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ESTO · Übungsblatt 7 · Aufgabe 3

Wilcoxon-Test: welche Zeitschrift wird öfter zitiert?

Sechs Artikel aus Zeitschrift A und sechs aus Zeitschrift B: Werden Artikel aus A häufiger zitiert? Ein einzelner sehr großer Wert macht den t-Test ungültig. Der Ausweg ist der Wilcoxon-Rangsummentest: Er ersetzt die Werte durch ihre Ränge, also ihre Plätze in der sortierten Reihe. Aus den Rängen entsteht die Teststatistik WW, und der pp-Wert lässt sich hier sogar exakt von Hand abzählen. Rechts steht der ganze Lösungsweg, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Schritt 0 Die Aufgabe

Für je sechs Artikel aus zwei Fachzeitschriften A und B wurde die Anzahl der Zitationen erfasst:

Zeitschrift A 14 15 14 16 15 42
Zeitschrift B 11 12 11 13 11 10

Untersuchen Sie zum Niveau α=5 %\alpha = 5\,\%, ob Artikel in Zeitschrift A im Mittel häufiger zitiert werden als in Zeitschrift B.

Hinweis zur Musterlösung: Sie schreibt die Alternative als H1H_1; hier heißt sie wie im Skript HAH_A — gemeint ist dasselbe. Als Ausgabe von wilcox.test steht dort p-value = 0.002312. Die aktuelle R-Version und die Rechnung von Hand ergeben den exakten Wert 1/924≈0,0010821/924 \approx 0{,}001082. Die 0,002312 ist eine Näherung, die ältere R-Versionen bei gleichen Werten automatisch nehmen (Schritt 18). Beide Werte sind kleiner als 0,05: Die Entscheidung „H0H_0 verwerfen“ und die Antwort bleiben gleich.

1. Welcher Test passt?

Daten ansehen, Voraussetzung prüfen

Schritt 1 Zwei unabhängige Stichproben

Zeitschrift A: Zitationen der sechs Artikel
a1=14,a2=15,a3=14,a4=16,a5=15,a6=42a_1 = 14,\quad a_2 = 15,\quad a_3 = 14,\quad a_4 = 16,\quad a_5 = 15,\quad a_6 = 42
Zeitschrift B: Zitationen der sechs Artikel
b1=11,b2=12,b3=11,b4=13,b5=11,b6=10b_1 = 11,\quad b_2 = 12,\quad b_3 = 11,\quad b_4 = 13,\quad b_5 = 11,\quad b_6 = 10
Stichprobenumfänge: nn Werte von A, mm Werte von B
n=6,m=6n = 6, \qquad m = 6

Schritt 2 Mittelwert und Median: die 42 zieht

Stichprobenmittelwerte: Summe geteilt durch die Anzahl, auf zwei Stellen gerundet
xˉA=14+15+14+16+15+426=1166≈19,33\bar x_A = \frac{14 + 15 + 14 + 16 + 15 + 42}{6} = \frac{116}{6} \approx 19{,}33
xˉB=11+12+11+13+11+106=686≈11,33\bar x_B = \frac{11 + 12 + 11 + 13 + 11 + 10}{6} = \frac{68}{6} \approx 11{,}33
Mediane: sortieren, bei sechs Werten der Mittelwert von Platz 3 und Platz 4
A sortiert: 14, 14, 15, 15, 16, 42⇒x˙A=15+152=15\text{A sortiert: } 14,\ 14,\ \mathbf{15},\ \mathbf{15},\ 16,\ 42 \quad\Rightarrow\quad \dot x_A = \frac{15 + 15}{2} = 15
B sortiert: 10, 11, 11, 11, 12, 13⇒x˙B=11+112=11\text{B sortiert: } 10,\ 11,\ \mathbf{11},\ \mathbf{11},\ 12,\ 13 \quad\Rightarrow\quad \dot x_B = \frac{11 + 11}{2} = 11
Zum Vergleich: der Mittelwert von A ohne die 42
14+15+14+16+155=745=14,8\frac{14 + 15 + 14 + 16 + 15}{5} = \frac{74}{5} = 14{,}8

Schritt 3 Die 42 ist ein Ausreißer

Boxplot-Regel für A: Box vom Median der unteren bis zum Median der oberen Hälfte
14, 14, 15⏟Median 14  ∣  15, 16, 42⏟Median 16Box von 14 bis 16, Breite 2\underbrace{14,\ 14,\ 15}_{\text{Median } 14} \;\Big|\; \underbrace{15,\ 16,\ 42}_{\text{Median } 16} \qquad \text{Box von 14 bis 16, Breite } 2
Grenzen: das 1,5-Fache der Boxbreite von den Boxrändern nach außen
16+1,5⋅2=19,14−1,5⋅2=1116 + 1{,}5 \cdot 2 = 19, \qquad 14 - 1{,}5 \cdot 2 = 11
42>19⇒42 ist ein Ausreißer42 > 19 \quad\Rightarrow\quad \text{42 ist ein Ausreißer}
Dieselbe Regel für B: Box von 11 bis 12, Breite 1
12+1,5⋅1=13,5,11−1,5⋅1=9,5⇒alle Werte von B liegen dazwischen12 + 1{,}5 \cdot 1 = 13{,}5, \qquad 11 - 1{,}5 \cdot 1 = 9{,}5 \quad\Rightarrow\quad \text{alle Werte von B liegen dazwischen} 
boxplot.stats(A)$out
#[1] 42
boxplot.stats(B)$out
#numeric(0)

Schritt 4 Die Voraussetzung des t-Tests ist verletzt

A <- c(14, 15, 14, 16, 15, 42)
B <- c(11, 12, 11, 13, 11, 10)
shapiro.test(A)
#W = 0.55648, p-value = 0.0001321
shapiro.test(B)
#W = 0.91546, p-value = 0.4733
Shapiro-Wilk-Test: H0H_0 „die Daten stammen aus einer Normalverteilung“, zum Niveau 0,05
A: p=0,000132<0,05⇒Normalverteilung verworfen\text{A: } p = 0{,}000132 < 0{,}05 \quad\Rightarrow\quad \text{Normalverteilung verworfen}
B: p=0,4733>0,05⇒nichts spricht gegen Normalverteilung\text{B: } p = 0{,}4733 > 0{,}05 \quad\Rightarrow\quad \text{nichts spricht gegen Normalverteilung} 
shapiro.test(c(14, 15, 14, 16, 15))    # A ohne die 42
#W = 0.88104, p-value = 0.314
Der Zweistichproben-t-Test braucht Normalverteilung in beiden Gruppen
A nicht normalverteilt⇒t-Test nicht gu¨ltig\text{A nicht normalverteilt} \quad\Rightarrow\quad \text{t-Test nicht gültig}

Schritt 5 Der Ausweg: ein Test mit Rängen

Zweistichproben-t-Test Wilcoxon-Rangsummentest
rechnet mit den Werten selbst den Rängen (Plätzen in der sortierten Reihe)
braucht Normalverteilung ja, in beiden Gruppen nein
vergleicht die Mittelwerte aller Artikel der beiden Zeitschriften die Mediane aller Artikel der beiden Zeitschriften
Wirkung der 42 groß klein: sie ist nur „der größte Wert“
Voraussetzungen des Wilcoxon-Rangsummentests (Skript)
zwei unabha¨ngige Stichproben, stetige Verteilungen von vergleichbarer Form\text{zwei unabhängige Stichproben, stetige Verteilungen von vergleichbarer Form}

2. Hypothesen

was gezeigt werden soll

Schritt 6 Hypothesen und Signifikanzniveau

μ˙A\dot\mu_A, μ˙B\dot\mu_B: Median der Zitationen aller Artikel der Zeitschrift (unbekannt)
H0:μ˙A≤μ˙BgegenHA:μ˙A>μ˙BH_0: \dot\mu_A \le \dot\mu_B \qquad \text{gegen} \qquad H_A: \dot\mu_A > \dot\mu_B
Signifikanzniveau aus der Aufgabe
α=5 %=0,05\alpha = 5\,\% = 0{,}05

3. Die Teststatistik W

sortieren, Ränge vergeben, Rangsumme bilden

Schritt 7 Alle zwölf Werte in eine Reihe sortieren

Platz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Wert 10 11 11 11 12 13 14 14 15 15 16 42
von B B B B B B A A A A A A

Schritt 8 Ränge vergeben: der Platz in der Reihe

Platz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Wert 10 11 11 11 12 13 14 14 15 15 16 42
von B B B B B B A A A A A A
Rang 1 ? ? ? 5 6 ? ? ? ? 11 12
Ein Wert, der nur einmal vorkommt: Rang = Platz
10→1,12→5,13→6,16→11,42→1210 \to 1, \quad 12 \to 5, \quad 13 \to 6, \quad 16 \to 11, \quad 42 \to 12
Der Ausreißer verliert seine Größe: Abstand zum Nachbarn vorher und nachher
Werte: 42−16=26Ra¨nge: 12−11=1\text{Werte: } 42 - 16 = 26 \qquad \text{Ränge: } 12 - 11 = 1

Schritt 9 Gleiche Werte: der mittlere Rang

Die drei Werte 11 stehen auf Platz 2, 3 und 4
2+3+43=93=3\frac{2 + 3 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3
Die zwei Werte 14 stehen auf Platz 7 und 8
7+82=152=7,5\frac{7 + 8}{2} = \frac{15}{2} = 7{,}5
Die zwei Werte 15 stehen auf Platz 9 und 10
9+102=192=9,5\frac{9 + 10}{2} = \frac{19}{2} = 9{,}5
Platz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Wert 10 11 11 11 12 13 14 14 15 15 16 42
von B B B B B B A A A A A A
Rang 1 3 3 3 5 6 7,5 7,5 9,5 9,5 11 12

Schritt 10 Die Rangsummen

Zeitschrift A 14 15 14 16 15 42
Rang 7,5 9,5 7,5 11 9,5 12 Σ 57
Zeitschrift B 11 12 11 13 11 10
Rang 3 5 3 6 3 1 Σ 21
Rangsumme von A: die Ränge der sechs A-Artikel addieren
RA=7,5+9,5+7,5+11+9,5+12=57R_A = 7{,}5 + 9{,}5 + 7{,}5 + 11 + 9{,}5 + 12 = 57
Rangsumme von B
RB=3+5+3+6+3+1=21R_B = 3 + 5 + 3 + 6 + 3 + 1 = 21
Probe: zusammen muss die Summe aller Ränge 1 bis 12 herauskommen
RA+RB=57+21=78,1+2+⋯+12=12⋅132=78✓R_A + R_B = 57 + 21 = 78, \qquad 1 + 2 + \dots + 12 = \frac{12 \cdot 13}{2} = 78 \quad \checkmark

Schritt 11 Die Teststatistik W

Teststatistik des Wilcoxon-Rangsummentests (nn = Anzahl der Werte von A)
W=RA−n(n+1)2W = R_A - \frac{n(n+1)}{2}
Der abgezogene Teil ist die kleinstmögliche Rangsumme von A: die Ränge 1 bis 6
n(n+1)2=6⋅72=21=1+2+3+4+5+6\frac{n(n+1)}{2} = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
Eingesetzt
W=57−21=36W = 57 - 21 = 36
Kleinster und größter möglicher Wert (A ganz unten bzw. ganz oben)
Wmin⁡=21−21=0,Wmax⁡=(7+8+⋯+12)−21=57−21=36W_{\min} = 21 - 21 = 0, \qquad W_{\max} = (7 + 8 + \dots + 12) - 21 = 57 - 21 = 36

Schritt 12 Was W zählt

Ist a größer als b? b = 11 12 11 13 11 10 Anzahl
a = 14 1 1 1 1 1 1 6
a = 15 1 1 1 1 1 1 6
a = 14 1 1 1 1 1 1 6
a = 16 1 1 1 1 1 1 6
a = 15 1 1 1 1 1 1 6
a = 42 1 1 1 1 1 1 6
Σ\Sigma 36
WW = Anzahl der Paare (ein Wert aa aus A, ein Wert bb aus B) mit a>ba > b; gleich große Paare zählen 12\tfrac12
W=6⋅6=36=n⋅mW = 6 \cdot 6 = 36 = n \cdot m
Warum das dieselbe Zahl ist: Rang eines A-Werts = B-Werte darunter + Rang innerhalb von A
7,5=6+1,5,9,5=6+3,5,11=6+5,12=6+67{,}5 = 6 + 1{,}5, \quad 9{,}5 = 6 + 3{,}5, \quad 11 = 6 + 5, \quad 12 = 6 + 6
RA=6⋅6⏟Paare mit a>b+(1,5+1,5+3,5+3,5+5+6)⏟=21=36+21=57R_A = \underbrace{6 \cdot 6}_{\text{Paare mit } a > b} + \underbrace{(1{,}5 + 1{,}5 + 3{,}5 + 3{,}5 + 5 + 6)}_{= 21} = 36 + 21 = 57

4. Der p-Wert, exakt von Hand

alle Aufteilungen abzählen

Schritt 13 Der p-Wert: wie extrem ist W = 36?

Großes WW spricht für HAH_A (A wird öfter zitiert). „Extremer“ heißt hier: noch größer
p=P(W≥36∣H0)p = P(W \ge 36 \mid H_0)
Gerechnet wird am Rand von H0H_0: beide Zeitschriften gleich
μ˙A=μ˙B\dot\mu_A = \dot\mu_B

Schritt 14 Unter H₀ ist jede Aufteilung gleich wahrscheinlich

Die zwölf Ränge als Kärtchen; sechs davon gehören zu A
1, 3, 3, 3, 5, 6, 7,5, 7,5, 9,5, 9,5, 11, 121,\ 3,\ 3,\ 3,\ 5,\ 6,\ 7{,}5,\ 7{,}5,\ 9{,}5,\ 9{,}5,\ 11,\ 12
Binomialkoeffizient „12 über 6“: so viele Arten gibt es, 6 von 12 auszuwählen
(126)=12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅76⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1\binom{12}{6} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}
Zähler und Nenner einzeln ausrechnen, dann teilen
=665.280720=924= \frac{665.280}{720} = 924
Unter H0H_0 ist jede Aufteilung gleich wahrscheinlich (Laplace)
P(eine bestimmte Aufteilung)=1924P(\text{eine bestimmte Aufteilung}) = \frac{1}{924}

Schritt 15 Nur eine Aufteilung ergibt W = 36

W=36W = 36 heißt RA=57R_A = 57: A muss genau die sechs größten Ränge haben
7,5+7,5+9,5+9,5+11+12=577{,}5 + 7{,}5 + 9{,}5 + 9{,}5 + 11 + 12 = 57
Größer als 36 geht nicht (Schritt 11). Also:
p=P(W≥36∣H0)=P(W=36∣H0)=1924p = P(W \ge 36 \mid H_0) = P(W = 36 \mid H_0) = \frac{1}{924}
Als Dezimalzahl, auf sechs Nachkommastellen gerundet
p=0,001082≈0,11 %p = 0{,}001082 \approx 0{,}11\,\%
Zum Vergleich: schon ein einziger Tausch (eine 14 zu B, die 13 zu A) gäbe
RA=57−7,5+6=55,5,W=55,5−21=34,5R_A = 57 - 7{,}5 + 6 = 55{,}5, \qquad W = 55{,}5 - 21 = 34{,}5

Schritt 16 Entscheidung und Antwort

Entscheidungsregel: H0H_0 verwerfen, wenn p≤αp \le \alpha
p=0,001082  ≤  α=0,05⇒H0 verwerfenp = 0{,}001082 \;\le\; \alpha = 0{,}05 \quad\Rightarrow\quad H_0 \text{ verwerfen}
pp-Wert gegen H0H_0 spricht …
über 15 % nichts
10 % bis unter 15 % kaum etwas
5 % bis unter 10 % einiges
1 % bis unter 5 % vieles
unter 1 % (hier 0,11 %) sehr vieles

Antwort: Zum Niveau 5 % ist nachgewiesen, dass Artikel in Zeitschrift A häufiger zitiert werden als Artikel in Zeitschrift B — gemessen am Median, also an einem typischen Artikel.

Schritt 17 Probe mit R: wilcox.test

rank(c(A, B))
#[1]  7.5  9.5  7.5 11.0  9.5 12.0  3.0  5.0  3.0  6.0  3.0  1.0
sum(rank(c(A, B))[1:6])
#[1] 57
choose(12, 6)
#[1] 924
wilcox.test(A, B, alternative = "greater")
#	Wilcoxon rank sum exact test
#data:  A and B
#W = 36, p-value = 0.001082
#alternative hypothesis: true location shift is greater than 0
Vergleich mit der Rechnung von Hand
RA=57  ✓W=36  ✓p=1924=0,001082  ✓R_A = 57 \;\checkmark \qquad W = 36 \;\checkmark \qquad p = \tfrac{1}{924} = 0{,}001082 \;\checkmark

Schritt 18 Zur Musterlösung: warum dort 0,002312 steht

wilcox.test(A, B, alternative = "greater", exact = FALSE)
#	Wilcoxon rank sum test with continuity correction
#W = 36, p-value = 0.002312
Die Näherung ersetzt die Säulen durch eine Normalverteilung. Mitte von WW:
n⋅m2=6⋅62=18\frac{n \cdot m}{2} = \frac{6 \cdot 6}{2} = 18
Standardabweichung von WW mit Korrektur für die gleichen Werte (nur zum Nachvollziehen; Bindungen: 3-mal 11, 2-mal 14, 2-mal 15)
nm12(n+m+1−(33−3)+(23−2)+(23−2)(n+m)(n+m−1))=3⋅(13−36132)≈6,179\sqrt{\frac{n m}{12}\Big(n + m + 1 - \frac{(3^3 - 3) + (2^3 - 2) + (2^3 - 2)}{(n+m)(n+m-1)}\Big)} = \sqrt{3 \cdot \Big(13 - \frac{36}{132}\Big)} \approx 6{,}179
Standardisieren, dabei 0,5 abziehen (Stetigkeitskorrektur), dann die Fläche rechts davon
z=36−18−0,56,179=17,56,179≈2,832z = \frac{36 - 18 - 0{,}5}{6{,}179} = \frac{17{,}5}{6{,}179} \approx 2{,}832
1 - pnorm(17.5 / 6.179144)
#[1] 0.002312115
Näherung und exakter Wert führen zur selben Entscheidung
0,002312<0,05und0,001082<0,050{,}002312 < 0{,}05 \qquad\text{und}\qquad 0{,}001082 < 0{,}05

Ergänzung

nicht Teil der Lösung

Schritt 19 Ergänzung: was der ungültige t-Test gesagt hätte

Ergänzung — der t-Test ist hier nicht erlaubt (Schritt 4). Die Rechnung zeigt nur, was der Ausreißer bei ihm anrichtet. 

t.test(A, B, alternative = "greater")
#	Welch Two Sample t-test
#t = 1.7532, df = 5.0861, p-value = 0.06948
sd(A); sd(B); sd(c(14, 15, 14, 16, 15))
#[1] 11.12954
#[1] 1.032796
#[1] 0.83666
Teststatistik des Zweistichproben-t-Tests: sA2=123,87s_A^2 = 123{,}87 und sB2=1,07s_B^2 = 1{,}07 sind die Stichprobenvarianzen
t^=xˉA−xˉBsA2/n+sB2/m=19,33−11,33123,87/6+1,07/6=820,82=84,563≈1,753\hat t = \frac{\bar x_A - \bar x_B}{\sqrt{s_A^2/n + s_B^2/m}} = \frac{19{,}33 - 11{,}33}{\sqrt{123{,}87/6 + 1{,}07/6}} = \frac{8}{\sqrt{20{,}82}} = \frac{8}{4{,}563} \approx 1{,}753
Der pp-Wert läge über dem Niveau: H0H_0 würde beibehalten
p=0,06948>0,05p = 0{,}06948 > 0{,}05

Schritt 20 Ergebnis

✓Test: Wilcoxon-Rangsummentest, weil A wegen des Ausreißers 42 nicht normalverteilt ist (Shapiro-Wilk p=0,000132p = 0{,}000132)
✓H0:μ˙A≤μ˙BH_0: \dot\mu_A \le \dot\mu_B gegen HA:μ˙A>μ˙BH_A: \dot\mu_A > \dot\mu_B, α=0,05\alpha = 0{,}05
✓Rangsummen RA=57R_A = 57, RB=21R_B = 21; Teststatistik W=57−21=36W = 57 - 21 = \mathbf{36}
✓p=1/924=0,001082≤0,05p = 1/924 = \mathbf{0{,}001082} \le 0{,}05: H0H_0 wird verworfen
✓Artikel in Zeitschrift A werden zum Niveau 5 % nachweislich häufiger zitiert als Artikel in Zeitschrift B

Proben: RA+RB=78=1+2+⋯+12R_A + R_B = 78 = 1 + 2 + \dots + 12. rank, choose und wilcox.test in R bestätigen 57, 924, W=36W = 36 und p=0,001082p = 0{,}001082. W=36W = 36 ist der größte mögliche Wert 6⋅66 \cdot 6: Jeder Artikel aus A hat mehr Zitationen als jeder aus B.

Typische Fehler: Den t-Test trotz Ausreißer nehmen. Gleiche Werte nicht mit dem mittleren Rang versehen (die Probe 78 fällt dann meist durch). RA=57R_A = 57 schon für WW halten und die 21 nicht abziehen. In R die Reihenfolge vertauschen: wilcox.test(B, A, alternative = "greater") prüft „B größer als A“ und liefert W=0W = 0, p=1p = 1.