Jemand hat fünf Werte gemessen: 0,70; 0,22; 0,35; 0,51; −0,10. Ihr Mittelwert ist 0,336, also
größer als 0. Die Frage: Liegt das nur am Zufall? Oder ist der Erwartungswert μ \mu μ μ \mu μ
Gesucht sind:
(i) eine Entscheidung: Kann man mit diesen fünf Werten zum Niveau α = 5 % \alpha = 5\,\% α = 5 % μ ≠ 0 \mu \neq 0 μ = 0
(ii) eine sechste Messung x 6 x_6 x 6
Der Weg in drei Etappen:
(i) Hypothesen aufstellen. Den passenden Test wählen: den t-Test, weil die Streuung σ \sigma σ t ^ \hat t t ^
(ii) Dieselbe Rechnung mit x 6 = 0,5 x_6 = 0{,}5 x 6 = 0 , 5
Ergänzung: Welche x 6 x_6 x 6 x 6 x_6 x 6
Merke: Ein Test kann nur die Alternative
H A H_A H A zeigen, indem er die Nullhypothese
H 0 H_0 H 0
verwirft. Scheitert er, ist nichts gezeigt — auch nicht das Gegenteil.
Zur Musterlösung: Beide Antworten stimmen. Sie rechnet mit gerundeten Zwischenwerten
weiter und schreibt deshalb
t ^ ≈ 2,4821 \hat t \approx 2{,}4821 t ^ ≈ 2 , 4821 statt
2,4820 2{,}4820 2 , 4820 (Schritt 8) und
t ^ ≈ 3,1907 \hat t
\approx 3{,}1907 t ^ ≈ 3 , 1907 statt
3,1910 3{,}1910 3 , 1910 (Schritt 18). R bestätigt die ungerundeten Werte 2.482021
und 3.191011. An den Entscheidungen ändert das nichts.
H 0 : μ = 0 H_0:\ \mu = 0 H 0 : μ = 0 gegen
H A : μ ≠ 0 H_A:\ \mu \neq 0 H A : μ = 0 ,
α = 0,05 \alpha = 0{,}05 α = 0 , 05
Ein Test braucht zuerst zwei gegensätzliche Aussagen über den unbekannten Erwartungswert
μ \mu μ
Die Alternative H A H_A H A μ ≠ 0 \mu \neq 0 μ = 0 μ \mu μ
Die Nullhypothese H 0 H_0 H 0 μ = 0 \mu = 0 μ = 0
Die Zahl, mit der μ \mu μ μ 0 \mu_0 μ 0 μ 0 = 0 \mu_0 = 0 μ 0 = 0
Warum kommt die Vermutung in H A H_A H A Ein Test kann H 0 H_0 H 0 verwerfen oder
nicht verwerfen . Nur das Verwerfen ist eine belastbare Aussage. „μ ≠ 0 \mu \neq 0 μ = 0 H 0 : μ = 0 H_0\!: \mu = 0 H 0 : μ = 0
Das Signifikanzniveau α = 5 % = 0,05 \alpha = 5\,\% = 0{,}05 α = 5 % = 0 , 05 H 0 H_0 H 0 H 0 H_0 H 0 Fehler 1. Art . Seine
Wahrscheinlichkeit ist höchstens α \alpha α
Aus Aufgabe 4 („Gauß-Test: sind die Dachbalken zu kurz?“): Die Vermutung kommt in
H A H_A H A , ihr Gegenteil in
H 0 H_0 H 0 . „Zeigen“ heißt
H 0 H_0 H 0 verwerfen. Das Signifikanzniveau
α \alpha α ist die Obergrenze für den Fehler 1. Art. Dort lautete die Vermutung „
μ < 750 \mu <
750 μ < 750 “, also eine Richtung; hier ist es „
μ ≠ 0 \mu \neq 0 μ = 0 “, beide Richtungen.
X 1 , … , X 5 ∼ N ( μ , σ 2 ) X_1, \dots, X_5 \sim N(\mu, \sigma^2) X 1 , … , X 5 ∼ N ( μ , σ 2 ) unabhängig,
n = 5 n = 5 n = 5
Die Aufgabe beschreibt, wie die Daten entstanden sind: Die Messwerte sind eine
Realisierung von X 1 , … , X 5 X_1, \dots, X_5 X 1 , … , X 5
Vor der Messung ist jeder Wert noch zufällig. Dafür stehen die großen Buchstaben X 1 , … , X 5 X_1,
\dots, X_5 X 1 , … , X 5 Zufallsvariablen .
Nach der Messung liegen konkrete Zahlen vor, die kleinen Buchstaben x 1 = 0,70 x_1 = 0{,}70 x 1 = 0 , 70 x 5 = − 0,10 x_5 = -0{,}10 x 5 = − 0 , 10
Unabhängig und identisch verteilt heißt: Jede Messung folgt derselben Verteilung,
und keine beeinflusst eine andere. Die Verteilung ist hier die Normalverteilung N ( μ , σ 2 ) N(\mu,
\sigma^2) N ( μ , σ 2 )
Beide Zahlen darin sind unbekannt : der Erwartungswert μ \mu μ σ 2 \sigma^2 σ 2
Der Stichprobenumfang ist n = 5 n = 5 n = 5
Aus Blatt 4, Aufgabe 1 („Normalverteilung: die σ-Regeln“): X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu,
\sigma^2) X ∼ N ( μ , σ 2 ) hat eine glockenförmige Dichte mit der Mitte
μ \mu μ .
σ 2 \sigma^2 σ 2 ist die Varianz,
σ \sigma σ die Standardabweichung.
t ^ = n ⋅ x ˉ n − μ 0 s n \hat t = \sqrt{n}\cdot\dfrac{\bar x_n - \mu_0}{s_n} t ^ = n ⋅ s n x ˉ n − μ 0 ,
n − 1 = 4 n - 1 = 4 n − 1 = 4
Freiheitsgrade
Der Gauß-Test aus Aufgabe 4 misst den Abstand zwischen Mittelwert und μ 0 \mu_0 μ 0 σ / n \sigma/\sqrt{n} σ / n σ \sigma σ σ \sigma σ
Der Ausweg: σ \sigma σ Stichproben-Standardabweichung s n s_n s n Einstichproben-t-Test . „Einstichproben“
heißt: Es gibt eine einzige Stichprobe, und ihr Mittelwert wird mit einer festen Zahl
μ 0 \mu_0 μ 0
t ^ = n ⋅ x ˉ n − μ 0 s n \hat t = \sqrt{n}\cdot\dfrac{\bar x_n - \mu_0}{s_n} t ^ = n ⋅ s n x ˉ n − μ 0
x ˉ n \bar x_n x ˉ n μ 0 = 0 \mu_0 = 0 μ 0 = 0
s n s_n s n s s s
Was die Zahl misst: Mal n \sqrt{n} n 1 / n 1/\sqrt{n} 1/ n
t ^ = x ˉ n − μ 0 s n / n \hat t = \dfrac{\bar x_n - \mu_0}{s_n/\sqrt{n}} t ^ = s n / n x ˉ n − μ 0
Der Nenner s n / n s_n/\sqrt{n} s n / n geschätzter Standardfehler : die aus den Daten
geschätzte Standardabweichung des Mittelwerts. Beim Gauß-Test (Aufgabe 4) stand dort
σ / n \sigma/\sqrt{n} σ / n t ^ \hat t t ^ x ˉ n \bar x_n x ˉ n μ 0 \mu_0 μ 0 ∣ t ^ ∣ |\hat t| ∣ t ^ ∣ H 0 H_0 H 0
Warum eine andere Verteilung? Weil s n s_n s n t ^ \hat t t ^ Z Z Z H 0 H_0 H 0 t ^ \hat t t ^ t-Verteilung mit n − 1 = 4 n - 1 = 4 n − 1 = 4
Aus Aufgabe 2 („Konfidenzintervall mit geschätzter Varianz: Kaffeepackungen“): Wird
σ \sigma σ durch
s n s_n s n ersetzt, gehört die t-Verteilung mit
n − 1 n - 1 n − 1 Freiheitsgraden dazu.
Sie ist glockenförmig wie die Standardnormalverteilung, hat aber breitere Ränder. Mit mehr
Freiheitsgraden wird sie ihr immer ähnlicher.
Aus Aufgabe 4 („Gauß-Test: sind die Dachbalken zu kurz?“): Die Teststatistik fasst
die Daten in einer Zahl zusammen. Beim Gauß-Test ist das
Z = n ⋅ x ˉ n − μ 0 σ Z = \sqrt{n}\cdot\frac{\bar x_n
- \mu_0}{\sigma} Z = n ⋅ σ x ˉ n − μ 0 . Ist
μ = μ 0 \mu = \mu_0 μ = μ 0 , dann ist
Z Z Z standardnormalverteilt,
Z ∼ N ( 0 , 1 ) Z \sim
N(0,\,1) Z ∼ N ( 0 , 1 ) (dort näherungsweise, weil die Normalverteilung nicht vorausgesetzt war).
H 0 H_0 H 0 verwerfen, falls
∣ t ^ ∣ > t 4 ; 0,975 |\hat t| > t_{4;\,0{,}975} ∣ t ^ ∣ > t 4 ; 0 , 975
H A H_A H A μ ≠ 0 \mu \neq 0 μ = 0 H 0 H_0 H 0 t ^ \hat t t ^ weit rechts liegt (Mittelwert deutlich über 0), aber genauso eines, das
weit links liegt (deutlich unter 0). Beide Ränder zählen. So ein Test heißt
zweiseitig . Diesen zweiseitigen Fall gab es schon in Aufgabe 3 (Test gegen 500 g).
Das Risiko α = 5 % \alpha = 5\,\% α = 5 %
α 2 = 0,05 2 = 0,025 = 2,5 % \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{0{,}05}{2} = 0{,}025 = 2{,}5\,\% 2 α = 2 0 , 05 = 0 , 025 = 2 , 5 %
Im Bild sind das die roten Flächen. Die Werte von t ^ \hat t t ^ Ablehnbereich : Landet t ^ \hat t t ^ H 0 H_0 H 0
Die rechte Grenze hat links von sich 100 % − 2,5 % = 97,5 % 100\,\% - 2{,}5\,\% = 97{,}5\,\% 100 % − 2 , 5 % = 97 , 5 % 0,975-Quantil der t-Verteilung mit 4 Freiheitsgraden, kurz
t 4 ; 0,975 t_{4;\,0{,}975} t 4 ; 0 , 975 t n − 1 ; 1 − α / 2 t_{n-1;\,1-\alpha/2} t n − 1 ; 1 − α /2 − t 4 ; 0,975 -t_{4;\,0{,}975} − t 4 ; 0 , 975
Die Regel fasst beide Seiten zusammen. Die Betragsstriche ∣ t ^ ∣ |\hat t| ∣ t ^ ∣ ∣ 2,5 ∣ = ∣ − 2,5 ∣ = 2,5 |2{,}5| = |-2{,}5| = 2{,}5 ∣2 , 5∣ = ∣ − 2 , 5∣ = 2 , 5
H 0 H_0 H 0 ∣ t ^ ∣ > t n − 1 ; 1 − α / 2 |\hat t| > t_{n-1;\,1-\alpha/2} ∣ t ^ ∣ > t n − 1 ; 1 − α /2
Aus Blatt 4, Aufgabe 5 („Quantile: die Füllmenge einer Kaffeepackung“): Ein Quantil
ist eine Grenze, links von der ein vorgegebener Anteil der Fläche liegt. Das 0,975-Quantil
hat 97,5 % links und 2,5 % rechts von sich.
Aus Aufgabe 4 („Gauß-Test: sind die Dachbalken zu kurz?“): Dort war der Test
einseitig : Nur zu kurze Balken sprachen gegen
H 0 H_0 H 0 , darum lag das ganze
α \alpha α
an einem Rand. Die Werte, bei denen man verwirft, hießen dort
Ablehnbereich , seine
Grenze
kritischer Wert (
− 2,3263 -2{,}3263 − 2 , 3263 ). Hier gibt es an jedem Rand einen solchen
Bereich.
x ˉ 5 = 1,68 5 = 0,336 \bar x_5 = \dfrac{1{,}68}{5} = 0{,}336 x ˉ 5 = 5 1 , 68 = 0 , 336
Für t ^ \hat t t ^ x ˉ 5 \bar x_5 x ˉ 5 s 5 s_5 s 5
Alle Werte addieren. Der letzte ist negativ, er wird also abgezogen:
0,70 + 0,22 + 0,35 + 0,51 − 0,10 = 1,68 0{,}70 + 0{,}22 + 0{,}35 + 0{,}51 - 0{,}10 = 1{,}68 0 , 70 + 0 , 22 + 0 , 35 + 0 , 51 − 0 , 10 = 1 , 68
Durch die Anzahl n = 5 n = 5 n = 5
x ˉ 5 = 1,68 5 = 0,336 \bar x_5 = \dfrac{1{,}68}{5} = \mathbf{0{,}336} x ˉ 5 = 5 1 , 68 = 0 , 336
Der Mittelwert liegt über μ 0 = 0 \mu_0 = 0 μ 0 = 0 s 5 s_5 s 5
Aus Blatt 5, Aufgabe 2 („Mittelwert und Median: ein Ausreißer bei den Ausgaben“):
Der Stichprobenmittelwert ist
x ˉ n = 1 n ∑ i = 1 n x i \bar x_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i x ˉ n = n 1 ∑ i = 1 n x i , die Summe aller
Werte geteilt durch ihre Anzahl.
∑ ( x i − x ˉ 5 ) 2 = 0,36652 \sum (x_i - \bar x_5)^2 = 0{,}36652 ∑ ( x i − x ˉ 5 ) 2 = 0 , 36652 Jetzt die Streuung, mit derselben Tabelle wie in Blatt 5, Aufgabe 3.
Abweichungen: jeden Wert minus 0,336.
0,70 − 0,336 = + 0,364 0{,}70 - 0{,}336 = +0{,}364 0 , 70 − 0 , 336 = + 0 , 364 0,22 − 0,336 = − 0,116 0{,}22 - 0{,}336 = -0{,}116 0 , 22 − 0 , 336 = − 0 , 116 0,35 − 0,336 = + 0,014 0{,}35 - 0{,}336 = +0{,}014 0 , 35 − 0 , 336 = + 0 , 014 0,51 − 0,336 = + 0,174 0{,}51 - 0{,}336 = +0{,}174 0 , 51 − 0 , 336 = + 0 , 174 − 0,10 − 0,336 = − 0,436 -0{,}10 - 0{,}336 = -0{,}436 − 0 , 10 − 0 , 336 = − 0 , 436
Probe: Die Summe muss 0 sein. Plus-Teile 0,552 0{,}552 0 , 552 0,552 0{,}552 0 , 552
Quadrate: jede Abweichung mit sich selbst malnehmen, z. B. 0,364 2 = 0,364 ⋅ 0,364 = 0,132496 0{,}364^2 = 0{,}364
\cdot 0{,}364 = 0{,}132496 0 , 36 4 2 = 0 , 364 ⋅ 0 , 364 = 0 , 132496 ( − 0,436 ) 2 = 0,190096 (-0{,}436)^2 = 0{,}190096 ( − 0 , 436 ) 2 = 0 , 190096 0,36652 \mathbf{0{,}36652} 0 , 36652
Den größten Beitrag liefert der negative Wert − 0,10 -0{,}10 − 0 , 10
Aus Blatt 5, Aufgabe 3 („Stichprobenvarianz: die Länge der Fische“): Die
Abweichungen vom Mittelwert ergeben zusammen immer 0. Deshalb quadriert man sie, bevor man
addiert.
s 5 2 = 0,36652 4 = 0,09163 s_5^2 = \dfrac{0{,}36652}{4} = 0{,}09163 s 5 2 = 4 0 , 36652 = 0 , 09163 ,
s 5 ≈ 0,3027 s_5 \approx 0{,}3027 s 5 ≈ 0 , 3027 Die Summe der Quadrate durch n − 1 = 4 n - 1 = 4 n − 1 = 4 Stichprobenvarianz :
s 5 2 = 0,36652 4 = 0,09163 s_5^2 = \dfrac{0{,}36652}{4} = 0{,}09163 s 5 2 = 4 0 , 36652 = 0 , 09163
Die Wurzel daraus ist die Stichproben-Standardabweichung :
s 5 = 0,09163 = 0,302704 … ≈ 0,3027 s_5 = \sqrt{0{,}09163} = 0{,}302704\ldots \approx \mathbf{0{,}3027} s 5 = 0 , 09163 = 0 , 302704 … ≈ 0 , 3027
Auf vier Nachkommastellen gerundet ist das 0,3027. Weitergerechnet wird aber mit dem
genaueren Wert 0,302704, damit t ^ \hat t t ^
R prüft beides: mean(x) gibt 0,336,
sd(x) gibt 0,3027045.
Aus Blatt 5, Aufgabe 3 („Stichprobenvarianz: die Länge der Fische“): s 2 = 1 n − 1 ∑ ( x i − x ˉ n ) 2 s^2 =
\frac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar x_n)^2 s 2 = n − 1 1 ∑ ( x i − x ˉ n ) 2 und
s = s 2 s = \sqrt{s^2} s = s 2 . Geteilt wird durch
n − 1 n - 1 n − 1 . R
rechnet das mit
var und
sd. Hier heißt
s s s mit Index
s 5 s_5 s 5 , weil es aus fünf Werten berechnet ist.
t ^ = 5 ⋅ 0,336 0,302704 ≈ 2,4820 \hat t = \sqrt{5}\cdot\dfrac{0{,}336}{0{,}302704} \approx 2{,}4820 t ^ = 5 ⋅ 0 , 302704 0 , 336 ≈ 2 , 4820
Alle Zutaten liegen vor: n = 5 n = 5 n = 5 x ˉ 5 = 0,336 \bar x_5 = 0{,}336 x ˉ 5 = 0 , 336 μ 0 = 0 \mu_0 = 0 μ 0 = 0 s 5 = 0,302704 s_5 =
0{,}302704 s 5 = 0 , 302704
t ^ = 5 ⋅ 0,336 − 0 0,302704 \hat t = \sqrt{5}\cdot\dfrac{0{,}336 - 0}{0{,}302704} t ^ = 5 ⋅ 0 , 302704 0 , 336 − 0
5 = 2,236068 \sqrt{5} = 2{,}236068 5 = 2 , 236068 2,236068 ⋅ 0,336 = 0,751319 2{,}236068 \cdot 0{,}336 = 0{,}751319 2 , 236068 ⋅ 0 , 336 = 0 , 751319
t ^ = 0,751319 0,302704 ≈ 2,4820 \hat t = \dfrac{0{,}751319}{0{,}302704} \approx \mathbf{2{,}4820} t ^ = 0 , 302704 0 , 751319 ≈ 2 , 4820
Probe über den Standardfehler (Schritt 3): s 5 / 5 = 0,302704 / 2,236068 ≈ 0,135374 s_5/\sqrt{5} = 0{,}302704 / 2{,}236068
\approx 0{,}135374 s 5 / 5 = 0 , 302704/2 , 236068 ≈ 0 , 135374 0,336 / 0,135374 ≈ 2,4820 0{,}336 / 0{,}135374 \approx 2{,}4820 0 , 336/0 , 135374 ≈ 2 , 4820
Der Mittelwert liegt also knapp 2,5 geschätzte Standardfehler über 0. Im Bild ist das der
Punkt auf der Achse. Er liegt rechts von 0, weil x ˉ 5 \bar x_5 x ˉ 5 μ 0 \mu_0 μ 0
Zur Rundung: Wer mit dem gerundeten s 5 = 0,3027 s_5 = 0{,}3027 s 5 = 0 , 3027 0,751319 / 0,3027 ≈ 2,4821 0{,}751319 /
0{,}3027 \approx 2{,}4821 0 , 751319/0 , 3027 ≈ 2 , 4821
qt(0.975, df = 4) →
t 4 ; 0,975 ≈ 2,7764 t_{4;\,0{,}975} \approx 2{,}7764 t 4 ; 0 , 975 ≈ 2 , 7764
Jetzt die Grenze aus Schritt 4. Das 0,975-Quantil der t-Verteilung liefert R mit
qt. Es bekommt zwei Angaben:
0.975: den Anteil links von der Grenze,
df = 4: die Freiheitsgrade n − 1 = 4 n - 1 = 4 n − 1 = 4 degrees of freedom ).
R antwortet 2,776445. Auf vier Nachkommastellen: t 4 ; 0,975 ≈ 2,7764 t_{4;\,0{,}975} \approx
\mathbf{2{,}7764} t 4 ; 0 , 975 ≈ 2 , 7764 kritischer Wert .
Der Ablehnbereich ist damit: t ^ \hat t t ^ − 2,7764 -2{,}7764 − 2 , 7764 2,7764 2{,}7764 2 , 7764
Zum Vergleich: Bei der Standardnormalverteilung läge die Grenze bei q 0,975 ≈ 1,96 q_{0{,}975} \approx
1{,}96 q 0 , 975 ≈ 1 , 96
Aus Aufgabe 2 („Konfidenzintervall mit geschätzter Varianz: Kaffeepackungen“):
qt(p, df = …) gibt die Grenze, links von der der Anteil
p p p
unter der t-Dichte liegt. Dort war es
qt(0.975, df = 11) ≈
2,201.
∣ t ^ ∣ = 2,4820 < 2,7764 |\hat t| = 2{,}4820 < 2{,}7764 ∣ t ^ ∣ = 2 , 4820 < 2 , 7764 ⇒
H 0 H_0 H 0 nicht verwerfen
Vergleich nach der Regel aus Schritt 4. t ^ \hat t t ^
∣ t ^ ∣ = 2,4820 < 2,7764 |\hat t| = 2{,}4820 \; < \; 2{,}7764 ∣ t ^ ∣ = 2 , 4820 < 2 , 7764
t ^ \hat t t ^ nicht im Ablehnbereich. Im Bild steht der Punkt links von der
rechten roten Grenze, im mittleren Bereich. Auch die Balken unten zeigen es: Die
Teststatistik ist kürzer als der kritische Wert.
Antwort auf (i): Nein. Zum Niveau α = 5 % \alpha = 5\,\% α = 5 % μ ≠ 0 \mu \neq 0 μ = 0
Merke: Beim zweiseitigen t-Test wird
∣ t ^ ∣ |\hat t| ∣ t ^ ∣ mit
t n − 1 ; 1 − α / 2 t_{n-1;\,1-\alpha/2} t n − 1 ; 1 − α /2
verglichen. Nur wenn
∣ t ^ ∣ |\hat t| ∣ t ^ ∣ größer ist, wird
H 0 H_0 H 0 verworfen.
nicht verworfen ≠
μ = 0 \mu = 0 μ = 0 gezeigt
Das Ergebnis heißt nicht : „μ \mu μ μ ≠ 0 \mu \neq 0 μ = 0
Warum man μ = 0 \mu = 0 μ = 0 Der Mittelwert ist 0,336, also gar nicht
nahe bei 0. Aber die Werte streuen stark (von −0,10 bis 0,70), und es sind nur fünf. Ein
so großer Mittelwert kann dann auch entstehen, wenn μ = 0 \mu = 0 μ = 0 α = 5 % \alpha = 5\,\% α = 5 % μ \mu μ
Beide Möglichkeiten bleiben offen. Mehr Daten könnten sie trennen. Genau darum geht es in
(ii).
Merke: H 0 H_0 H 0 verwerfen heißt:
H A H_A H A ist gezeigt, mit einer
Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens
α \alpha α .
H 0 H_0 H 0 nicht verwerfen heißt: Es ist
nichts gezeigt — weder
H A H_A H A noch
H 0 H_0 H 0 .
Aus Aufgabe 3 („Ein Ausreißer im Konfidenzintervall: Mehlpackungen“): Dort wurde
H 0 : μ = 500 H_0\!: \mu = 500 H 0 : μ = 500 nicht verworfen. Das hieß nur: Eine Abweichung ist nicht belegt —
nicht, dass
μ = 500 \mu = 500 μ = 500 ist.
t.test(x, mu = 0): t = 2,482,
p ≈ 0,0681 > 0,05 p \approx 0{,}0681 > 0{,}05 p ≈ 0 , 0681 > 0 , 05
Diese Ergänzung geht über die Aufgabe hinaus. R kann den ganzen Test mit einem
Befehl rechnen: t.test(x, mu = 0).
mu = 0 ist μ 0 \mu_0 μ 0
Die Ausgabe (gekürzt) bestätigt die Rechnung: t = 2.482 ist
t ^ \hat t t ^ df = 4 sind die Freiheitsgrade.
Außerdem gibt R den p-Wert aus (p-value). Er ist die
Wahrscheinlichkeit, dass t ^ \hat t t ^ H 0 H_0 H 0 T 4 T_4 T 4
p = 2 ⋅ P ( T 4 > 2,4820 ) ≈ 0,0681 p = 2 \cdot P(T_4 > 2{,}4820) \approx 0{,}0681 p = 2 ⋅ P ( T 4 > 2 , 4820 ) ≈ 0 , 0681
Im Bild sind das die blauen Flächen jenseits von ± 2,4820 \pm 2{,}4820 ± 2 , 4820 p = 0,0681 > 0,05 = α p
= 0{,}0681 > 0{,}05 = \alpha p = 0 , 0681 > 0 , 05 = α
Die letzte Zeile ist das 95-%-Konfidenzintervall [ − 0,0399 ; 0,7119 ] [-0{,}0399;\, 0{,}7119] [ − 0 , 0399 ; 0 , 7119 ] μ 0 = 0 \mu_0 = 0 μ 0 = 0
Aus Aufgabe 3 („Ein Ausreißer im Konfidenzintervall: Mehlpackungen“): Der
zweiseitige t-Test zum Niveau
α \alpha α verwirft
H 0 : μ = μ 0 H_0\!: \mu = \mu_0 H 0 : μ = μ 0 genau dann, wenn
μ 0 \mu_0 μ 0 nicht im
( 1 − α ) (1-\alpha) ( 1 − α ) -Konfidenzintervall liegt.
Aus Aufgabe 4 („Gauß-Test: sind die Dachbalken zu kurz?“): Der p-Wert ist die
Wahrscheinlichkeit, unter
H 0 H_0 H 0 ein mindestens so extremes Ergebnis zu bekommen wie das
beobachtete. Ist
p ≤ α p \le \alpha p ≤ α , verwirft man
H 0 H_0 H 0 . Dort war der Test einseitig, es
zählte nur die Fläche links. Hier zählen beide Ränder, daher der Faktor 2.
t ^ = n ⋅ x ˉ n s n \hat t = \sqrt{n}\cdot\dfrac{\bar x_n}{s_n} t ^ = n ⋅ s n x ˉ n :
n \sqrt{n} n ↑,
x ˉ n \bar x_n x ˉ n ↑,
s n s_n s n ↓
In (i) fehlte nicht viel: 2,4820 2{,}4820 2 , 4820 2,7764 2{,}7764 2 , 7764 t ^ \hat t t ^ μ 0 = 0 \mu_0 = 0 μ 0 = 0
t ^ = n ⋅ x ˉ n s n \hat t = \sqrt{n}\cdot\dfrac{\bar x_n}{s_n} t ^ = n ⋅ s n x ˉ n
Ein Bruch wird größer, wenn der Zähler wächst oder der Nenner schrumpft. x 6 x_6 x 6
n \sqrt{n} n 5 \sqrt{5} 5 6 \sqrt{6} 6 x 6 x_6 x 6
Zähler x ˉ n \bar x_n x ˉ n Ein x 6 x_6 x 6
Nenner s n s_n s n Ein x 6 x_6 x 6
x ˉ 5 \bar x_5 x ˉ 5 t ^ \hat t t ^ t ^ \hat t t ^ rechts , und
x 6 x_6 x 6 t ^ \hat t t ^
x 6 = 0,5 x_6 = 0{,}5 x 6 = 0 , 5 ,
n = 6 n = 6 n = 6 Die Musterlösung wählt x 6 = 0,5 x_6 = 0{,}5 x 6 = 0 , 5
0,5 liegt über x ˉ 5 = 0,336 \bar x_5 = 0{,}336 x ˉ 5 = 0 , 336
0,5 liegt mitten zwischen den bisherigen Werten (−0,10 bis 0,70), nicht weit draußen —
die Streuung wächst nicht, sie wird eher kleiner.
Es ist ein Vorschlag, noch kein Beweis. Ob er reicht, zeigt erst die Rechnung. Sie läuft
genau wie in (i), nur mit sechs Werten: n = 6 n = 6 n = 6
Welche anderen Werte auch reichen würden, klärt die Ergänzung ab Schritt 21.
x ˉ 6 = 2,18 6 ≈ 0,3633 \bar x_6 = \dfrac{2{,}18}{6} \approx 0{,}3633 x ˉ 6 = 6 2 , 18 ≈ 0 , 3633
Die Summe der fünf alten Werte ist aus Schritt 5 bekannt: 1,68. Dazu kommt x 6 = 0,5 x_6 = 0{,}5 x 6 = 0 , 5
1,68 + 0,5 = 2,18 1{,}68 + 0{,}5 = 2{,}18 1 , 68 + 0 , 5 = 2 , 18
Jetzt durch n = 6 n = 6 n = 6
x ˉ 6 = 2,18 6 = 0,363333 … ≈ 0,3633 \bar x_6 = \dfrac{2{,}18}{6} = 0{,}363333\ldots \approx \mathbf{0{,}3633} x ˉ 6 = 6 2 , 18 = 0 , 363333 … ≈ 0 , 3633
Die 3 wiederholt sich unendlich. Gerechnet wird mit 0,363333, angezeigt wird 0,3633.
Der Mittelwert ist von 0,336 auf 0,3633 gestiegen. Das ist der Zähler-Effekt : t ^ \hat
t t ^
∑ ( x i − x ˉ 6 ) 2 = 0,388933 \sum (x_i - \bar x_6)^2 = 0{,}388933 ∑ ( x i − x ˉ 6 ) 2 = 0 , 388933
Weil sich der Mittelwert geändert hat, ändern sich alle Abweichungen — nicht nur
die neue. Die alte Tabelle aus Schritt 6 ist nicht mehr brauchbar.
Jeder Wert minus 0,363333, zum Beispiel:
0,70 − 0,363333 = + 0,336667 0{,}70 - 0{,}363333 = +0{,}336667 0 , 70 − 0 , 363333 = + 0 , 336667 − 0,10 − 0,363333 = − 0,463333 -0{,}10 - 0{,}363333 = -0{,}463333 − 0 , 10 − 0 , 363333 = − 0 , 463333 0,50 − 0,363333 = + 0,136667 0{,}50 - 0{,}363333 = +0{,}136667 0 , 50 − 0 , 363333 = + 0 , 136667
Die Abweichungen sind auf sechs Nachkommastellen gerundet. Ihre Summe ist 0, bis auf einen
Rundungsrest in der sechsten Stelle.
Die Quadrate addiert ergeben 0,388933 \mathbf{0{,}388933} 0 , 388933
Die neue Messung trägt nur 0,018678 zur Summe bei. Sie liegt nahe am Mittelwert und bläht
die Streuung kaum auf.
s 6 = 0,388933 / 5 ≈ 0,2789 s_6 = \sqrt{0{,}388933 / 5} \approx 0{,}2789 s 6 = 0 , 388933/5 ≈ 0 , 2789 Wie in Schritt 7, aber jetzt durch n − 1 = 6 − 1 = 5 n - 1 = 6 - 1 = 5 n − 1 = 6 − 1 = 5
s 6 2 = 0,388933 5 = 0,077787 s_6^2 = \dfrac{0{,}388933}{5} = 0{,}077787 s 6 2 = 5 0 , 388933 = 0 , 077787
s 6 = 0,077787 = 0,278903 … ≈ 0,2789 s_6 = \sqrt{0{,}077787} = 0{,}278903\ldots \approx \mathbf{0{,}2789} s 6 = 0 , 077787 = 0 , 278903 … ≈ 0 , 2789
Die Standardabweichung ist kleiner geworden: von 0,3027 auf 0,2789. Das ist der
Nenner-Effekt . Warum, obwohl die Summe der Quadrate von 0,36652 auf 0,388933
gewachsen ist? Weil jetzt durch 5 statt durch 4 geteilt wird. Die Summe ist um 6 %
gewachsen, der Teiler um 25 %.
R bestätigt mit y <- c(x, 0.5) (die alten Werte plus 0,5)
beide Zahlen: 0,3633333 und 0,2789026.
t ^ = 6 ⋅ 0,363333 0,278903 ≈ 3,1910 \hat t = \sqrt{6}\cdot\dfrac{0{,}363333}{0{,}278903} \approx 3{,}1910 t ^ = 6 ⋅ 0 , 278903 0 , 363333 ≈ 3 , 1910 Einsetzen wie in Schritt 8, jetzt mit n = 6 n = 6 n = 6
t ^ = 6 ⋅ 0,363333 − 0 0,278903 \hat t = \sqrt{6}\cdot\dfrac{0{,}363333 - 0}{0{,}278903} t ^ = 6 ⋅ 0 , 278903 0 , 363333 − 0
6 = 2,449490 \sqrt{6} = 2{,}449490 6 = 2 , 449490 2,449490 ⋅ 0,363333 = 0,889981 2{,}449490 \cdot 0{,}363333 = 0{,}889981 2 , 449490 ⋅ 0 , 363333 = 0 , 889981 0,278903 0{,}278903 0 , 278903
t ^ ≈ 3,1910 \hat t \approx \mathbf{3{,}1910} t ^ ≈ 3 , 1910
Von 2,4820 auf 3,1910 — ein großer Sprung durch einen einzigen Wert. Im Bild springt der
Punkt vom hohlen zum gefüllten, schon rechts der alten Grenze 2,7764.
Zur Musterlösung: Sie rechnet mit den gerundeten Werten 6 ⋅ 0,3633 / 0,2789 \sqrt{6}\cdot 0{,}3633 /
0{,}2789 6 ⋅ 0 , 3633/0 , 2789 3,1907 3{,}1907 3 , 1907 3,1910 3{,}1910 3 , 1910
qt(0.975, df = 5) →
t 5 ; 0,975 ≈ 2,5706 t_{5;\,0{,}975} \approx 2{,}5706 t 5 ; 0 , 975 ≈ 2 , 5706
Mit sechs Werten hat die t-Verteilung n − 1 = 5 n - 1 = 5 n − 1 = 5
R: qt(0.975, df = 5) gibt 2,570582, also t 5 ; 0,975 ≈ 2,5706 t_{5;\,0{,}975}
\approx \mathbf{2{,}5706} t 5 ; 0 , 975 ≈ 2 , 5706
Warum kleiner? Mit sechs Werten ist s 6 s_6 s 6 σ \sigma σ s 5 s_5 s 5 t ^ \hat t t ^
Das ist ein vierter Effekt der zusätzlichen Messung. Zu n \sqrt{n} n
Aus Aufgabe 2 („Konfidenzintervall mit geschätzter Varianz: Kaffeepackungen“): Je
mehr Freiheitsgrade, desto ähnlicher wird die t-Verteilung der Standardnormalverteilung,
und desto näher rückt ihr 0,975-Quantil an 1,96 heran.
∣ t ^ ∣ = 3,1910 > 2,5706 |\hat t| = 3{,}1910 > 2{,}5706 ∣ t ^ ∣ = 3 , 1910 > 2 , 5706 ⇒
H 0 H_0 H 0 verwerfen
Vergleich wie in Schritt 10:
∣ t ^ ∣ = 3,1910 > 2,5706 |\hat t| = 3{,}1910 \; > \; 2{,}5706 ∣ t ^ ∣ = 3 , 1910 > 2 , 5706
Jetzt liegt t ^ \hat t t ^ im Ablehnbereich, im rechten roten Rand. Die Balken unten
zeigen es auch: Die Teststatistik ist länger als der kritische Wert.
Antwort auf (ii): Mit x 6 = 0,5 x_6 = 0{,}5 x 6 = 0 , 5 H 0 : μ = 0 H_0\!: \mu = 0 H 0 : μ = 0 μ ≠ 0 \mu
\neq 0 μ = 0 α = 5 % \alpha = 5\,\% α = 5 %
Probe mit R (Ergänzung): t.test(y, mu = 0) gibt t = 3,191
bei 5 Freiheitsgraden und den p-Wert 0,0242. Er ist kleiner als α = 0,05 \alpha = 0{,}05 α = 0 , 05
Hätte man noch mit der alten Grenze 2,7764 verglichen, wäre die Entscheidung hier dieselbe
gewesen, denn 3,1910 > 2,7764 3{,}1910 > 2{,}7764 3 , 1910 > 2 , 7764 x 6 x_6 x 6
× 1,0954 \times 1{,}0954 × 1 , 0954 (
n \sqrt{n} n )
× 1,0813 \times 1{,}0813 × 1 , 0813 (
x ˉ \bar x x ˉ )
× 1,0853 \times 1{,}0853 × 1 , 0853 (
1 / s 1/s 1/ s ) ⇒
t ^ \hat t t ^ :
× 1,2857 \times 1{,}2857 × 1 , 2857
Ab hier geht es über die Aufgabe hinaus. Gefragt war ein passendes x 6 x_6 x 6
t ^ \hat t t ^ n \sqrt{n} n x ˉ n \bar x_n x ˉ n 1 s n \frac{1}{s_n} s n 1 x 6 = 0,5 x_6 = 0{,}5 x 6 = 0 , 5
n \sqrt{n} n 2,4495 / 2,2361 ≈ 1,0954 2{,}4495 / 2{,}2361 \approx 1{,}0954 2 , 4495/2 , 2361 ≈ 1 , 0954 x ˉ n \bar x_n x ˉ n 0,3633 / 0,3360 ≈ 1,0813 0{,}3633 / 0{,}3360 \approx 1{,}0813 0 , 3633/0 , 3360 ≈ 1 , 0813
s n s_n s n 0,3027 / 0,2789 ≈ 1,0853 0{,}3027 / 0{,}2789 \approx 1{,}0853 0 , 3027/0 , 2789 ≈ 1 , 0853
Zusammen: 3,1910 / 2,4820 ≈ 1,2857 3{,}1910 / 2{,}4820 \approx 1{,}2857 3 , 1910/2 , 4820 ≈ 1 , 2857 1,0954 ⋅ 1,0813 ⋅ 1,0853 ≈ 1,2855 1{,}0954 \cdot 1{,}0813 \cdot 1{,}0853 \approx 1{,}2855 1 , 0954 ⋅ 1 , 0813 ⋅ 1 , 0853 ≈ 1 , 2855 2,4820 ⋅ 1,2857 ≈ 3,191 2{,}4820 \cdot 1{,}2857 \approx 3{,}191 2 , 4820 ⋅ 1 , 2857 ≈ 3 , 191
Zusammen heben die drei Teile t ^ \hat t t ^
Das Bild zeigt nun t ^ \hat t t ^ jede denkbare sechste Messung: waagerecht x 6 x_6 x 6 t ^ \hat t t ^ x 6 = 0,5 x_6 = 0{,}5 x 6 = 0 , 5
x 6 = 0,336 x_6 = 0{,}336 x 6 = 0 , 336 :
x ˉ 6 = 0,336 \bar x_6 = 0{,}336 x ˉ 6 = 0 , 336 ,
s 6 ≈ 0,2707 s_6 \approx 0{,}2707 s 6 ≈ 0 , 2707 ,
t ^ ≈ 3,0398 \hat t \approx
3{,}0398 t ^ ≈ 3 , 0398
Ein Gedankenexperiment trennt die Effekte. Man legt x 6 x_6 x 6 x 6 = x ˉ 5 = 0,336 x_6 = \bar x_5 = 0{,}336 x 6 = x ˉ 5 = 0 , 336
Zähler: Der Mittelwert bleibt 0,336. Denn 1,68 + 0,336 6 = 2,016 6 = 0,336 \frac{1{,}68 + 0{,}336}{6} =
\frac{2{,}016}{6} = 0{,}336 6 1 , 68 + 0 , 336 = 6 2 , 016 = 0 , 336
Nenner: Die neue Abweichung ist 0,336 − 0,336 = 0 0{,}336 - 0{,}336 = 0 0 , 336 − 0 , 336 = 0
s 6 2 = 0,36652 5 = 0,073304 s_6^2 = \dfrac{0{,}36652}{5} = 0{,}073304 s 6 2 = 5 0 , 36652 = 0 , 073304 s 6 ≈ 0,270747 s_6 \approx 0{,}270747 s 6 ≈ 0 , 270747
Damit t ^ = 6 ⋅ 0,336 0,270747 ≈ 3,0398 \hat t = \sqrt{6}\cdot\dfrac{0{,}336}{0{,}270747} \approx \mathbf{3{,}0398} t ^ = 6 ⋅ 0 , 270747 0 , 336 ≈ 3 , 0398
Das reicht schon über 2,5706 — obwohl der Mittelwert sich gar nicht bewegt hat.
Hier wirken nur der kleinere Nenner und 6 \sqrt{6} 6
x 6 = 2 x_6 = 2 x 6 = 2 :
x ˉ 6 ≈ 0,6133 \bar x_6 \approx 0{,}6133 x ˉ 6 ≈ 0 , 6133 ,
s 6 ≈ 0,7313 s_6 \approx 0{,}7313 s 6 ≈ 0 , 7313 ,
t ^ ≈ 2,0544 \hat t \approx
2{,}0544 t ^ ≈ 2 , 0544
Jetzt das andere Extrem. Man könnte denken: je größer x 6 x_6 x 6 t ^ \hat t t ^ x 6 = 2 x_6 = 2 x 6 = 2
x ˉ 6 = 1,68 + 2 6 = 3,68 6 ≈ 0,6133 \bar x_6 = \dfrac{1{,}68 + 2}{6} = \dfrac{3{,}68}{6} \approx 0{,}6133 x ˉ 6 = 6 1 , 68 + 2 = 6 3 , 68 ≈ 0 , 6133
Aber die Tabelle zeigt, was mit der Streuung passiert. Die neue Messung liegt 1,386667
über dem neuen Mittelwert. Ihr Quadrat ist 1,922844 — allein mehr als das Fünffache der
ganzen alten Summe 0,36652. Auch die alten Werte liegen jetzt weiter vom Mittelwert weg,
weil er nach oben gerutscht ist.
Die Quadrate sind wie in Schritt 16 aus den ungerundeten Abweichungen berechnet; deshalb
ergeben die angezeigten Quadrate zusammen 2,673932 statt 2,673933.
Summe der Quadrate 2,673933, geteilt durch 5, Wurzel: s 6 ≈ 0,7313 s_6 \approx 0{,}7313 s 6 ≈ 0 , 7313
t ^ = 6 ⋅ 0,613333 0,731291 ≈ 2,0544 \hat t = \sqrt{6}\cdot\dfrac{0{,}613333}{0{,}731291} \approx \mathbf{2{,}0544} t ^ = 6 ⋅ 0 , 731291 0 , 613333 ≈ 2 , 0544
Der Grund: Der Mittelwert wächst um den Faktor 1,83, die Standardabweichung um den
Faktor 2,42. Der Nenner wächst schneller als der Zähler. Beim Mittelwert zählt x 6 x_6 x 6 quadriert ein.
Aus Aufgabe 3 („Ein Ausreißer im Konfidenzintervall: Mehlpackungen“): Dort machte
ein einzelner weit entfernter Wert (528 g) die Standardabweichung deutlich größer: 10,43 g
mit ihm, 6,56 g ohne ihn. Hier passiert dasselbe, nur umgekehrt: Man fügt einen solchen
Wert hinzu.
t ^ > 2,5706 \hat t > 2{,}5706 t ^ > 2 , 5706 genau für
0,1161 < x 6 < 1,2749 0{,}1161 < x_6 < 1{,}2749 0 , 1161 < x 6 < 1 , 2749
Rechnet man t ^ \hat t t ^ x 6 x_6 x 6
Links: x 6 x_6 x 6 x 6 = 0 x_6 = 0 x 6 = 0 t ^ = 2,2597 \hat t = 2{,}2597 t ^ = 2 , 2597 x 6 ≤ 0 x_6 \le 0 x 6 ≤ 0 t ^ \hat t t ^
Mitte: Der höchste Wert ist t ^ ≈ 3,20 \hat t \approx 3{,}20 t ^ ≈ 3 , 20 x 6 ≈ 0,55 x_6 \approx 0{,}55 x 6 ≈ 0 , 55
Rechts: x 6 x_6 x 6 x 6 = 1,3 x_6 = 1{,}3 x 6 = 1 , 3 x 6 x_6 x 6 t ^ \hat t t ^
Wo die Kurve über der roten Linie 2,5706 liegt, ist sie grün hinterlegt. Das sind genau
die sechsten Messungen mit
0,1161 < x 6 < 1,2749 0{,}1161 < x_6 < 1{,}2749 0 , 1161 < x 6 < 1 , 2749
Mit R (Ergänzung): Die Funktion t_dach rechnet t ^ \hat t t ^ x 6 x_6 x 6 sapply wendet sie auf mehrere Werte
an. uniroot sucht die Stelle zwischen zwei Grenzen, an der t ^ − 2,5706 = 0 \hat
t - 2{,}5706 = 0 t ^ − 2 , 5706 = 0 tol = 1e-8 verlangt eine hohe Genauigkeit.
mit 2,7764: nur
0,1998 < x 6 < 1,0732 0{,}1998 < x_6 < 1{,}0732 0 , 1998 < x 6 < 1 , 0732 ;
x 6 = 1,2 x_6 = 1{,}2 x 6 = 1 , 2 :
t ^ ≈ 2,6442 \hat t \approx
2{,}6442 t ^ ≈ 2 , 6442
Schritt 19 hat gezeigt: Mit sechs Werten sinkt der kritische Wert von 2,7764 auf 2,5706.
Wie viel das ausmacht, zeigt die gestrichelte Linie im Bild.
Läge der kritische Wert noch bei 2,7764, müsste die Kurve höher hinaus. Der passende
Bereich wäre dann nur
0,1998 < x 6 < 1,0732 0{,}1998 < x_6 < 1{,}0732 0 , 1998 < x 6 < 1 , 0732
statt 0,1161 0{,}1161 0 , 1161 1,2749 1{,}2749 1 , 2749
Beispiel x 6 = 1,2 x_6 = 1{,}2 x 6 = 1 , 2 t ^ ≈ 2,6442 \hat t \approx 2{,}6442 t ^ ≈ 2 , 6442 x 6 x_6 x 6 H 0 H_0 H 0
Merke: Eine zusätzliche Messung wirkt auf den t-Test vierfach:
n \sqrt{n} n wächst,
der Mittelwert ändert sich, die Streuung ändert sich, und der kritische Wert sinkt. Der
erste und der letzte helfen immer; ob Mittelwert und Streuung helfen, hängt vom Wert ab.
Daten „passend machen“ ⇒
α \alpha α gilt nicht mehr
Die Aufgabe ist ein Gedankenexperiment : Sie fragt, wie t ^ \hat t t ^
Warum nicht? Das Signifikanzniveau verspricht: Wenn H 0 H_0 H 0 H 0 H_0 H 0 t ^ \hat t t ^ H 0 H_0 H 0
Das Skript sagt dazu: α \alpha α vor dem Test gewählt und nicht mehr verändert.
Und man darf Tests nicht so lange durchprobieren, bis das gewünschte Ergebnis herauskommt.
Erlaubt ist dagegen, vorher zu planen, wie viele Messungen man braucht, und dann
alle zu verwenden, die dabei herauskommen.
Teil
Rechnung
Wert
(i) t ^ \hat t t ^
5 ⋅ 0,336 / 0,302704 \sqrt{5}\cdot 0{,}336 / 0{,}302704 5 ⋅ 0 , 336/0 , 302704 2,4820
(i) Grenze
qt(0.975, df = 4)2,7764
(i) Entscheidung
2,4820 < 2,7764 2{,}4820 < 2{,}7764 2 , 4820 < 2 , 7764 nicht verwerfen
(ii) t ^ \hat t t ^ x 6 = 0,5 x_6 = 0{,}5 x 6 = 0 , 5
6 ⋅ 0,363333 / 0,278903 \sqrt{6}\cdot 0{,}363333 / 0{,}278903 6 ⋅ 0 , 363333/0 , 278903 3,1910
(ii) Grenze
qt(0.975, df = 5)2,5706
(ii) Entscheidung
3,1910 > 2,5706 3{,}1910 > 2{,}5706 3 , 1910 > 2 , 5706 verwerfen
In Worten: Mit den fünf Messwerten kann man zum Niveau 5 % nicht zeigen, dass der
Erwartungswert von 0 verschieden ist. Das heißt nicht, dass er 0 ist — die Daten reichen nur
nicht. Mit einer sechsten Messung x 6 = 0,5 x_6 = 0{,}5 x 6 = 0 , 5 μ ≠ 0 \mu \neq 0 μ = 0
Die Einsicht aus der Ergänzung: Nicht jeder zusätzliche Wert hilft. Es funktionieren
nur x 6 x_6 x 6
Rückblick — so geht ein zweiseitiger t-Test: Vermutung „
μ ≠ μ 0 \mu \neq \mu_0 μ = μ 0 “ in
H A H_A H A ,
Gegenteil in
H 0 H_0 H 0 .
σ \sigma σ unbekannt, also t-Test.
x ˉ n \bar x_n x ˉ n und
s n s_n s n berechnen,
t ^ = n ⋅ x ˉ n − μ 0 s n \hat t
= \sqrt{n}\cdot\frac{\bar x_n - \mu_0}{s_n} t ^ = n ⋅ s n x ˉ n − μ 0 bilden. Kritischer Wert
t n − 1 ; 1 − α / 2 t_{n-1;\,1-\alpha/2} t n − 1 ; 1 − α /2
mit
qt(1 - alpha/2, df = n - 1).
H 0 H_0 H 0 verwerfen, falls
∣ t ^ ∣ |\hat t| ∣ t ^ ∣
größer ist.