Eine Maschine schneidet Marmorplatten. Früher waren sie im Mittel 12 mm dick. Dann wurde die
Maschine umgebaut. Fünf neue Platten wurden gemessen: 11,87, 11,95, 11,75, 11,90 und 11,80 mm.
Alle fünf liegen unter 12 mm. Reicht das als Beleg, dass sich etwas geändert hat?
Die Aufgabe stellt die Frage zweimal, mit verschiedenen Vermutungen:
(i) Die mittlere Dicke hat sich geändert — egal, ob nach oben oder unten.
(ii) Die mittlere Dicke ist kleiner geworden — nur nach unten.
„Zum Niveau 1 % zeigen“ heißt: Stimmt die Vermutung in Wahrheit nicht, entscheidet sich der
Test höchstens mit Wahrscheinlichkeit 1 % trotzdem für sie.
Der Weg:
Aus den fünf Werten Mittelwert x ˉ 5 \bar x_5 x ˉ 5 s 5 s_5 s 5
Daraus die Teststatistik t ^ \hat t t ^ eine Zahl, die für beide Teile gilt.
(i): zwei Hypothesen aufstellen, das Niveau 1 % auf zwei Ränder verteilen, den
kritischen Wert mit R bestimmen, vergleichen.
(ii): dasselbe, aber das ganze 1 % liegt auf einem Rand.
Vergleich: warum dieselbe Zahl zu zwei Antworten führt und wann man einseitig testen darf.
Merke: Die Vermutung wird zur Alternative
H A H_A H A — der Aussage, die der Test zeigen soll
(Schritt 10). Aus
H A H_A H A folgt, ob sehr kleine, sehr große oder beide Arten von Werten gegen
die alte Dicke 12 mm sprechen.
Zur Musterlösung: Sie rechnet mit dem gerundeten
s 5 ≈ 0,0796 s_5 \approx 0{,}0796 s 5 ≈ 0 , 0796 und kommt auf
t ^ ≈ − 4,1013 \hat t \approx -4{,}1013 t ^ ≈ − 4 , 1013 , in (ii) steht
− 4,11 -4{,}11 − 4 , 11 . Ungerundet ist
s 5 = 0,0795613 s_5 = 0{,}0795613 s 5 = 0 , 0795613 und
t ^ ≈ − 4,1033 \hat t \approx -4{,}1033 t ^ ≈ − 4 , 1033 (Schritt 7), so gibt es auch R aus. Die beiden Entscheidungen
ändern sich dadurch nicht.
x 1 , … , x 5 x_1, \dots, x_5 x 1 , … , x 5 ·
n = 5 n = 5 n = 5 ·
μ 0 = 12 \mu_0 = 12 μ 0 = 12 mm
Die fünf gemessenen Dicken sind eine Stichprobe : ein kleiner Ausschnitt aus allen
Platten, die die umgebaute Maschine schneidet. x 1 = 11,87 x_1 = 11{,}87 x 1 = 11 , 87 x 2 x_2 x 2 Stichprobenumfang ist n = 5 n = 5 n = 5
Das Modell dahinter. Vor dem Messen weiß man nicht, wie dick eine Platte sein wird.
Deshalb steht für jede Messung eine Zufallsvariable X i X_i X i normalverteilt , X i ∼ N ( μ , σ 2 ) X_i \sim N(\mu,\,\sigma^2) X i ∼ N ( μ , σ 2 ) X 1 , … , X 5 X_1, \dots,
X_5 X 1 , … , X 5 unabhängig und identisch verteilt . Das heißt: Jede Messung folgt
derselben Verteilung, und keine beeinflusst eine andere.
μ \mu μ nach dem Umbau. Sie ist unbekannt — genau um sie geht
es. Auch die Streuung σ 2 \sigma^2 σ 2
Bekannt ist der alte Wert vor dem Umbau: 12 mm. Er heißt
vorgegebener Erwartungswert μ 0 = 12 \mu_0 = 12 μ 0 = 12 μ \mu μ μ 0 \mu_0 μ 0
Im Bild hat jede Platte eine eigene Zeile. Die gestrichelte Linie rechts ist μ 0 = 12 \mu_0 = 12 μ 0 = 12
Aus Blatt 5, Aufgabe 1 („Histogramm: Wartezeiten an der Bushaltestelle“): Eine
Stichprobe
x 1 , … , x n x_1, \dots, x_n x 1 , … , x n sind
n n n gemessene Werte,
n n n heißt Stichprobenumfang. Aus
ihr lernt man etwas über die unbekannte Verteilung dahinter.
Aus Blatt 4, Aufgabe 1 („Normalverteilung: die σ-Regeln“): N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N ( μ , σ 2 ) hat
eine glockenförmige Dichte mit der Mitte
μ \mu μ ;
σ 2 \sigma^2 σ 2 ist die Varianz,
σ \sigma σ die
Standardabweichung.
x ˉ 5 = 59,27 5 = 11,854 \bar x_5 = \dfrac{59{,}27}{5} = 11{,}854 x ˉ 5 = 5 59 , 27 = 11 , 854 mm
Die Frage dreht sich um die mittlere Dicke. Der erste Schätzwert dafür ist der
Durchschnitt der fünf Messungen, der Stichprobenmittelwert x ˉ 5 \bar x_5 x ˉ 5
Alle Werte addieren:
11,87 + 11,95 + 11,75 + 11,90 + 11,80 = 59,27 11{,}87 + 11{,}95 + 11{,}75 + 11{,}90 + 11{,}80 = 59{,}27 11 , 87 + 11 , 95 + 11 , 75 + 11 , 90 + 11 , 80 = 59 , 27
Durch die Anzahl n = 5 n = 5 n = 5
x ˉ 5 = 59,27 5 = 11,854 \bar x_5 = \dfrac{59{,}27}{5} = \mathbf{11{,}854} x ˉ 5 = 5 59 , 27 = 11 , 854
Der Mittelwert liegt 12 − 11,854 = 0,146 12 - 11{,}854 = 0{,}146 12 − 11 , 854 = 0 , 146
Aus Blatt 5, Aufgabe 3 („Stichprobenvarianz: die Länge der Fische“): Dort wurde
dieselbe Tabelle für fünf Fische gefüllt: Summe, Mittelwert
x ˉ n = 1 n ∑ x i \bar x_n = \frac{1}{n}\sum
x_i x ˉ n = n 1 ∑ x i , Abweichungen, Quadrate, Summe durch
n − 1 n - 1 n − 1 . Hier geht es genauso.
x i − x ˉ 5 x_i - \bar x_5 x i − x ˉ 5 :
+ 0,016 , + 0,096 , − 0,104 , + 0,046 , − 0,054 +0{,}016,\ +0{,}096,\ -0{,}104,\ +0{,}046,\ -0{,}054 + 0 , 016 , + 0 , 096 , − 0 , 104 , + 0 , 046 , − 0 , 054
Für jede Platte: Wie weit liegt sie vom Mittelwert entfernt? Das ist ihre
Abweichung x i − x ˉ 5 x_i - \bar x_5 x i − x ˉ 5
Platte 1: 11,87 − 11,854 = + 0,016 11{,}87 - 11{,}854 = +0{,}016 11 , 87 − 11 , 854 = + 0 , 016
Platte 2: 11,95 − 11,854 = + 0,096 11{,}95 - 11{,}854 = +0{,}096 11 , 95 − 11 , 854 = + 0 , 096
Platte 3: 11,75 − 11,854 = − 0,104 11{,}75 - 11{,}854 = -0{,}104 11 , 75 − 11 , 854 = − 0 , 104
Platte 4: 11,90 − 11,854 = + 0,046 11{,}90 - 11{,}854 = +0{,}046 11 , 90 − 11 , 854 = + 0 , 046
Platte 5: 11,80 − 11,854 = − 0,054 11{,}80 - 11{,}854 = -0{,}054 11 , 80 − 11 , 854 = − 0 , 054
Probe: Die Abweichungen ergeben zusammen immer 0. Plus-Seite: 0,016 + 0,096 + 0,046 = 0,158 0{,}016 + 0{,}096 +
0{,}046 = 0{,}158 0 , 016 + 0 , 096 + 0 , 046 = 0 , 158 0,104 + 0,054 = 0,158 0{,}104 + 0{,}054 = 0{,}158 0 , 104 + 0 , 054 = 0 , 158
Im Bild sind die Abweichungen Pfeile vom Mittelwert zum Punkt: grün mit Plus nach rechts,
rot mit Minus nach links.
∑ ( x i − x ˉ 5 ) 2 = 0,02532 \sum (x_i - \bar x_5)^2 = 0{,}02532 ∑ ( x i − x ˉ 5 ) 2 = 0 , 02532 mm²
Weil sich die Abweichungen zu 0 aufheben, taugt ihre Summe nicht als Maß für die Streuung.
Deshalb wird jede Abweichung quadriert , also mit sich selbst malgenommen. Danach
ist alles positiv: minus mal minus ist plus.
Beispiel Platte 3: ( − 0,104 ) 2 = ( − 0,104 ) ⋅ ( − 0,104 ) = 0,010816 (-0{,}104)^2 = (-0{,}104)\cdot(-0{,}104) = 0{,}010816 ( − 0 , 104 ) 2 = ( − 0 , 104 ) ⋅ ( − 0 , 104 ) = 0 , 010816
Alle fünf Quadrate: 0,000256 0{,}000256 0 , 000256 0,009216 0{,}009216 0 , 009216 0,010816 0{,}010816 0 , 010816 0,002116 0{,}002116 0 , 002116 0,002916 0{,}002916 0 , 002916
0,000256 + 0,009216 + 0,010816 + 0,002116 + 0,002916 = 0,02532 0{,}000256 + 0{,}009216 + 0{,}010816 + 0{,}002116 + 0{,}002916 = \mathbf{0{,}02532} 0 , 000256 + 0 , 009216 + 0 , 010816 + 0 , 002116 + 0 , 002916 = 0 , 02532
Die Einheit ist mm², weil mm mal mm gerechnet wurde.
Die beiden größten Abweichungen (Platte 2 und 3, im Bild betont) liefern 0,009216 + 0,010816 = 0,020032 0{,}009216 +
0{,}010816 = 0{,}020032 0 , 009216 + 0 , 010816 = 0 , 020032
s 5 2 = 0,02532 4 = 0,00633 s_5^2 = \dfrac{0{,}02532}{4} = 0{,}00633 s 5 2 = 4 0 , 02532 = 0 , 00633 ,
s 5 ≈ 0,0796 s_5 \approx 0{,}0796 s 5 ≈ 0 , 0796 mm
Die Summe der Quadrate wird durch n − 1 = 4 n - 1 = 4 n − 1 = 4 Stichprobenvarianz :
s 5 2 = 0,02532 5 − 1 = 0,02532 4 = 0,00633 s_5^2 = \dfrac{0{,}02532}{5 - 1} = \dfrac{0{,}02532}{4} = 0{,}00633 s 5 2 = 5 − 1 0 , 02532 = 4 0 , 02532 = 0 , 00633
Die Wurzel daraus führt zurück in mm. Das ist die
Standardabweichung der Stichprobe :
s 5 = 0,00633 = 0,0795613 … ≈ 0,0796 s_5 = \sqrt{0{,}00633} = 0{,}0795613\ldots \approx \mathbf{0{,}0796} s 5 = 0 , 00633 = 0 , 0795613 … ≈ 0 , 0796
Zum Anzeigen reichen vier Nachkommastellen (0,0796). Zum Weiterrechnen nimmt man den
genaueren Wert 0,0795613 0{,}0795613 0 , 0795613 t ^ \hat t t ^
Zur Schreibweise: s 5 s_5 s 5 s s s x ˉ 5 \bar x_5 x ˉ 5
Das Band im Bild reicht eine Standardabweichung nach jeder Seite des Mittelwerts: von
11,854 − 0,0796 = 11,7744 11{,}854 - 0{,}0796 = 11{,}7744 11 , 854 − 0 , 0796 = 11 , 7744 11,854 + 0,0796 = 11,9336 11{,}854 + 0{,}0796 = 11{,}9336 11 , 854 + 0 , 0796 = 11 , 9336
R als Probe: mean(x) liefert 11,854,
sd(x) liefert 0,0795613 — wie von Hand.
Aus Blatt 5, Aufgabe 3 („Stichprobenvarianz: die Länge der Fische“): s 2 = 1 n − 1 ∑ ( x i − x ˉ n ) 2 s^2 =
\frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar x_n)^2 s 2 = n − 1 1 ∑ ( x i − x ˉ n ) 2 , geteilt wird durch
n − 1 n - 1 n − 1 , und
s = s 2 s = \sqrt{s^2} s = s 2 .
In R:
var(x) und
sd(x).
σ \sigma σ unbekannt
⇒ \Rightarrow ⇒ Einstichproben-t-Test mit
s 5 s_5 s 5
Jetzt soll geprüft werden: Liegt x ˉ 5 = 11,854 \bar x_5 = 11{,}854 x ˉ 5 = 11 , 854 Kennt man die Streuung σ \sigma σ
Fall 1, σ \sigma σ Gauß-Test. Er rechnet mit dem wahren σ \sigma σ
Fall 2, σ \sigma σ Einstichproben-t-Test. Er setzt an die Stelle von
σ \sigma σ s n s_n s n
Die Aufgabe nennt nur den Erwartungswert 12 mm, aber keine Streuung. Also ist das
Fall 2 . Statt σ \sigma σ s 5 = 0,0795613 s_5 = 0{,}0795613 s 5 = 0 , 0795613 μ 0 \mu_0 μ 0
Die zweite Voraussetzung, die Normalverteilung, steht in der Aufgabe.
Aus Aufgabe 4 („Gauß-Test: sind die Dachbalken zu kurz?“): Dort war
σ = 0,6 \sigma =
0{,}6 σ = 0 , 6 cm bekannt. Deshalb war es ein Gauß-Test mit der Teststatistik
Z = n ⋅ x ˉ n − μ 0 σ Z =
\sqrt{n}\cdot\frac{\bar x_n - \mu_0}{\sigma} Z = n ⋅ σ x ˉ n − μ 0 .
Aus Aufgabe 5 („t-Test: ist der Mittelwert von 0 verschieden?“): Dort war
σ \sigma σ
unbekannt, wie hier. Man ersetzt
σ \sigma σ durch
s n s_n s n und erhält den
Einstichproben-t-Test.
t ^ = 5 ⋅ 11,854 − 12 0,0795613 ≈ − 4,1033 \hat t = \sqrt{5}\cdot\dfrac{11{,}854 - 12}{0{,}0795613} \approx -4{,}1033 t ^ = 5 ⋅ 0 , 0795613 11 , 854 − 12 ≈ − 4 , 1033
Eine Teststatistik ist eine einzelne Zahl, die aus den Daten berechnet wird. An ihr
hängt später die Entscheidung. Beim t-Test heißt sie t ^ \hat t t ^
t ^ = n ⋅ x ˉ n − μ 0 s n \hat t = \sqrt{n}\cdot\dfrac{\bar x_n - \mu_0}{s_n} t ^ = n ⋅ s n x ˉ n − μ 0
Die Teile der Formel:
x ˉ n − μ 0 \bar x_n - \mu_0 x ˉ n − μ 0 geteilt durch s n s_n s n
mal n \sqrt{n} n
Einsetzen, Stück für Stück:
Zähler: 11,854 − 12 = − 0,146 11{,}854 - 12 = -0{,}146 11 , 854 − 12 = − 0 , 146 unter 12.
Bruch: − 0,146 : 0,0795613 = − 1,835063 -0{,}146 : 0{,}0795613 = -1{,}835063 − 0 , 146 : 0 , 0795613 = − 1 , 835063
5 = 2,236068 \sqrt{5} = 2{,}236068 5 = 2 , 236068 t ^ = 2,236068 ⋅ ( − 1,835063 ) = − 4,103326 \hat t = 2{,}236068 \cdot (-1{,}835063) = -4{,}103326 t ^ = 2 , 236068 ⋅ ( − 1 , 835063 ) = − 4 , 103326
Auf vier Nachkommastellen: t ^ ≈ − 4,1033 \hat t \approx \mathbf{-4{,}1033} t ^ ≈ − 4 , 1033
Zur Musterlösung: Dort steht − 4,1013 -4{,}1013 − 4 , 1013 0,0796 0{,}0796 0 , 0796 0,0795613 0{,}0795613 0 , 0795613 2,236068 ⋅ ( − 0,146 ) : 0,0796 = − 4,1013 2{,}236068 \cdot (-0{,}146) : 0{,}0796 = -4{,}1013 2 , 236068 ⋅ ( − 0 , 146 ) : 0 , 0796 = − 4 , 1013 − 4,11 -4{,}11 − 4 , 11 − 4,1033 -4{,}1033 − 4 , 1033
Aus Aufgabe 5 („t-Test: ist der Mittelwert von 0 verschieden?“): Die Teststatistik
des Einstichproben-t-Tests ist
t ^ = n ⋅ x ˉ n − μ 0 s n \hat t = \sqrt{n}\cdot\frac{\bar x_n - \mu_0}{s_n} t ^ = n ⋅ s n x ˉ n − μ 0 . Dort
war
μ 0 = 0 \mu_0 = 0 μ 0 = 0 .
s 5 5 = 0,035581 \dfrac{s_5}{\sqrt 5} = 0{,}035581 5 s 5 = 0 , 035581 mm,
t ^ = − 0,146 0,035581 ≈ − 4,1033 \hat t = \dfrac{-0{,}146}{0{,}035581}
\approx -4{,}1033 t ^ = 0 , 035581 − 0 , 146 ≈ − 4 , 1033
Was sagt − 4,1033 -4{,}1033 − 4 , 1033 n \sqrt{n} n 1 n \frac{1}{\sqrt{n}} n 1 n \sqrt{n} n
t ^ = x ˉ n − μ 0 s n / n \hat t = \dfrac{\bar x_n - \mu_0}{s_n / \sqrt{n}} t ^ = s n / n x ˉ n − μ 0
Im Nenner steht jetzt s n / n s_n / \sqrt{n} s n / n Standardfehler : die
geschätzte Standardabweichung des Mittelwerts . Sie sagt, wie stark der Mittelwert
aus fünf Platten von Stichprobe zu Stichprobe schwankt. Er schwankt weniger als eine
einzelne Platte, deshalb das Teilen durch 5 \sqrt{5} 5
Mit Zahlen: 0,0795613 2,236068 = 0,035581 \dfrac{0{,}0795613}{2{,}236068} = 0{,}035581 2 , 236068 0 , 0795613 = 0 , 035581
Und damit: t ^ = − 0,146 0,035581 ≈ − 4,1033 \hat t = \dfrac{-0{,}146}{0{,}035581} \approx -4{,}1033 t ^ = 0 , 035581 − 0 , 146 ≈ − 4 , 1033
In Worten: Der Mittelwert liegt gut vier Standardfehler unter 12 mm. Das
Lineal im Bild zeigt es: Jeder Strich ist ein Standardfehler (0,0356 mm), und x ˉ 5 \bar x_5 x ˉ 5
Wichtig für den Rest: In t ^ \hat t t ^ μ 0 = 12 \mu_0 = 12 μ 0 = 12 t ^ ≈ − 4,1033 \hat t \approx -4{,}1033 t ^ ≈ − 4 , 1033 beide Teile. Unterscheiden werden sich nur die Grenzen, mit denen man t ^ \hat t t ^
Aus Aufgabe 1 („Konfidenzintervall bei bekannter Varianz“): Der Mittelwert
X ˉ n \bar
X_n X ˉ n von
n n n unabhängigen Messungen hat die Varianz
σ 2 / n \sigma^2/n σ 2 / n , also die
Standardabweichung
σ / n \sigma/\sqrt{n} σ / n . Hier ist
σ \sigma σ unbekannt und wird durch
s 5 s_5 s 5
ersetzt.
wenn
μ = 12 \mu = 12 μ = 12 :
t ^ \hat t t ^ ist t-verteilt mit
5 − 1 = 4 5 - 1 = 4 5 − 1 = 4 Freiheitsgraden
Ist − 4,10 -4{,}10 − 4 , 10 t ^ \hat t t ^ nichts geändert hat?
Angenommen, die mittlere Dicke ist nach dem Umbau immer noch μ = 12 \mu = 12 μ = 12 x ˉ 5 \bar x_5 x ˉ 5 t ^ \hat t t ^ t-Verteilung mit n − 1 = 4 n - 1 = 4 n − 1 = 4 Freiheitsgraden . Ihre Dichte ist die Kurve im
Bild.
Sie ist symmetrisch um 0 und sieht aus wie eine Glockenkurve.
Ihre Ränder sind aber dicker als bei der Normalverteilung. Grund: s 5 s_5 s 5
Die Zahl der Freiheitsgrade ist n − 1 n - 1 n − 1
Der Punkt auf der Achse ist unser t ^ ≈ − 4,10 \hat t \approx -4{,}10 t ^ ≈ − 4 , 10 μ = 12 \mu = 12 μ = 12
Aus Aufgabe 2 („Konfidenzintervall mit geschätzter Varianz: Kaffeepackungen“): Wird
σ \sigma σ durch
s n s_n s n geschätzt, rechnet man mit der t-Verteilung mit
n − 1 n - 1 n − 1
Freiheitsgraden statt mit der Standardnormalverteilung. Ihre Quantile liefert R mit
qt(p, df = n - 1);
df steht für
englisch
degrees of freedom , Freiheitsgrade.
H 0 : μ = 12 H_0: \mu = 12 H 0 : μ = 12 gegen
H A : μ ≠ 12 H_A: \mu \ne 12 H A : μ = 12 ,
α = 0,01 \alpha = 0{,}01 α = 0 , 01 Ein Test stellt zwei Behauptungen gegeneinander:
die Alternative H A H_A H A zeigen will — die Vermutung;
die Nullhypothese H 0 H_0 H 0
Die Vermutung in (i) lautet: Die mittlere Dicke hat sich geändert . Also H A : μ ≠ 12 H_A: \mu
\ne 12 H A : μ = 12 H 0 : μ = 12 H_0: \mu = 12 H 0 : μ = 12
Wichtig: „Geändert“ sagt nicht, in welche Richtung. Dünnere Platten (μ < 12 \mu < 12 μ < 12 μ > 12 \mu > 12 μ > 12 beide Enden der
Kurve gegen H 0 H_0 H 0 t ^ \hat t t ^
Das Signifikanzniveau ist α = 1 % = 0,01 \alpha = 1\,\% = 0{,}01 α = 1 % = 0 , 01 Fehler 1. Art : H 0 H_0 H 0 H 0 H_0 H 0
Aus Aufgabe 4 („Gauß-Test: sind die Dachbalken zu kurz?“): Die Vermutung kommt in
H A H_A H A , weil nur das Verwerfen von
H 0 H_0 H 0 etwas beweist. „
H 0 H_0 H 0 nicht verwerfen“ heißt
nicht, dass
H 0 H_0 H 0 stimmt — nur, dass die Daten nicht reichen.
α 2 = 0,005 \dfrac{\alpha}{2} = 0{,}005 2 α = 0 , 005 je Rand → Quantil
1 − α 2 = 0,995 1 - \dfrac{\alpha}{2} =
0{,}995 1 − 2 α = 0 , 995
Der Test verwirft H 0 H_0 H 0 t ^ \hat t t ^ α = 1 % \alpha = 1\,\% α = 1 % Ablehnbereich , seine Grenze kritischer Wert — beides wie in
Aufgabe 4.
Weil beide Richtungen gegen H 0 H_0 H 0
α 2 = 0,01 2 = 0,005 = 0,5 % \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{0{,}01}{2} = 0{,}005 = 0{,}5\,\% 2 α = 2 0 , 01 = 0 , 005 = 0 , 5 % 0,5 % 0{,}5\,\% 0 , 5 %
Warum die Hälfte? Wenn H 0 H_0 H 0 t ^ \hat t t ^ α \alpha α
Gesucht ist jetzt die Grenze des rechten Randes. Rechts von ihr liegen 0,5 %, also links
von ihr 1 − 0,005 = 0,995 1 - 0{,}005 = 0{,}995 1 − 0 , 005 = 0 , 995 0,995-Quantil .
Im Bild sind die beiden Ränder rot markiert. Weil sie so dünn sind, zeigt die Lupe oben
links den linken Rand fünfmal so hoch.
Aus Aufgabe 4 („Gauß-Test: sind die Dachbalken zu kurz?“): Die Werte der
Teststatistik, bei denen man
H 0 H_0 H 0 verwirft, heißen
Ablehnbereich . Man legt ihn so,
dass er unter
H 0 H_0 H 0 genau die Fläche
α \alpha α hat; seine Grenze heißt
kritischer Wert . Dort war es ein Rand mit 1 % links von
− 2,3263 -2{,}3263 − 2 , 3263 .
Aus Aufgabe 5 („t-Test: ist der Mittelwert von 0 verschieden?“): Beim zweiseitigen
t-Test wird
H 0 H_0 H 0 verworfen, wenn
∣ t ^ ∣ > t n − 1 ; 1 − α / 2 |\hat t| > t_{n-1;\,1-\alpha/2} ∣ t ^ ∣ > t n − 1 ; 1 − α /2 . Dort war
α = 5 % \alpha =
5\,\% α = 5 % , also 2,5 % je Rand.
t 4 ; 0,995 ≈ 4,6041 t_{4;\,0{,}995} \approx 4{,}6041 t 4 ; 0 , 995 ≈ 4 , 6041 → verwerfen, wenn
∣ t ^ ∣ > 4,6041 |\hat t| >
4{,}6041 ∣ t ^ ∣ > 4 , 6041
Das 0,995-Quantil der t-Verteilung mit 4 Freiheitsgraden heißt t 4 ; 0,995 t_{4;\,0{,}995} t 4 ; 0 , 995 t n − 1 ; 1 − α / 2 t_{n-1;\,1-\alpha/2} t n − 1 ; 1 − α /2
R rechnet es mit qt aus:
qt(0.995, df = 4) liefert 4,604095. Auf vier Nachkommastellen:
t 4 ; 0,995 ≈ 4,6041 t_{4;\,0{,}995} \approx \mathbf{4{,}6041} t 4 ; 0 , 995 ≈ 4 , 6041
Das ist der kritische Wert für den rechten Rand. Die Kurve ist symmetrisch, also
liegt die linke Grenze bei − 4,6041 -4{,}6041 − 4 , 6041
Der Ablehnbereich besteht damit aus zwei Stücken: t ^ < − 4,6041 \hat t < -4{,}6041 t ^ < − 4 , 6041 t ^ > 4,6041 \hat t
> 4{,}6041 t ^ > 4 , 6041 Betrag (Zeichen ∣ … ∣ |\ldots| ∣ … ∣ ∣ t ^ ∣ > 4,6041 |\hat t| > 4{,}6041 ∣ t ^ ∣ > 4 , 6041
Aus Blatt 4, Aufgabe 5 („Quantile: die Füllmenge einer Kaffeepackung“): Das
p p p -Quantil ist die Grenze, links von der der Anteil
p p p der Fläche liegt. Dort gab
qnorm die Quantile der Normalverteilung;
qt tut dasselbe für die t-Verteilung.
∣ t ^ ∣ = 4,1033 < 4,6041 |\hat t| = 4{,}1033 < 4{,}6041 ∣ t ^ ∣ = 4 , 1033 < 4 , 6041 →
H 0 H_0 H 0 nicht verwerfen
Jetzt wird verglichen. Der Betrag von t ^ \hat t t ^ ∣ − 4,1033 ∣ = 4,1033 |-4{,}1033| = 4{,}1033 ∣ − 4 , 1033∣ = 4 , 1033
4,1033 < 4,6041 4{,}1033 < 4{,}6041 4 , 1033 < 4 , 6041 t ^ \hat t t ^ nicht im Ablehnbereich. In der Lupe
sieht man es: Der Punkt t ^ = − 4,10 \hat t = -4{,}10 t ^ = − 4 , 10 − 4,60 -4{,}60 − 4 , 60 ∣ t ^ ∣ |\hat t| ∣ t ^ ∣
Antwort auf (i): Nein. Zum Niveau 1 % lässt sich nicht zeigen, dass sich die
mittlere Dicke geändert hat.
Was das nicht heißt: Es ist nicht gezeigt, dass die Dicke gleich geblieben ist. Die
Daten reichen nur nicht, um eine Änderung mit höchstens 1 % Irrtumswahrscheinlichkeit zu
belegen.
Merke: Zweiseitig wird verworfen, wenn
∣ t ^ ∣ > t n − 1 ; 1 − α / 2 |\hat t| > t_{n-1;\,1-\alpha/2} ∣ t ^ ∣ > t n − 1 ; 1 − α /2 . Das α
wird halbiert, weil zwei Ränder es sich teilen.
H 0 : μ ≥ 12 H_0: \mu \ge 12 H 0 : μ ≥ 12 gegen
H A : μ < 12 H_A: \mu < 12 H A : μ < 12
In (ii) lautet die Vermutung anders: Die mittlere Dicke ist kleiner geworden . Sie
kommt wieder in die Alternative:
H A : μ < 12 H_A: \mu < 12 H A : μ < 12
Die Nullhypothese ist alles andere: nicht kleiner, also gleich oder größer, H 0 : μ ≥ 12 H_0: \mu \ge
12 H 0 : μ ≥ 12 H 0 H_0 H 0 H A H_A H A μ \mu μ
Der Unterschied zu (i): Jetzt spricht nur noch eine Seite für H A H_A H A t ^ \hat t t ^ μ < 12 \mu < 12 μ < 12 t ^ \hat t t ^
Gerechnet wird weiter mit μ 0 = 12 \mu_0 = 12 μ 0 = 12 H 0 H_0 H 0 μ \mu μ t ^ \hat t t ^
Der Balken „kritischer Wert“ im Panel zeigt noch die Grenze aus (i). Die neue Grenze kommt
in Schritt 16.
Aus Aufgabe 4 („Gauß-Test: sind die Dachbalken zu kurz?“): „Die Balken sind zu
kurz“ wurde dort zu
H A : μ < 750 H_A: \mu < 750 H A : μ < 750 und
H 0 : μ ≥ 750 H_0: \mu \ge 750 H 0 : μ ≥ 750 — ein
linksseitiger Test: Der Ablehnbereich liegt nur am linken Rand. Im Schritt „Warum
der Rand μ = 750 genügt“ steht, warum man mit dem Rand
μ 0 \mu_0 μ 0 rechnen darf: Dort ist die
Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art am größten, und sie ist genau
α \alpha α .
links 1 %:
t 4 ; 0,01 = − t 4 ; 0,99 t_{4;\,0{,}01} = -t_{4;\,0{,}99} t 4 ; 0 , 01 = − t 4 ; 0 , 99
Weil nur der linke Rand für H A H_A H A ganze Signifikanzniveau α = 1 % \alpha = 1\,\% α = 1 %
Würde man auch rechts etwas abgeben, würde der Test bei sehr dicken Platten „kleiner
geworden“ behaupten. Das wäre sinnlos.
Gesucht ist die Grenze, links von der 1 % der Fläche liegt: das
0,01-Quantil t 4 ; 0,01 t_{4;\,0{,}01} t 4 ; 0 , 01
Wegen der Symmetrie um 0 liegt es genauso weit links von 0 wie das 0,99-Quantil rechts
davon. Rechts vom 0,99-Quantil liegt nämlich auch genau 1 %. Deshalb:
t 4 ; 0,01 = − t 4 ; 0,99 t_{4;\,0{,}01} = -t_{4;\,0{,}99} t 4 ; 0 , 01 = − t 4 ; 0 , 99 − t n − 1 ; 1 − α -t_{n-1;\,1-\alpha} − t n − 1 ; 1 − α
So steht es auch im Skript: Beim linksseitigen Test wird verworfen, wenn t ^ < − t n − 1 ; 1 − α \hat t <
-t_{n-1;\,1-\alpha} t ^ < − t n − 1 ; 1 − α
− t 4 ; 0,99 ≈ − 3,7469 -t_{4;\,0{,}99} \approx -3{,}7469 − t 4 ; 0 , 99 ≈ − 3 , 7469 → verwerfen, wenn
t ^ < − 3,7469 \hat t <
-3{,}7469 t ^ < − 3 , 7469 qt(0.99, df = 4) liefert 3,746947. Mit Minus davor:
− t 4 ; 0,99 ≈ − 3,7469 -t_{4;\,0{,}99} \approx \mathbf{-3{,}7469} − t 4 ; 0 , 99 ≈ − 3 , 7469
Die Probe qt(0.01, df = 4) gibt direkt −3,746947 — dieselbe
Zahl, wie die Symmetrie verspricht.
Der Ablehnbereich ist jetzt nur ein Stück: t ^ < − 3,7469 \hat t < -3{,}7469 t ^ < − 3 , 7469 Vorzeichen , nicht der Betrag. Ein t ^ = + 4 \hat t = +4 t ^ = + 4
Fällt auf: 3,7469 3{,}7469 3 , 7469 4,6041 4{,}6041 4 , 6041 0,8571 0{,}8571 0 , 8571 4,604095 − 3,746947 4{,}604095 - 3{,}746947 4 , 604095 − 3 , 746947
t ^ = − 4,1033 < − 3,7469 \hat t = -4{,}1033 < -3{,}7469 t ^ = − 4 , 1033 < − 3 , 7469 →
H 0 H_0 H 0 verwerfen
Dasselbe t ^ \hat t t ^
− 4,1033 < − 3,7469 -4{,}1033 < -3{,}7469 − 4 , 1033 < − 3 , 7469
Auf der Zahlengeraden liegt − 4,1033 -4{,}1033 − 4 , 1033 − 3,7469 -3{,}7469 − 3 , 7469 t ^ \hat t t ^ im Ablehnbereich. In der Lupe: Der Punkt liegt jetzt links der Grenze − 3,75 -3{,}75 − 3 , 75
Antwort auf (ii): Ja. H 0 H_0 H 0
Was es nicht heißt: „Mit 99 % Wahrscheinlichkeit ist die mittlere Dicke kleiner als
12 mm.“ μ \mu μ
Aus Aufgabe 4 („Gauß-Test: sind die Dachbalken zu kurz?“): Dort stand dieselbe
Warnung: nicht „Mit 99 % Wahrscheinlichkeit sind die Balken zu kurz.“ Die Garantie
betrifft das Verfahren;
μ \mu μ ist eine feste Zahl.
Merke: Linksseitig wird verworfen, wenn
t ^ < − t n − 1 ; 1 − α \hat t < -t_{n-1;\,1-\alpha} t ^ < − t n − 1 ; 1 − α . Das
ganze α liegt auf dem einen Rand, der für
H A H_A H A spricht.
− 4,6041 < t ^ = − 4,1033 < − 3,7469 -4{,}6041 < \hat t = -4{,}1033 < -3{,}7469 − 4 , 6041 < t ^ = − 4 , 1033 < − 3 , 7469
Dieselbe Zahl t ^ = − 4,1033 \hat t = -4{,}1033 t ^ = − 4 , 1033
(i) zweiseitig: Links liegen nur 0,5 % . Grenze − 4,6041 -4{,}6041 − 4 , 6041
(ii) linksseitig: Links liegt das ganze 1 % . Grenze − 3,7469 -3{,}7469 − 3 , 7469
Soll der linke Rand doppelt so viel Fläche haben, muss er breiter werden. Die Grenze rückt
dafür nach innen, zur 0 hin. Das zusätzliche Stück zwischen − 4,6041 -4{,}6041 − 4 , 6041 − 3,7469 -3{,}7469 − 3 , 7469 1 % − 0,5 % = 0,5 % 1\,\% - 0{,}5\,\% = 0{,}5\,\% 1 % − 0 , 5 % = 0 , 5 %
Und genau in diesem Streifen liegt t ^ \hat t t ^ − 4,6041 < − 4,1033 < − 3,7469 -4{,}6041 < -4{,}1033 < -3{,}7469 − 4 , 6041 < − 4 , 1033 < − 3 , 7469 t ^ \hat t t ^
Folge: Zeigt die Abweichung wirklich in die vermutete Richtung, erkennt der
einseitige Test sie leichter. Man sagt, er ist mächtiger : Er macht seltener den
Fehler 2. Art , also H 0 H_0 H 0 H A H_A H A
Aus Aufgabe 4 („Gauß-Test: sind die Dachbalken zu kurz?“): Fehler 1. Art:
H 0 H_0 H 0
stimmt, aber der Test verwirft
H 0 H_0 H 0 . Fehler 2. Art:
H A H_A H A stimmt, aber der Test verwirft
H 0 H_0 H 0 nicht.
α \alpha α begrenzt nur den Fehler 1. Art.
Merke: Zweiseitig steht
1 − α / 2 1 - \alpha/2 1 − α /2 im Quantil, einseitig
1 − α 1 - \alpha 1 − α . Deshalb
liegt der einseitige kritische Wert immer näher an 0.
linksseitig
p ≈ 0,0074 p \approx 0{,}0074 p ≈ 0 , 0074 , zweiseitig
p ≈ 0,0148 p \approx 0{,}0148 p ≈ 0 , 0148
Diese Ergänzung geht über die Aufgabe hinaus. Statt mit einem kritischen Wert kann
man auch mit dem p-Wert entscheiden (siehe Aufgabe 4 und 5): die
Wahrscheinlichkeit, ein t ^ \hat t t ^ μ = 12 \mu = 12 μ = 12
Linksseitig heißt „extrem“: noch weiter links. Der p-Wert ist die Fläche links von
− 4,1033 -4{,}1033 − 4 , 1033 pt:
pt(-4.103326, df = 4) ergibt 0,00740635, also p ≈ 0,0074 p \approx
0{,}0074 p ≈ 0 , 0074
Zweiseitig zählt auch „genauso weit rechts“ als extrem. Die Kurve ist symmetrisch,
rechts von + 4,1033 +4{,}1033 + 4 , 1033 p = 2 ⋅ 0,00740635 = 0,0148127 ≈ 0,0148 p = 2 \cdot
0{,}00740635 = 0{,}0148127 \approx 0{,}0148 p = 2 ⋅ 0 , 00740635 = 0 , 0148127 ≈ 0 , 0148
Die Regel: H 0 H_0 H 0 p ≤ α p \le \alpha p ≤ α
(ii): 0,0074 ≤ 0,01 0{,}0074 \le 0{,}01 0 , 0074 ≤ 0 , 01
(i): 0,0148 > 0,01 0{,}0148 > 0{,}01 0 , 0148 > 0 , 01
Dieselben Antworten wie mit den kritischen Werten. R erledigt alles auf einmal mit
t.test: mu = 12 ist μ 0 \mu_0 μ 0 alternative = "less" heißt „kleiner“, also linksseitig. Ohne
diese Angabe rechnet R zweiseitig. Beide Male steht
t = -4.1033 da — das ist t ^ \hat t t ^
Aus Aufgabe 4 („Gauß-Test: sind die Dachbalken zu kurz?“), Schritt „Ergänzung: der
p-Wert“:
H 0 H_0 H 0 wird verworfen, wenn
p ≤ α p \le \alpha p ≤ α ; der p-Wert ist das kleinste
α \alpha α , bei dem
man
H 0 H_0 H 0 gerade noch verwerfen würde. Er ist
nicht die Wahrscheinlichkeit, dass
H 0 H_0 H 0 stimmt, sondern eine Wahrscheinlichkeit für die Daten unter der Annahme
μ = μ 0 \mu =
\mu_0 μ = μ 0 .
Aus Aufgabe 5 („t-Test: ist der Mittelwert von 0 verschieden?“): Beim zweiseitigen
t-Test zählen für den p-Wert beide Seiten; dort war
p = 2 ⋅ P ( T 4 > 2,4820 ) ≈ 0,0681 p = 2 \cdot P(T_4 > 2{,}4820)
\approx 0{,}0681 p = 2 ⋅ P ( T 4 > 2 , 4820 ) ≈ 0 , 0681 , die blauen Flächen im Bild.
Aus Blatt 4, Aufgabe 3 („Standardnormalverteilung mit R“):
pnorm(x) gibt die Fläche links von
x x x unter der Dichte der
Standardnormalverteilung.
pt(x, df = …) tut dasselbe für die
t-Verteilung.
Seite erst nach dem Blick gewählt: Fehler 1. Art bis
1 % + 1 % = 2 % 1\,\% + 1\,\% = 2\,\% 1 % + 1 % = 2 %
Die Musterlösung schließt mit einer Bemerkung: Man darf die Richtung nur vorgeben, wenn
die Vermutung vor dem Blick auf die Daten feststand.
Warum? Stellen Sie sich vor, jemand schaut erst auf die Daten. Liegt x ˉ 5 \bar x_5 x ˉ 5 x ˉ 5 \bar x_5 x ˉ 5 t ^ \hat t t ^ ∣ t ^ ∣ > 3,7469 |\hat
t| > 3{,}7469 ∣ t ^ ∣ > 3 , 7469
Wenn H 0 H_0 H 0 2 % . Der Fehler 1. Art ist doppelt so groß wie das angegebene α = 1 % \alpha = 1\,\% α = 1 %
Und in dieser Aufgabe? Der Aufgabentext gibt beide Vermutungen vor. Wir nehmen an,
dass sie feststanden, bevor die fünf Platten gemessen wurden. Nur dann ist (ii) ein echter
Test zum Niveau 1 %. Hätte jemand erst gesehen, dass alle fünf Werte unter 12 mm liegen,
und dann „kleiner geworden“ vermutet, wäre das genau der Fall von oben. Ebenso wenig darf
man beide Tests rechnen und die Antwort nehmen, die gefällt. Weiß man vorher keine
Richtung, testet man zweiseitig.
Merke: Erst die Vermutung, dann die Daten. Die Seite des Tests wählt man nie
danach, wohin die Daten zeigen.
Teil
Hypothesen
verwerfen, wenn
Antwort
(i) geändert
H A : μ ≠ 12 H_A: \mu \ne 12 H A : μ = 12 ∣ t ^ ∣ > 4,6041 |\hat t| > 4{,}6041 ∣ t ^ ∣ > 4 , 6041 nein
(ii) kleiner
H A : μ < 12 H_A: \mu < 12 H A : μ < 12 t ^ < − 3,7469 \hat t < -3{,}7469 t ^ < − 3 , 7469 ja
In Worten: Die fünf Platten sind im Mittel 11,854 mm dick, gut vier Standardfehler
unter 12 mm (t ^ ≈ − 4,1033 \hat t \approx -4{,}1033 t ^ ≈ − 4 , 1033
Probe in mm: Aus t ^ = x ˉ 5 − 12 s 5 / 5 < − c \hat t = \frac{\bar x_5 - 12}{s_5/\sqrt 5} < -c t ^ = s 5 / 5 x ˉ 5 − 12 < − c s 5 / 5 s_5/\sqrt 5 s 5 / 5 x ˉ 5 < 12 − c ⋅ 0,035581 \bar x_5 < 12 - c \cdot 0{,}035581 x ˉ 5 < 12 − c ⋅ 0 , 035581 c = 4,6041 c = 4{,}6041 c = 4 , 6041 c = 3,7469 c = 3{,}7469 c = 3 , 7469
Rückblick — so geht man vor: Vermutung lesen und als
H A H_A H A aufschreiben.
x ˉ n \bar x_n x ˉ n ,
s n s_n s n und
t ^ \hat t t ^ berechnen. Aus
H A H_A H A die Seite ablesen:
≠ \ne = → beide Ränder,
t n − 1 ; 1 − α / 2 t_{n-1;\,1-\alpha/2} t n − 1 ; 1 − α /2 ;
< < < → linker Rand,
− t n − 1 ; 1 − α -t_{n-1;\,1-\alpha} − t n − 1 ; 1 − α . Vergleichen. Die
Richtung steht fest, bevor man die Daten ansieht.