Jemand behauptet: Ein bestimmter Stoff macht Papier schwerer entflammbar . Um das zu
prüfen, werden zehn Papierstreifen angezündet. Fünf davon sind mit dem Stoff behandelt, fünf
andere nicht. Gemessen wird jeweils die Brenndauer : wie viele Sekunden der Streifen
brennt, bis die Flamme erlischt.
Die Aufgabe schreibt die Einheit als „s“. Hier steht stattdessen immer „Sekunden“, weil der
Buchstabe s s s s X 2 s_X^2 s X 2 s Y 2 s_Y^2 s Y 2
Gesucht ist keine einzelne Zahl, sondern eine begründete Entscheidung: Reichen diese
zehn Messungen aus, um zum Niveau α = 1 % \alpha = 1\,\% α = 1 % zeigen , dass der Stoff wirkt? Das
Werkzeug dafür ist ein statistischer Test .
Aus Aufgabe 1 („Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?“): Ein Test stellt zwei
Aussagen gegeneinander: die Nullhypothese
H 0 H_0 H 0 und die Alternative
H A H_A H A , also das, was man
zeigen möchte. Aus den Daten berechnet man eine Zahl, die Teststatistik. Liegt sie weit genug
in Richtung
H A H_A H A , verwirft man
H 0 H_0 H 0 . Sonst behält man
H 0 H_0 H 0 bei.
Der Weg in sechs Etappen:
Den passenden Test wählen: Die Gruppen bestehen aus verschiedenen Streifen, sind also
unabhängig. Beide Gruppen auf Normalverteilung prüfen (Schritte 1–3).
Die Richtung klären und die Hypothesen aufschreiben (Schritte 4–5).
Die Teststatistik t ^ \hat t t ^
Den kritischen Wert und den p p p
Entscheiden und im Sachzusammenhang antworten (Schritte 15–16).
Mit R nachprüfen (Schritt 17). Danach folgt eine Ergänzung (Schritt 18).
Merke: Ein Test fragt: Ist der Unterschied in den Daten so groß, dass Zufall allein ihn
kaum erklären kann?
Zur Musterlösung: Sie schreibt die Alternative als
H 1 H_1 H 1 . Das Skript und dieser
Lösungsweg schreiben
H A H_A H A ; gemeint ist dasselbe. Zahlen und Entscheidung stimmen überein.
Zwei Stellen gehen darüber hinaus: (a) Ihr letzter Satz „der Stoff reduziert die
Entflammbarkeit also nicht“ sagt mehr, als der Test zeigt (Schritt 16). (b) Der R-Befehl
t.test würde hier anders entscheiden als die Rechnung nach dem
Skript. Das erklärt die Ergänzung in Schritt 18.
x 1 , … , x 5 x_1, \dots, x_5 x 1 , … , x 5 behandelt,
y 1 , … , y 5 y_1, \dots, y_5 y 1 , … , y 5 unbehandelt;
n = m = 5 n = m = 5 n = m = 5
Die Messwerte zerfallen in zwei Gruppen. Jede Gruppe ist eine Stichprobe : ein
kleiner Ausschnitt aus allen Streifen, die man so hätte messen können.
Gruppe X X X behandelten Streifen. Ihre Brenndauern heißen x 1 , … , x 5 x_1, \dots, x_5 x 1 , … , x 5 n n n n = 5 n = 5 n = 5
Gruppe Y Y Y unbehandelten Streifen. Ihre Brenndauern heißen y 1 , … , y 5 y_1, \dots,
y_5 y 1 , … , y 5 m m m m = 5 m = 5 m = 5
Die Namen X X X Y Y Y n n n m m m X X X
Im Bild hat jeder Streifen eine eigene Zeile. Sein Punkt steht auf dem Zahlenstrahl bei
seiner Brenndauer. Oben liegen die behandelten Streifen, unten die unbehandelten. Schon
mit bloßem Auge: Die oberen Punkte liegen eher weiter rechts. Ob das mehr als Zufall ist,
klärt der Test.
Aus Blatt 5, Aufgabe 3 („Stichprobenvarianz: die Länge der Fische“): Eine
Stichprobe
x 1 , … , x n x_1, \dots, x_n x 1 , … , x n sind
n n n gemessene Werte;
n n n heißt Stichprobenumfang. Aus
ihr schätzt man etwas über die unbekannte Verteilung dahinter.
zehn verschiedene Streifen → unabhängige Stichproben → Zweistichproben-t-Test
Das ist der zentrale Unterschied zu Aufgabe 1. Dort wurden bei
denselben fünf Männern die Haare zweimal gezählt, zu Beginn und am Ende. Je Mann
gab es also ein Paar von Werten. Die Differenz „Ende minus Beginn“ je Mann hatte
einen klaren Sinn: Sie zeigt, wie sich genau dieser Mann verändert hat.
Hier gibt es keine Paare. Jeder Streifen wird nur einmal gemessen, und die fünf
behandelten Streifen sind andere Streifen als die fünf unbehandelten. Der erste
behandelte Streifen hat mit dem ersten unbehandelten nichts zu tun. Die Reihenfolge in der
Tabelle ist zufällig.
Probe: Bildet man trotzdem Differenzen „Spalte für Spalte“, hängt das Ergebnis nur
von der Reihenfolge ab. 9,8 − 5,8 = 4,0 9{,}8 - 5{,}8 = 4{,}0 9 , 8 − 5 , 8 = 4 , 0 9,8 − 2,4 = 7,4 9{,}8 - 2{,}4 = 7{,}4 9 , 8 − 2 , 4 = 7 , 4
Solche Gruppen heißen unabhängige Stichproben : Die Brenndauer eines behandelten
Streifens verrät nichts über die Brenndauer eines unbehandelten. Man vergleicht deshalb
die Gruppen als Ganzes: den Mittelwert der einen mit dem Mittelwert der anderen. Der
passende Test heißt Zweistichproben-t-Test . Ein Hinweis darauf ist auch: Die
Gruppen könnten verschieden groß sein (n ≠ m n \ne m n = m
Im Bild stehen deshalb links „5 Streifen“ und „5 andere Streifen“.
Aus Aufgabe 1 („Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?“): Bei
verbundenen Stichproben (dieselbe Person vorher und nachher) bildet man je Paar die
Differenz
d i d_i d i und testet nur noch diese eine Liste von Differenzen. Das geht nur, wenn
die Paare wirklich zusammengehören.
Merke: Dieselben Objekte zweimal gemessen → gepaart, Differenzen bilden.
Verschiedene Objekte in den Gruppen → unabhängig, Gruppen vergleichen.
shapiro.test:
p = 0,4543 p = 0{,}4543 p = 0 , 4543 und
0,8199 0{,}8199 0 , 8199 → nichts spricht
gegen Normalverteilung
Der Zweistichproben-t-Test beruht auf einem Modell. Laut Skript gilt:
Die Brenndauern der behandelten Streifen sind normalverteilt mit Erwartungswert
μ X \mu_X μ X σ X 2 \sigma_X^2 σ X 2
Die der unbehandelten Streifen sind normalverteilt mit μ Y \mu_Y μ Y σ Y 2 \sigma_Y^2 σ Y 2
Alle zehn Messungen sind voneinander unabhängig. Innerhalb einer Gruppe folgt jeder
Streifen derselben Verteilung. Das Skript kürzt das mit „u.i.v.“ ab: u nabhängig
und i dentisch v erteilt.
Die beiden Varianzen σ X 2 \sigma_X^2 σ X 2 σ Y 2 \sigma_Y^2 σ Y 2
Die Normalverteilung ist wichtig, weil es nur fünf Werte je Gruppe gibt. Bei so wenigen
Werten stimmt die Rechnung nur, wenn schon die einzelnen Werte normalverteilt sind.
Prüfen mit R: Zuerst die Daten eingeben. beh und
unb sind die Namen der Musterlösung für „behandelt“ und
„unbehandelt“. Dann prüft der Shapiro-Wilk-Test (shapiro.test) jede Gruppe. Er ist selbst ein Test mit der Nullhypothese „die Daten sind
normalverteilt“. Seine Rechnung macht man nicht von Hand. Wichtig ist die Zahl hinter
p-value, der p p p großer p p p p p p H 0 H_0 H 0
Ergebnis: p = 0,4543 p = 0{,}4543 p = 0 , 4543 p = 0,8199 p = 0{,}8199 p = 0 , 8199
Vorsicht: „Nichts spricht dagegen“ heißt nicht „bewiesen normalverteilt“. Mit fünf
Werten je Gruppe ist diese Prüfung schwach. Sie deckt nur grobe Abweichungen auf, etwa
einen Ausreißer.
Aus Aufgabe 1 („Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?“): Der
Shapiro-Wilk-Test prüft
H 0 H_0 H 0 : „Daten normalverteilt“. Ein großer
p p p -Wert (dort
0,161 > 0,05 0{,}161
> 0{,}05 0 , 161 > 0 , 05 ) heißt: Nichts spricht gegen die Normalverteilung, der t-Test darf benutzt
werden.
Aus Blatt 5, Aufgabe 3 („Stichprobenvarianz: die Länge der Fische“): Mit
x <- c(…) werden Daten in R eingegeben. R schreibt
Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma.
Stoff wirkt
⟺ \Longleftrightarrow ⟺ μ X > μ Y \mu_X > \mu_Y μ X > μ Y
Bevor man Hypothesen aufschreibt, muss man die Behauptung in eine Aussage über die
Messgröße übersetzen. Gemessen wird die Brenndauer. Was heißt „der Stoff reduziert die
Entflammbarkeit“ für die Brenndauer?
Die Aufgabe selbst legt das nicht fest. Die Musterlösung deutet es so: Schwer
entflammbares Papier brennt langsamer . Die Flamme braucht länger, bis sie den
Streifen verzehrt hat. Eine längere Brenndauer spricht also für den Stoff.
Man könnte „bis zum Erlöschen“ auch umgekehrt lesen: Ein Schutzstoff lässt die Flamme
früher ausgehen, der Streifen brennt also kürzer . Dieser Lösungsweg folgt der
Musterlösung und nimmt „länger brennen“. Wichtig ist nur: Die Richtung wird festgelegt,
bevor man auf die Daten schaut.
Nun zu den Symbolen. μ X \mu_X μ X mittlere Brenndauer aller behandelten
Streifen, die man je messen könnte. Fachlich ist das der Erwartungswert der Brenndauer
eines behandelten Streifens. μ Y \mu_Y μ Y
Die Behauptung lautet damit: Behandelte Streifen brennen im Mittel länger, also μ X > μ Y \mu_X
> \mu_Y μ X > μ Y
Merke: Die Richtung kommt aus der Frage, nicht aus den Daten. Sie wird festgelegt,
bevor man die Messwerte auswertet.
H 0 : μ X ≤ μ Y H_0: \mu_X \le \mu_Y H 0 : μ X ≤ μ Y gegen
H A : μ X > μ Y H_A: \mu_X > \mu_Y H A : μ X > μ Y ,
α = 0,01 \alpha =
0{,}01 α = 0 , 01
Was man zeigen möchte, kommt in die Alternative H A H_A H A
H A : μ X > μ Y H_A: \mu_X > \mu_Y H A : μ X > μ Y
Die Nullhypothese H 0 H_0 H 0
H 0 : μ X ≤ μ Y H_0: \mu_X \le \mu_Y H 0 : μ X ≤ μ Y
Der Test ist einseitig : Nur eine Richtung zählt als Beleg für den Stoff. Brennten
die behandelten Streifen kürzer, spräche das nicht für H A H_A H A
Das Signifikanzniveau gibt die Aufgabe vor: α = 1 % = 0,01 \alpha = 1\,\% = 0{,}01 α = 1 % = 0 , 01 Fehler 1. Art . Der bestünde hier darin, H 0 H_0 H 0
Aus Aufgabe 1 („Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?“): H A H_A H A enthält die
Vermutung,
H 0 H_0 H 0 das Gegenteil einschließlich „gleich“. Das Niveau
α \alpha α wird vor dem
Test festgelegt und danach nicht mehr geändert. Es ist die Höchstwahrscheinlichkeit,
H 0 H_0 H 0
zu verwerfen, obwohl sie stimmt (Fehler 1. Art).
t ^ = x ˉ − y ˉ s X 2 / n + s Y 2 / m \hat t = \dfrac{\bar x - \bar y}{\sqrt{s_X^2/n + s_Y^2/m}} t ^ = s X 2 / n + s Y 2 / m x ˉ − y ˉ
Die behandelten Streifen brennen in der Stichprobe länger. Das allein reicht aber nicht.
Auch wenn der Stoff gar nichts bewirkt, wären zwei Gruppen aus je fünf Streifen nie genau
gleich. Irgendein Unterschied entsteht immer durch Zufall.
Die eigentliche Frage ist deshalb: Wie groß ist der Unterschied
im Vergleich zu dem, was der Zufall allein anrichten kann ? Genau das misst die
Teststatistik t ^ \hat t t ^
Zähler x ˉ − y ˉ \bar x - \bar y x ˉ − y ˉ x ˉ \bar x x ˉ y ˉ \bar y y ˉ
Nenner : die typische zufällige Schwankung dieses Unterschieds. Sie heißt
Standardfehler . In ihr stecken die Stichprobenvarianzen s X 2 s_X^2 s X 2 s Y 2 s_Y^2 s Y 2 n n n m m m
t ^ \hat t t ^ wie viele Standardfehler der Unterschied groß ist. Ein großes
t ^ \hat t t ^ H A H_A H A
Das Skript schreibt x ˉ n \bar x_n x ˉ n y ˉ m \bar y_m y ˉ m x ˉ \bar x x ˉ y ˉ \bar y y ˉ
Die nächsten vier Schritte berechnen die Zutaten und setzen sie ein.
x ˉ = 8,66 \bar x = 8{,}66 x ˉ = 8 , 66 ,
y ˉ = 4,68 \bar y = 4{,}68 y ˉ = 4 , 68 ,
x ˉ − y ˉ = 3,98 \bar x - \bar y = 3{,}98 x ˉ − y ˉ = 3 , 98 Sekunden
Der Mittelwert ist die Summe aller Werte einer Gruppe geteilt durch ihre Anzahl.
Behandelt: 9,8 + 11,0 + 6,4 + 9,3 + 6,8 = 43,3 9{,}8 + 11{,}0 + 6{,}4 + 9{,}3 + 6{,}8 = 43{,}3 9 , 8 + 11 , 0 + 6 , 4 + 9 , 3 + 6 , 8 = 43 , 3 n = 5 n =
5 n = 5
x ˉ = 43,3 5 = 8,66 \bar x = \dfrac{43{,}3}{5} = \mathbf{8{,}66} x ˉ = 5 43 , 3 = 8 , 66
Unbehandelt: 5,8 + 2,4 + 7,2 + 4,9 + 3,1 = 23,4 5{,}8 + 2{,}4 + 7{,}2 + 4{,}9 + 3{,}1 = 23{,}4 5 , 8 + 2 , 4 + 7 , 2 + 4 , 9 + 3 , 1 = 23 , 4 m = 5 m =
5 m = 5
y ˉ = 23,4 5 = 4,68 \bar y = \dfrac{23{,}4}{5} = \mathbf{4{,}68} y ˉ = 5 23 , 4 = 4 , 68
Der Unterschied , also der Zähler von t ^ \hat t t ^
x ˉ − y ˉ = 8,66 − 4,68 = 3,98 \bar x - \bar y = 8{,}66 - 4{,}68 = \mathbf{3{,}98} x ˉ − y ˉ = 8 , 66 − 4 , 68 = 3 , 98
Er ist positiv: In der Stichprobe brennen die behandelten Streifen im Mittel fast 4
Sekunden länger. Das zeigt in Richtung H A H_A H A
Aus Blatt 5, Aufgabe 2 („Mittelwert und Median: ein Ausreißer bei den Ausgaben“):
Der Stichprobenmittelwert ist
x ˉ n = 1 n ∑ i = 1 n x i \bar x_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i x ˉ n = n 1 ∑ i = 1 n x i , die Summe aller
Werte geteilt durch ihre Anzahl.
s X 2 = 15,752 5 − 1 = 3,938 s_X^2 = \dfrac{15{,}752}{5 - 1} = 3{,}938 s X 2 = 5 − 1 15 , 752 = 3 , 938 Sekunden²
Wie stark streuen die behandelten Streifen um ihren Mittelwert 8,66 8{,}66 8 , 66 Stichprobenvarianz s X 2 s_X^2 s X 2
Abweichungen vom Mittelwert: 9,8 − 8,66 = + 1,14 9{,}8 - 8{,}66 = +1{,}14 9 , 8 − 8 , 66 = + 1 , 14 11,0 − 8,66 = + 2,34 11{,}0 - 8{,}66 =
+2{,}34 11 , 0 − 8 , 66 = + 2 , 34 6,4 − 8,66 = − 2,26 6{,}4 - 8{,}66 = -2{,}26 6 , 4 − 8 , 66 = − 2 , 26 9,3 − 8,66 = + 0,64 9{,}3 - 8{,}66 = +0{,}64 9 , 3 − 8 , 66 = + 0 , 64 6,8 − 8,66 = − 1,86 6{,}8 - 8{,}66 =
-1{,}86 6 , 8 − 8 , 66 = − 1 , 86
Probe: Die Abweichungen ergeben zusammen 0: 1,14 + 2,34 + 0,64 = 4,12 1{,}14 + 2{,}34 + 0{,}64 = 4{,}12 1 , 14 + 2 , 34 + 0 , 64 = 4 , 12 2,26 + 1,86 = 4,12 2{,}26 + 1{,}86 = 4{,}12 2 , 26 + 1 , 86 = 4 , 12
Quadrieren: 1,14 2 = 1,2996 1{,}14^2 = 1{,}2996 1 , 1 4 2 = 1 , 2996 2,34 2 = 5,4756 2{,}34^2 = 5{,}4756 2 , 3 4 2 = 5 , 4756 ( − 2,26 ) 2 = 5,1076 (-2{,}26)^2 =
5{,}1076 ( − 2 , 26 ) 2 = 5 , 1076 0,64 2 = 0,4096 0{,}64^2 = 0{,}4096 0 , 6 4 2 = 0 , 4096 ( − 1,86 ) 2 = 3,4596 (-1{,}86)^2 = 3{,}4596 ( − 1 , 86 ) 2 = 3 , 4596
Addieren: 1,2996 + 5,4756 + 5,1076 + 0,4096 + 3,4596 = 15,752 1{,}2996 + 5{,}4756 + 5{,}1076 + 0{,}4096 + 3{,}4596 = 15{,}752 1 , 2996 + 5 , 4756 + 5 , 1076 + 0 , 4096 + 3 , 4596 = 15 , 752
Durch n − 1 = 4 n - 1 = 4 n − 1 = 4 s X 2 = 15,752 4 = 3,938 s_X^2 = \dfrac{15{,}752}{4} = \mathbf{3{,}938} s X 2 = 4 15 , 752 = 3 , 938
Die Einheit ist Sekunden² (Sekunden mal Sekunden), weil Quadrate addiert wurden. Gerundet
wird nicht: Alle Zahlen gehen genau auf.
Im Bild zeigen die Pfeile oben die fünf Abweichungen: grün mit Plus nach rechts (länger
als der Mittelwert), rot mit Minus nach links (kürzer).
Aus Blatt 5, Aufgabe 3 („Stichprobenvarianz: die Länge der Fische“): s 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ n ) 2 s^2 =
\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x_n)^2 s 2 = n − 1 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ n ) 2 : Abweichungen vom Mittelwert quadrieren,
addieren, durch
n − 1 n - 1 n − 1 teilen. Die Abweichungen allein ergeben immer 0, deshalb wird
quadriert.
s Y 2 = 15,348 5 − 1 = 3,837 s_Y^2 = \dfrac{15{,}348}{5 - 1} = 3{,}837 s Y 2 = 5 − 1 15 , 348 = 3 , 837 Sekunden²
Dasselbe für die unbehandelten Streifen, um ihren Mittelwert 4,68 4{,}68 4 , 68 j j j i i i
Abweichungen: 5,8 − 4,68 = + 1,12 5{,}8 - 4{,}68 = +1{,}12 5 , 8 − 4 , 68 = + 1 , 12 2,4 − 4,68 = − 2,28 2{,}4 - 4{,}68 = -2{,}28 2 , 4 − 4 , 68 = − 2 , 28 7,2 − 4,68 = + 2,52 7{,}2 -
4{,}68 = +2{,}52 7 , 2 − 4 , 68 = + 2 , 52 4,9 − 4,68 = + 0,22 4{,}9 - 4{,}68 = +0{,}22 4 , 9 − 4 , 68 = + 0 , 22 3,1 − 4,68 = − 1,58 3{,}1 - 4{,}68 = -1{,}58 3 , 1 − 4 , 68 = − 1 , 58
Probe: 1,12 + 2,52 + 0,22 = 3,86 1{,}12 + 2{,}52 + 0{,}22 = 3{,}86 1 , 12 + 2 , 52 + 0 , 22 = 3 , 86 2,28 + 1,58 = 3,86 2{,}28 + 1{,}58 = 3{,}86 2 , 28 + 1 , 58 = 3 , 86
Quadrieren: 1,12 2 = 1,2544 1{,}12^2 = 1{,}2544 1 , 1 2 2 = 1 , 2544 ( − 2,28 ) 2 = 5,1984 (-2{,}28)^2 = 5{,}1984 ( − 2 , 28 ) 2 = 5 , 1984 2,52 2 = 6,3504 2{,}52^2 =
6{,}3504 2 , 5 2 2 = 6 , 3504 0,22 2 = 0,0484 0{,}22^2 = 0{,}0484 0 , 2 2 2 = 0 , 0484 ( − 1,58 ) 2 = 2,4964 (-1{,}58)^2 = 2{,}4964 ( − 1 , 58 ) 2 = 2 , 4964
Addieren: 1,2544 + 5,1984 + 6,3504 + 0,0484 + 2,4964 = 15,348 1{,}2544 + 5{,}1984 + 6{,}3504 + 0{,}0484 + 2{,}4964 = 15{,}348 1 , 2544 + 5 , 1984 + 6 , 3504 + 0 , 0484 + 2 , 4964 = 15 , 348
Durch m − 1 = 4 m - 1 = 4 m − 1 = 4 s Y 2 = 15,348 4 = 3,837 s_Y^2 = \dfrac{15{,}348}{4} = \mathbf{3{,}837} s Y 2 = 4 15 , 348 = 3 , 837
Beide Gruppen streuen fast gleich stark: 3,938 und 3,837. Das passt zum Bild: Die Pfeile
oben und unten sind ähnlich lang.
Damit sind alle vier Zutaten da: x ˉ \bar x x ˉ y ˉ \bar y y ˉ s X 2 s_X^2 s X 2 s Y 2 s_Y^2 s Y 2
0,7876 + 0,7674 = 1,555 ≈ 1,247 \sqrt{0{,}7876 + 0{,}7674} = \sqrt{1{,}555} \approx 1{,}247 0 , 7876 + 0 , 7674 = 1 , 555 ≈ 1 , 247 Sekunden
Jetzt der Nenner. Er soll sagen, wie stark der Unterschied x ˉ − y ˉ \bar x - \bar y x ˉ − y ˉ X ˉ \bar X X ˉ Y ˉ \bar Y Y ˉ v a r \mathrm{var} var
1. Ein Mittelwert schwankt weniger als ein einzelner Wert. X ˉ \bar X X ˉ X 1 + ⋯ + X n X_1 + \dots + X_n X 1 + ⋯ + X n 1 n \tfrac{1}{n} n 1
Die n n n σ X 2 \sigma_X^2 σ X 2 n σ X 2 n\,\sigma_X^2 n σ X 2
Der Faktor 1 n \tfrac{1}{n} n 1 1 n 2 ⋅ n σ X 2 = σ X 2 n \tfrac{1}{n^2} \cdot
n\,\sigma_X^2 = \dfrac{\sigma_X^2}{n} n 2 1 ⋅ n σ X 2 = n σ X 2
Bei n = 5 n = 5 n = 5
2. Beim Unterschied addieren sich die Varianzen. Hier wird die Unabhängigkeit aus
Schritt 2 gebraucht. Weil die Gruppen unabhängig sind, gilt v a r ( X ˉ − Y ˉ ) = v a r ( X ˉ ) + v a r ( Y ˉ ) \mathrm{var}(\bar X - \bar Y)
= \mathrm{var}(\bar X) + \mathrm{var}(\bar Y) var ( X ˉ − Y ˉ ) = var ( X ˉ ) + var ( Y ˉ ) Plus , obwohl abgezogen
wird: Beide Mittelwerte bringen ihre eigene Unsicherheit mit.
3. Schätzen und Wurzel ziehen. σ X 2 \sigma_X^2 σ X 2 σ Y 2 \sigma_Y^2 σ Y 2
s X 2 n = 3,938 5 = 0,7876 \dfrac{s_X^2}{n} = \dfrac{3{,}938}{5} = 0{,}7876 n s X 2 = 5 3 , 938 = 0 , 7876 s Y 2 m = 3,837 5 = 0,7674 \dfrac{s_Y^2}{m} = \dfrac{3{,}837}{5} = 0{,}7674 m s Y 2 = 5 3 , 837 = 0 , 7674 0,7876 + 0,7674 = 1,555 0{,}7876 + 0{,}7674 = 1{,}555 0 , 7876 + 0 , 7674 = 1 , 555 1,555 = 1,246996 … ≈ 1,247 \sqrt{1{,}555} = 1{,}246996\ldots \approx \mathbf{1{,}247} 1 , 555 = 1 , 246996 … ≈ 1 , 247
Das ist der Standardfehler : Um etwa 1,247 Sekunden schwankt der Unterschied der
Mittelwerte typischerweise allein durch Zufall. Für den nächsten Schritt wird mit
1,246996 1{,}246996 1 , 246996
Aus Blatt 4, Aufgabe 4 („Erwartungswert und Varianz: die Rechenregeln“):
v a r ( a X ) = a 2 v a r ( X ) \mathrm{var}(aX) = a^2\,\mathrm{var}(X) var ( a X ) = a 2 var ( X ) . Sind
X X X und
Y Y Y unabhängig, gilt
v a r ( c X + d Y ) = c 2 v a r ( X ) + d 2 v a r ( Y ) \mathrm{var}(cX + dY) = c^2\,\mathrm{var}(X) + d^2\,\mathrm{var}(Y) var ( c X + d Y ) = c 2 var ( X ) + d 2 var ( Y ) . Mit
c = 1 c = 1 c = 1 und
d = − 1 d
= -1 d = − 1 wird aus dem Minus ein Plus, weil
( − 1 ) 2 = 1 (-1)^2 = 1 ( − 1 ) 2 = 1 .
t ^ = 3,98 1,246996 = 3,191669 ≈ 3,19 \hat t = \dfrac{3{,}98}{1{,}246996} = 3{,}191669 \approx 3{,}19 t ^ = 1 , 246996 3 , 98 = 3 , 191669 ≈ 3 , 19
Nun beides in die Formel aus Schritt 6 einsetzen: den Unterschied 3,98 3{,}98 3 , 98 1,246996 1{,}246996 1 , 246996
t ^ = 8,66 − 4,68 1,246996 = 3,98 1,246996 = 3,191669 … ≈ 3,19 \hat t = \dfrac{8{,}66 - 4{,}68}{1{,}246996} = \dfrac{3{,}98}{1{,}246996} =
3{,}191669\ldots \approx \mathbf{3{,}19} t ^ = 1 , 246996 8 , 66 − 4 , 68 = 1 , 246996 3 , 98 = 3 , 191669 … ≈ 3 , 19
Gerundet auf zwei Nachkommastellen: 3,19. Für den Vergleich in Schritt 14 wird der
genauere Wert 3,191669 benutzt.
In Worten: Der beobachtete Unterschied ist etwa 3,19 Standardfehler groß, also gut
dreimal so groß wie seine typische zufällige Schwankung. Im Bild legt ein Lineal den
Standardfehler dreimal in die Klammer; der Rest bis zum Ende ist das 0,19.
Ob „gut dreimal“ genügt, sagt t ^ \hat t t ^ t ^ \hat t t ^
min ( n , m ) − 1 = min ( 5 , 5 ) − 1 = 4 \min(n, m) - 1 = \min(5, 5) - 1 = 4 min ( n , m ) − 1 = min ( 5 , 5 ) − 1 = 4
Angenommen, der Stoff wirkt nicht und beide Gruppen brennen im Mittel gleich lang (μ X = μ Y \mu_X
= \mu_Y μ X = μ Y t ^ \hat t t ^ t-Verteilung : eine Glockenkurve um 0, ähnlich der Standardnormalverteilung, aber
mit dickeren Rändern. Das Bild zeigt sie.
Warum gerade der Fall μ X = μ Y \mu_X = \mu_Y μ X = μ Y H 0 H_0 H 0 H A H_A H A
Wie dick die Ränder sind, hängt von einer Zahl ab, den Freiheitsgraden . Wenige
Freiheitsgrade heißen dicke Ränder: Große Werte von t ^ \hat t t ^ vorsichtige Wahl vor:
Freiheitsgrade = min ( n , m ) − 1 = min ( 5 , 5 ) − 1 = 4 \text{Freiheitsgrade} = \min(n, m) - 1 = \min(5, 5) - 1 = \mathbf{4} Freiheitsgrade = min ( n , m ) − 1 = min ( 5 , 5 ) − 1 = 4
min ( n , m ) \min(n, m) min ( n , m ) n n n m m m
Warum vorsichtig? Das Skript nennt die Wahl „konservativ“: Sie nimmt eher zu wenige
Freiheitsgrade als zu viele. Die Ränder werden dadurch eher zu dick, und H 0 H_0 H 0
Aus Aufgabe 1 („Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?“): Die Teststatistik
eines t-Tests folgt unter
H 0 H_0 H 0 einer t-Verteilung. Beim gepaarten Test mit
n n n
Differenzen hat sie
n − 1 n - 1 n − 1 Freiheitsgrade; dort waren es
5 − 1 = 4 5 - 1 = 4 5 − 1 = 4 .
t 4 ; 0,99 = t_{4;\,0{,}99} = t 4 ; 0 , 99 = qt(0.99, df = 4) = 3,746947 = 3{,}746947 = 3 , 746947
H A H_A H A μ X \mu_X μ X H A H_A H A große Werte von t ^ \hat t t ^ H 0 H_0 H 0 t ^ \hat t t ^ kritischer Wert .
Sie wird so gelegt, dass rechts von ihr genau α = 1 % \alpha = 1\,\% α = 1 % 99-%-Quantil der t-Verteilung mit 4 Freiheitsgraden. Man schreibt t 4 ; 0,99 t_{4;\,0{,}99} t 4 ; 0 , 99 1 − α = 0,99 1 - \alpha = 0{,}99 1 − α = 0 , 99
R rechnet Quantile der t-Verteilung mit qt („q“ für Quantil, „t“
für t-Verteilung). Der Befehl bekommt den Anteil links, 0.99,
und die Freiheitsgrade, df = 4 (englisch
degrees of freedom ). R antwortet 3,746947.
Der Ablehnbereich sind alle Werte über 3,747 3{,}747 3 , 747
Warum schützt das vor dem Fehler 1. Art? Wirkt der Stoff nicht, landet t ^ \hat t t ^
Aus Blatt 4, Aufgabe 5 („Quantile: die Füllmenge einer Kaffeepackung“): Ein Quantil
ist eine Grenze, links von der ein vorgegebener Anteil der Fläche liegt. Das 99-%-Quantil
ist also die Grenze, links von der 99 % der Fläche liegen. Ein Quantil zählt immer von
links. Für die Normalverteilung rechnet es R mit qnorm.
Aus Aufgabe 1 („Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?“): Bei
H A H_A H A „größer“
wird
H 0 H_0 H 0 verworfen, wenn
t ^ > t n − 1 ; 1 − α \hat t > t_{n-1;\,1-\alpha} t ^ > t n − 1 ; 1 − α . Das Quantil liefert
qt(1 - alpha, df).
p = 1 − p = 1 - p = 1 − pt(3.191669, df = 4) = 0,0166 = 1,66 % = 0{,}0166 = 1{,}66\,\% = 0 , 0166 = 1 , 66 %
Ein zweiter Weg zur selben Entscheidung ist der p p p H 0 H_0 H 0 t ^ \hat t t ^
T T T T ∼ t 4 T \sim t_4 T ∼ t 4 rechts von 3,191669:
p = P ( T ≥ 3,191669 ) = 1 − P ( T ≤ 3,191669 ) p = P(T \ge 3{,}191669) = 1 - P(T \le 3{,}191669) p = P ( T ≥ 3 , 191669 ) = 1 − P ( T ≤ 3 , 191669 )
pt gibt die Fläche links von einer Grenze. Die Fläche
rechts ist 1 minus die Fläche links. R antwortet 0,01658167. Gerundet:
p ≈ 0,0166 = 1,66 % p \approx 0{,}0166 = \mathbf{1{,}66\,\%} p ≈ 0 , 0166 = 1 , 66 %
Vergleich mit dem Niveau: 1,66 % > 1 % 1{,}66\,\% > 1\,\% 1 , 66 % > 1 % p p p α \alpha α H 0 H_0 H 0 nicht verworfen. Das passt zum kritischen Wert: t ^ \hat t t ^ 3,747 3{,}747 3 , 747 p p p ganze Fläche rechts von
t ^ \hat t t ^ 3,747 3{,}747 3 , 747
Als Evidenz gelesen: Nach der Tabelle im Skript spricht ein p p p H 0 H_0 H 0
Aus Aufgabe 1 („Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?“): Der
p p p -Wert ist
die Wahrscheinlichkeit, unter
H 0 H_0 H 0 die beobachtete oder eine noch extremere Teststatistik
zu erhalten. Ist
p ≤ α p \le \alpha p ≤ α , wird
H 0 H_0 H 0 verworfen; ist
p > α p > \alpha p > α , wird
H 0 H_0 H 0
beibehalten.
Aus Blatt 4, Aufgabe 3 („Standardnormalverteilung mit R“):
pnorm(x) gibt die Fläche links von
x x x . „Größer als“ rechnet man
über das Gegenereignis:
1 − 1 - 1 − pnorm(x).
pt macht dasselbe für die t-Verteilung.
t ^ = 3,19 < 3,747 \hat t = 3{,}19 < 3{,}747 t ^ = 3 , 19 < 3 , 747 bzw.
p = 1,66 % > 1 % p = 1{,}66\,\% > 1\,\% p = 1 , 66 % > 1 % →
H 0 H_0 H 0
beibehalten
Beide Wege liefern dasselbe:
t ^ = 3,19 \hat t = 3{,}19 t ^ = 3 , 19 kleiner als der kritische Wert 3,747 3{,}747 3 , 747
p = 1,66 % p = 1{,}66\,\% p = 1 , 66 % größer als α = 1 % \alpha = 1\,\% α = 1 %
Also wird H 0 H_0 H 0 beibehalten .
Anschaulich in Sekunden: Man verwirft, wenn t ^ > 3,747 \hat t > 3{,}747 t ^ > 3 , 747 x ˉ − y ˉ 1,247 > 3,747 \dfrac{\bar x - \bar y}{1{,}247} > 3{,}747 1 , 247 x ˉ − y ˉ > 3 , 747
x ˉ − y ˉ > 3,746947 ⋅ 1,246996 = 4,67 \bar x - \bar y > 3{,}746947 \cdot 1{,}246996 = 4{,}67 x ˉ − y ˉ > 3 , 746947 ⋅ 1 , 246996 = 4 , 67
Die behandelten Streifen hätten im Mittel also mindestens 4,67 Sekunden länger brennen
müssen. Beobachtet sind 3,98 Sekunden. Das ist deutlich, aber nicht deutlich genug für das
Niveau 1 %.
Antwortsatz: Zum Niveau 1 % kann man nicht zeigen, dass behandelte Streifen
im Mittel länger brennen. Dass der Stoff die Entflammbarkeit reduziert, ist mit diesen
Daten also nicht nachgewiesen.
Merke: Man verwirft
H 0 H_0 H 0 nur, wenn die Teststatistik im Ablehnbereich liegt, also
genau dann, wenn
p ≤ α p \le \alpha p ≤ α ist. Die Antwort wiederholt die Frage der Aufgabe mit
„kann man (nicht) zeigen“.
H 0 H_0 H 0 beibehalten = Wirkung
nicht nachgewiesen ≠ \ne = keine Wirkung
Wichtig ist, was die Entscheidung nicht sagt. „H 0 H_0 H 0
Warum diese Vorsicht? Der Test begrenzt nur den Fehler 1. Art (fälschlich
verwerfen) auf 1 %. Der umgekehrte Irrtum heißt Fehler 2. Art : H 0 H_0 H 0 H A H_A H A
Hier deuten die Daten sogar auf eine Wirkung hin: p = 1,66 % p = 1{,}66\,\% p = 1 , 66 % H 0 H_0 H 0
Nicht erlaubt ist dagegen, nachträglich das Niveau auf 5 % zu erhöhen, weil
1,66 % < 5 % 1{,}66\,\% < 5\,\% 1 , 66 % < 5 % α \alpha α p p p
Aus Aufgabe 1 („Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?“): Verwirft man
H 0 H_0 H 0 ,
gilt
H A H_A H A als gezeigt. Die Irrtumswahrscheinlichkeit dabei ist höchstens
α \alpha α : Stimmt
H 0 H_0 H 0 in Wahrheit, verwirft der Test sie höchstens mit Wahrscheinlichkeit
α \alpha α . Das
ist eine Aussage über das Verfahren, nicht die Wahrscheinlichkeit, dass gerade dieses
Ergebnis falsch ist. Behält man
H 0 H_0 H 0 bei, weiß man nicht, ob
H 0 H_0 H 0 stimmt. „Beibehalten“
ist kein Beweis für
H 0 H_0 H 0 .
Zur Musterlösung: Sie schließt mit „der Stoff reduziert die Entflammbarkeit also
nicht“. Das sagt mehr, als der Test hergibt. Richtig ist: Eine Reduktion lässt sich zum
Niveau 1 % nicht nachweisen. Widerlegt ist sie damit nicht.
t.test(beh, unb, alternative = "greater") →
t = 3.1917 ✓
R prüft die Rechnung von Hand. mean und
var bestätigen x ˉ = 8,66 \bar x = 8{,}66 x ˉ = 8 , 66 y ˉ = 4,68 \bar y = 4{,}68 y ˉ = 4 , 68 s X 2 = 3,938 s_X^2 =
3{,}938 s X 2 = 3 , 938 s Y 2 = 3,837 s_Y^2 = 3{,}837 s Y 2 = 3 , 837
Aus Blatt 5, Aufgabe 3 („Stichprobenvarianz: die Länge der Fische“):
mean(x) berechnet den Mittelwert,
var(x) die Stichprobenvarianz
s 2 s^2 s 2 — ebenfalls mit
n − 1 n - 1 n − 1 im
Nenner.
Den ganzen Test rechnet t.test. Er bekommt nach dem Skript:
zuerst die Gruppe X X X beh, dann die Gruppe Y Y Y unb;
alternative = "greater" für H A : μ X > μ Y H_A: \mu_X > \mu_Y H A : μ X > μ Y "less", für „ungleich“
"two.sided".
Kein paired = TRUE: Die Stichproben sind nicht gepaart (Schritt
2).
In der Ausgabe steht t = 3.1917. Das ist genau t ^ = 3,191669 \hat t =
3{,}191669 t ^ = 3 , 191669
Aber: R nennt df = 7.9987 Freiheitsgrade statt 4 und
p-value = 0.006387 statt 0,01658. Das liegt nicht an einem
Rechenfehler. R bestimmt die Freiheitsgrade anders als das Skript. Die Ergänzung im
nächsten Schritt erklärt das.
Die Musterlösung zeigt für diese Aufgabe keinen t.test- Befehl.
Die Schreibweise hier folgt dem Skript.
R:
7,9987 7{,}9987 7 , 9987 Freiheitsgrade, kritischer Wert
2,897 < 3,19 2{,}897 < 3{,}19 2 , 897 < 3 , 19 ,
p = 0,64 % p = 0{,}64\,\% p = 0 , 64 %
Diese Ergänzung geht über die Aufgabe hinaus. Für die Lösung nach dem Skript gilt
Schritt 15: H 0 H_0 H 0
R benutzt beim Zweistichproben-t-Test die Welch-Näherung , benannt nach dem
Statistiker Welch. Sie berechnet die Freiheitsgrade aus den Daten, statt die vorsichtige
Zahl min ( n , m ) − 1 \min(n, m) - 1 min ( n , m ) − 1 7,9987 7{,}9987 7 , 9987 n + m − 2 = 8 n + m - 2 = 8 n + m − 2 = 8
Was ändert das? Mehr Freiheitsgrade heißen dünnere Ränder der t-Verteilung. Der
kritische Wert rückt nach links:
qt(0.99, df = 7.9987) = 2,897 = 2{,}897 = 2 , 897 3,747 3{,}747 3 , 747 t ^ = 3,19 \hat t = 3{,}19 t ^ = 3 , 19 rechts davon, im Ablehnbereich.Ebenso ist p = 0,006387 = 0,64 % < 1 % p = 0{,}006387 = 0{,}64\,\% < 1\,\% p = 0 , 006387 = 0 , 64 % < 1 %
Mit R allein würde man H 0 H_0 H 0 verwerfen . Das Bild zeigt gestrichelt die
t-Verteilung mit 8 Freiheitsgraden und ihren kritischen Wert.
Was gilt? In dieser Übung gilt die Regel des Skripts. Die Musterlösung folgt ihr,
und von Hand rechnet man genauso. Das Skript sagt selbst: Die Freiheitsgrade sind
konservativ gewählt, H 0 H_0 H 0
Nur für Interessierte: Die Welch-Freiheitsgrade berechnet man aus a = s X 2 / n = 0,7876 a = s_X^2/n =
0{,}7876 a = s X 2 / n = 0 , 7876 b = s Y 2 / m = 0,7674 b = s_Y^2/m = 0{,}7674 b = s Y 2 / m = 0 , 7674 1,555 2 = 2,418025 1{,}555^2 = 2{,}418025 1 , 55 5 2 = 2 , 418025 0,7876 2 / 4 + 0,7674 2 / 4 = 0,302304 0{,}7876^2/4 + 0{,}7674^2/4 = 0{,}302304 0 , 787 6 2 /4 + 0 , 767 4 2 /4 = 0 , 302304 7,9987 7{,}9987 7 , 9987
Merke: Welche Regel gilt, steht vor dem Test fest. Man wechselt nicht nachträglich
zu der Rechnung, die das gewünschte Ergebnis liefert. Das Skript warnt ausdrücklich:
niemals Tests durchprobieren, bis man das gewünschte Ergebnis erhält.
Schritt
Weg
Wert
Unterschied
8,66 − 4,68 8{,}66 - 4{,}68 8 , 66 − 4 , 68 3,98 Sekunden
Standardfehler
3,938 / 5 + 3,837 / 5 \sqrt{3{,}938/5 + 3{,}837/5} 3 , 938/5 + 3 , 837/5 1,247 Sekunden
Teststatistik t ^ \hat t t ^
3,98 : 1,247 3{,}98 : 1{,}247 3 , 98 : 1 , 247 3,19
kritischer Wert
qt(0.99, df = 4)3,747
p p p 1 - pt(3.191669, df = 4)1,66 %
In Worten: In der Stichprobe brennen die behandelten Streifen im Mittel rund 4
Sekunden länger. Das sind gut drei Standardfehler — viel, aber nicht genug für das strenge
Niveau 1 % mit der vorsichtigen Regel des Skripts. H 0 H_0 H 0 nicht nachgewiesen , aber auch nicht widerlegt.
Proben: R bestätigt alle Zwischenwerte und t ^ = 3,1917 \hat t = 3{,}1917 t ^ = 3 , 1917
Rückblick — so geht man bei zwei Gruppen vor: Erst fragen: dieselben Objekte zweimal
gemessen (gepaart) oder verschiedene Objekte (unabhängig)? Bei unabhängigen,
normalverteilten Gruppen: Mittelwerte und Varianzen je Gruppe, Standardfehler
s X 2 / n + s Y 2 / m \sqrt{s_X^2/n
+ s_Y^2/m} s X 2 / n + s Y 2 / m , dann
t ^ \hat t t ^ = Unterschied durch Standardfehler. Mit
t min ( n , m ) − 1 ; 1 − α t_{\min(n,m)-1;\,1-\alpha} t m i n ( n , m ) − 1 ; 1 − α vergleichen. Die Antwort mit „kann man (nicht) zeigen“
formulieren.