P(Z < c) = 0{,}01 P ( Z < c ) = 0 , 01 Welche Werte von Z Z Z H 0 H_0 H 0 H A : μ < 750 H_A: \mu < 750 H A : μ < 750
Sind die Balken im Mittel zu kurz, liegt auch der Mittelwert meist unter 750 cm. Dann ist
Z Z Z Z Z Z
Also: H 0 H_0 H 0 Z Z Z c c c Z Z Z Ablehnbereich . Er liegt links;
deshalb heißt der Test linksseitig.
Wo liegt c c c Hier kommt α \alpha α H 0 H_0 H 0 Z Z Z μ = 750 \mu = 750 μ = 750 c c c c c c
P ( Z < c ) = 0,01 P(Z < c) = 0{,}01 P ( Z < c ) = 0 , 01
Im Bild ist das die schmale rote Fläche ganz links, beschriftet mit „1 %“. Die übrigen 99
% liegen rechts davon: Dort wird H 0 H_0 H 0
c = q 0,01 = − q 0,99 ≈ − 2,3263 c = q_{0{,}01} = -q_{0{,}99} \approx -2{,}3263 c = q 0 , 01 = − q 0 , 99 ≈ − 2 , 3263
Gesucht ist die Grenze, links von der 1 % der Fläche von N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 ) Quantil , hier das 1-%-Quantil q 0,01 q_{0{,}01} q 0 , 01
Das Skript und die Musterlösung schreiben es als − q 0,99 -q_{0{,}99} − q 0 , 99 − q 0,99 -q_{0{,}99} − q 0 , 99 q 0,99 q_{0{,}99} q 0 , 99 1 − 0,99 = 0,01 1 - 0{,}99 = 0{,}01 1 − 0 , 99 = 0 , 01
R liefert das Quantil mit qnorm. Ohne weitere Angaben rechnet R
mit N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 )
qnorm(0.99) gibt 2,326348. Mit Minus davor und auf vier
Nachkommastellen gerundet:
c = − q 0,99 ≈ − 2,3263 c = -q_{0{,}99} \approx \mathbf{-2{,}3263} c = − q 0 , 99 ≈ − 2 , 3263
Diese Grenze heißt kritischer Wert . Die Entscheidungsregel lautet:
H 0 H_0 H 0 Z < − 2,3263 Z < -2{,}3263 Z < − 2 , 3263
Warum q 0,99 q_{0{,}99} q 0 , 99 q 0,995 q_{0{,}995} q 0 , 995 In Aufgabe 1 stand q 1 − α / 2 q_{1-\alpha/2} q 1 − α /2 α \alpha α α = 1 % \alpha = 1\,\% α = 1 % q 1 − α = q 0,99 q_{1-\alpha} = q_{0{,}99} q 1 − α = q 0 , 99
Aus Blatt 4, Aufgabe 5 („Quantile: die Füllmenge einer Kaffeepackung“): Ein Quantil
ist die Grenze, links von der ein vorgegebener Anteil liegt; R berechnet es mit
qnorm. Dort stand für die Standardnormalverteilung
z 0,99 ≈ 2,326348 z_{0{,}99}
\approx 2{,}326348 z 0 , 99 ≈ 2 , 326348 . Skript und Musterlösung schreiben hier
q q q statt
z z z .
Aus Aufgabe 1 („Konfidenzintervall bei bekannter Varianz“): Dort wurde
q 1 − α / 2 = q 0,975 ≈ 1,96 q_{1-\alpha/2} = q_{0{,}975} \approx 1{,}96 q 1 − α /2 = q 0 , 975 ≈ 1 , 96 für die beiden 2,5-%-Ränder benutzt.
bei
μ = 750,1 \mu = 750{,}1 μ = 750 , 1 : nur
0,04 % 0{,}04\,\% 0 , 04 % · bei
μ = 750 \mu = 750 μ = 750 : genau
1 % 1\,\% 1 %
H 0 H_0 H 0 μ ≥ 750 \mu \ge 750 μ ≥ 750 μ = 750 \mu = 750 μ = 750 μ 0 = 750 \mu_0 = 750 μ 0 = 750 H 0 H_0 H 0 μ = 750,1 \mu = 750{,}1 μ = 750 , 1
Ja. Angenommen, μ = 750,1 \mu = 750{,}1 μ = 750 , 1 σ / 40 \sigma/\sqrt{40} σ / 40
0,1 0,0949 ≈ 1,05 \dfrac{0{,}1}{0{,}0949} \approx 1{,}05 0 , 0949 0 , 1 ≈ 1 , 05 1,0541 1{,}0541 1 , 0541
Die Glocke von Z Z Z rechts , weg vom Ablehnbereich: Bei μ = 750,1 \mu =
750{,}1 μ = 750 , 1 Z Z Z N ( 1,05 ; 1 ) N(1{,}05;\,1) N ( 1 , 05 ; 1 )
Wie viel Fläche liegt jetzt links von − 2,3263 -2{,}3263 − 2 , 3263 Die Tabelle von N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 ) pnorm gilt nur für die Glocke mit Mitte 0. Also schiebt man
zurück: Man zieht von Z Z Z Z − 1,0541 Z - 1{,}0541 Z − 1 , 0541 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 )
Z < − 2,3263 ⟺ Z − 1,0541 < − 2,3263 − 1,0541 = − 3,3804 Z < -2{,}3263 \iff Z - 1{,}0541 < -2{,}3263 - 1{,}0541 = -3{,}3804 Z < − 2 , 3263 ⟺ Z − 1 , 0541 < − 2 , 3263 − 1 , 0541 = − 3 , 3804
Die Wahrscheinlichkeit dafür ist die Fläche unter N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 ) − 3,3804 -3{,}3804 − 3 , 3804 μ = 750 \mu
= 750 μ = 750
Je größer μ \mu μ H 0 H_0 H 0 μ = 750 \mu = 750 μ = 750
Das ist der ungünstigste Fall . Hält der Test ihn ein, hält er alle Fälle in H 0 H_0 H 0 μ 0 = 750 \mu_0 = 750 μ 0 = 750
Merke: Bei einseitigen Tests rechnet man mit dem Rand von
H 0 H_0 H 0 . Dort ist die
Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art am größten, und sie ist genau
α \alpha α .
Z ≈ − 10,54 < − 2,3263 Z \approx -10{,}54 < -2{,}3263 Z ≈ − 10 , 54 < − 2 , 3263
Jetzt wird die Teststatistik aus Schritt 10 mit dem kritischen Wert aus Schritt 13
verglichen:
Z ≈ − 10,54 und − 2,3263 Z \approx -10{,}54 \quad \text{und} \quad -2{,}3263 Z ≈ − 10 , 54 und − 2 , 3263
Bei negativen Zahlen ist die Zahl kleiner, die weiter links auf dem Zahlenstrahl liegt.
− 10,54 -10{,}54 − 10 , 54 − 2,3263 -2{,}3263 − 2 , 3263
Z ≈ − 10,54 < − 2,3263 Z \approx -10{,}54 < -2{,}3263 Z ≈ − 10 , 54 < − 2 , 3263
Z Z Z 10,54 : 2,3263 ≈ 4,5 10{,}54 : 2{,}3263 \approx 4{,}5 10 , 54 : 2 , 3263 ≈ 4 , 5 Z Z Z
Im Bild: Der Ablehnbereich beginnt bei − 2,33 -2{,}33 − 2 , 33 − 4 -4 − 4 Z Z Z
H 0 H_0 H 0 verwerfen: Die Unterstellung ist zum Niveau 1 % nachgewiesen
Weil Z Z Z H 0 H_0 H 0 H A H_A H A μ < 750 \mu < 750 μ < 750
Antwort: Ja. Zum Niveau α = 1 % \alpha = 1\,\% α = 1 %
Was heißt das genau? Wären die Balken im Mittel in Ordnung, käme ein solcher Test
in höchstens 1 % der Fälle zu diesem Ergebnis. Die Garantie betrifft also das
Verfahren .
Was es nicht heißt: „Mit 99 % Wahrscheinlichkeit sind die Balken zu kurz.“ μ \mu μ
Und wenn Z Z Z Etwa bei Z = − 1,5 Z = -1{,}5 Z = − 1 , 5 H 0 H_0 H 0 nicht , dass die Balken in Ordnung sind
(Schritt 4).
Merke: Der Antwortsatz nennt die Entscheidung, das Niveau und die Aussage im
Sachzusammenhang — hier: Balken im Mittel kürzer als 750 cm.
verwerfen, falls
x ˉ 40 < 749,78 \bar x_{40} < 749{,}78 x ˉ 40 < 749 , 78 cm
Diese Ergänzung geht über die Aufgabe hinaus. Sie übersetzt die Regel „Z < − 2,3263 Z <
-2{,}3263 Z < − 2 , 3263
Man setzt die Formel für Z Z Z x ˉ 40 \bar x_{40} x ˉ 40
Beide Seiten mal σ / 40 = 0,0949 \sigma/\sqrt{40} = 0{,}0949 σ / 40 = 0 , 0949 < < <
Rechts: − 2,3263 ⋅ 0,0949 ≈ − 0,2208 -2{,}3263 \cdot 0{,}0949 \approx -0{,}2208 − 2 , 3263 ⋅ 0 , 0949 ≈ − 0 , 2208
Beide Seiten plus 750: x ˉ 40 < 749,7792 \bar x_{40} < 749{,}7792 x ˉ 40 < 749 , 7792
Mit den vollen Werten gibt R 749,7793. Gerundet: Der Test verwirft, sobald der Mittelwert
der 40 Balken unter 749,78 cm liegt.
Das zeigt anschaulich, wie genau ein Mittelwert aus 40 Messungen ist: Schon gut 2 mm zu
kurz im Mittel würden reichen. Die gemessenen 749 cm liegen 0,78 cm unter dieser Grenze.
Im Bild entspricht − 2,33 -2{,}33 − 2 , 33 Z Z Z
p = P ( Z ≤ − 10,54 ) ≈ 2,8 ⋅ 10 − 26 p = P(Z \le -10{,}54) \approx 2{,}8 \cdot 10^{-26} p = P ( Z ≤ − 10 , 54 ) ≈ 2 , 8 ⋅ 1 0 − 26
Auch das geht über die Aufgabe hinaus. Statt mit dem kritischen Wert zu
vergleichen, geben Programme wie R meist den p-Wert aus.
Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, bei μ = 750 \mu = 750 μ = 750 Z Z Z − 10,54 -10{,}54 − 10 , 54
p = P ( Z ≤ − 10,54 ) p = P(Z \le -10{,}54) p = P ( Z ≤ − 10 , 54 )
R rechnet das mit pnorm aus und antwortet
2.797279e-26. Das e-26 heißt „mal
10 − 26 10^{-26} 1 0 − 26
p ≈ 2,8 ⋅ 10 − 26 = 0, 00 … 0 ⏟ 25 Nullen 28 p \approx 2{,}8 \cdot 10^{-26} = 0{,}\underbrace{00\ldots0}_{25\ \text{Nullen}}28 p ≈ 2 , 8 ⋅ 1 0 − 26 = 0 , 25 Nullen 00 … 0 28
Das ist praktisch 0. Die Fläche ist viel zu dünn, um sie im Bild zu zeichnen.
Die Regel: Ist p ≤ α p \le \alpha p ≤ α H 0 H_0 H 0 2,8 ⋅ 10 − 26 ≤ 0,01 2{,}8 \cdot 10^{-26}
\le 0{,}01 2 , 8 ⋅ 1 0 − 26 ≤ 0 , 01 α \alpha α H 0 H_0 H 0
Vorsicht: Der p-Wert ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass H 0 H_0 H 0 μ = 750 \mu = 750 μ = 750
Aus Blatt 4, Aufgabe 3 („Standardnormalverteilung mit R“):
pnorm(x) gibt die Fläche links von
x x x unter der Glocke von
N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 ) .
Baustein
hier
Hypothesen
H 0 : μ ≥ 750 H_0: \mu \ge 750 H 0 : μ ≥ 750 H A : μ < 750 H_A: \mu < 750 H A : μ < 750
Signifikanzniveau
α = 0,01 \alpha = 0{,}01 α = 0 , 01
Test
Gauß-Test, linksseitig (σ \sigma σ
Teststatistik
Z ≈ − 10,54 Z \approx -10{,}54 Z ≈ − 10 , 54
kritischer Wert
− q 0,99 ≈ − 2,3263 -q_{0{,}99} \approx -2{,}3263 − q 0 , 99 ≈ − 2 , 3263
Entscheidung
Z < − 2,3263 Z < -2{,}3263 Z < − 2 , 3263 H 0 H_0 H 0
In Worten: Zum Niveau 1 % ist nachgewiesen, dass die Dachbalken im Mittel kürzer als
750 cm sind. Der Mittelwert der 40 Balken liegt so weit unter dem Soll, dass Zufall allein
das praktisch nicht erklären kann.
Proben: Z Z Z 40 ⋅ ( − 1 ) / 0,6 \sqrt{40} \cdot (-1)/0{,}6 40 ⋅ ( − 1 ) /0 , 6 − 1 / 0,0949 -1/0{,}0949 − 1/0 , 0949 2,8 ⋅ 10 − 26 2{,}8 \cdot 10^{-26} 2 , 8 ⋅ 1 0 − 26 α = 0,01 \alpha = 0{,}01 α = 0 , 01
Rückblick — so läuft jeder Test: (1) Vermutung in
H A H_A H A , das Gegenteil in
H 0 H_0 H 0 . (2)
α \alpha α vorher festlegen. (3) Den passenden Test wählen und die Teststatistik ausrechnen.
(4) Den kritischen Wert als Quantil bestimmen — einseitig
q 1 − α q_{1-\alpha} q 1 − α , zweiseitig
q 1 − α / 2 q_{1-\alpha/2} q 1 − α /2 . (5) Vergleichen, entscheiden und im Sachzusammenhang antworten.
Typische Fehler: Die Hypothesen vertauschen, also den Vorwurf in H 0 H_0 H 0 σ \sigma σ σ / n \sigma/\sqrt{n} σ / n − 1 / 0,6 ≈ − 1,67 -1/0{,}6 \approx -1{,}67 − 1/0 , 6 ≈ − 1 , 67 q 0,995 q_{0{,}995} q 0 , 995 H 0 H_0 H 0 H 0 H_0 H 0