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ESTO · Übungsblatt 7 · Aufgabe 5

Chi-Quadrat-Anpassungstest: stimmt die Planung der Mensa?

Der Mensachef plant mit 20 % Rinderbraten, 50 % Schnitzel und 30 % Salat. An einem Tag werden 910, 2.570 und 1.520 Essen ausgegeben. Passt das zu seiner Annahme, oder ist die Abweichung zu groß, um Zufall zu sein? Der χ²-Anpassungstest („Chi-Quadrat“) vergleicht dazu die beobachteten mit den erwarteten Anzahlen, fasst alle Abweichungen in einer Zahl DD zusammen und prüft, ob DD über einer Grenze liegt. Rechts steht der ganze Lösungsweg, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Schritt 0 Die Aufgabe

Bei seiner Disposition geht der Mensachef davon aus, dass an einem Tag, mit folgendem Essensangebot

Ausgabe I Magerer Rinderbraten in Rotweinsoße, Kartoffelknödel und Apfelrotkohl
Ausgabe II Paniertes Schnitzel mit Pommes-Frites und Salat
Buffet Salat

sich 20 % der Studierenden für I, 50 % für II und 30 % für Buffet entscheiden. Nach einem solchen Tag wird festgestellt, dass 910 Rinderbraten, 2.570 Schnitzel und 1.520 Salate ausgegeben worden sind.

  1. Stimmen diese Daten mit den Annahmen des Mensachefs zum Niveau 5 % überein?
  2. Muss er ernsthaft daran denken, seine Disposition zu ändern?

Die Aufgabe nummeriert die beiden Fragen nicht; hier heißen sie zur Orientierung (i) und (ii).

Essen Annahme ausgegeben
Ausgabe I: Rinderbraten 20 % 910
Ausgabe II: Schnitzel 50 % 2.570
Buffet: Salat 30 % 1.520
Hinweis zur Musterlösung: Die Entscheidung stimmt: H0H_0 wird verworfen, die Daten passen nicht zur Annahme. Die Musterlösung schreibt die Alternative als H1H_1; hier heißt sie wie im Skript HAH_A. Als pp-Wert steht dort 0,005721, R gibt 0,005723 aus (Schritt 15 und 16) — ein Unterschied in der vierten Stelle, der an der Entscheidung nichts ändert. Die zweite Frage beantwortet die Musterlösung mit einem Satz („Disposition überdenken“). Hier kommt eine Ergänzung dazu: Die Abweichungen sind in Prozent klein, bei 5.000 Essen fallen aber schon kleine Abweichungen auf (Schritt 19).

(i) Beobachtet gegen erwartet

Test wählen, Hypothesen, Teststatistik DD von Hand

Schritt 1 Die Daten: drei Klassen und n = 5.000

Drei Klassen k=1,2,3k = 1, 2, 3 (I Rinderbraten, II Schnitzel, Buffet Salat), also d=3d = 3
X1=910,X2=2.570,X3=1.520X_1 = 910, \qquad X_2 = 2.570, \qquad X_3 = 1.520
Stichprobenumfang: alle ausgegebenen Essen zusammen
n=X1+X2+X3=910+2.570+1.520=5.000n = X_1 + X_2 + X_3 = 910 + 2.570 + 1.520 = 5.000
Klasse Essen beobachtet
kk XkX_k
1 I · Rinderbraten 910
2 II · Schnitzel 2.570
3 Buffet · Salat 1.520
Σ\Sigma 5.000

Schritt 2 Welcher Test und warum

Die Annahme des Mensachefs: eine feste Verteilung auf die drei Klassen
p10=0,2,p20=0,5,p30=0,3p_1^0 = 0{,}2, \qquad p_2^0 = 0{,}5, \qquad p_3^0 = 0{,}3
Probe: Jeder Studierende wählt genau ein Essen, die Anteile ergeben zusammen 1
0,2+0,5+0,3=10{,}2 + 0{,}5 + 0{,}3 = 1
Daten = Anzahlen je Klasse, Frage = passen sie zu fest vorgegebenen Anteilen?
⇒χ2-Anpassungstest\Rightarrow \quad \chi^2\text{-Anpassungstest}

Schritt 3 Die erwarteten Häufigkeiten

Erwartete Häufigkeit der Klasse kk, wenn die Annahme stimmt
n⋅pk0n \cdot p_k^0
Mit n=5.000n = 5.000 eingesetzt
n⋅p10=5.000⋅0,2=1.000n \cdot p_1^0 = 5.000 \cdot 0{,}2 = 1.000
n⋅p20=5.000⋅0,5=2.500n \cdot p_2^0 = 5.000 \cdot 0{,}5 = 2.500
n⋅p30=5.000⋅0,3=1.500n \cdot p_3^0 = 5.000 \cdot 0{,}3 = 1.500
Probe: Auch die erwarteten Anzahlen ergeben zusammen nn
1.000+2.500+1.500=5.0001.000 + 2.500 + 1.500 = 5.000
Klasse Essen beobachtet erwartet
kk XkX_k n⋅pk0n \cdot p_k^0
1 I · Rinderbraten 910 1.000
2 II · Schnitzel 2.570 2.500
3 Buffet · Salat 1.520 1.500
Σ\Sigma 5.000 5.000

Schritt 4 Voraussetzung: jede Erwartung mindestens 5

Voraussetzung des χ²-Anpassungstests (immer prüfen)
n⋅pk0≥5fu¨r alle Klassen k=1,…,dn \cdot p_k^0 \ge 5 \quad \text{für alle Klassen } k = 1, \dots, d
Hier
1.000≥5,2.500≥5,1.500≥5✓1.000 \ge 5, \qquad 2.500 \ge 5, \qquad 1.500 \ge 5 \quad \checkmark

Schritt 5 Die Hypothesen: die Annahme des Mensachefs ist H0

Nullhypothese: Die wahren Anteile pkp_k sind die des Mensachefs
H0:  p1=0,2,    p2=0,5,    p3=0,3(pk=pk0 fu¨r alle k)H_0: \; p_1 = 0{,}2, \;\; p_2 = 0{,}5, \;\; p_3 = 0{,}3 \qquad (p_k = p_k^0 \text{ für alle } k)
Alternative: Mindestens ein Anteil ist anders
HA:  pk≠pk0fu¨r mindestens ein kH_A: \; p_k \ne p_k^0 \quad \text{für mindestens ein } k
Signifikanzniveau aus der Aufgabe
α=5 %=0,05\alpha = 5\,\% = 0{,}05

Schritt 6 Die Abweichungen: beobachtet minus erwartet

Abweichung der Klasse kk
Xk−n⋅pk0X_k - n \cdot p_k^0
Für jede Klasse einzeln
910−1.000=−90,2.570−2.500=+70,1.520−1.500=+20910 - 1.000 = -90, \qquad 2.570 - 2.500 = +70, \qquad 1.520 - 1.500 = +20
Addiert: Die Abweichungen heben sich auf
(−90)+70+20=0(-90) + 70 + 20 = 0

Schritt 7 Quadrieren: sonst heben sich die Abweichungen auf

Jede Abweichung mit sich selbst malnehmen
(−90)2=8.100,702=4.900,202=400(-90)^2 = 8.100, \qquad 70^2 = 4.900, \qquad 20^2 = 400

Schritt 8 Durch die Erwartung teilen: 90 von 1.000 wiegt mehr

Abweichung im Verhältnis zur erwarteten Anzahl (ohne Vorzeichen)
901.000=0,09=9 %,702.500=0,028=2,8 %,201.500≈0,013=1,3 %\frac{90}{1.000} = 0{,}09 = 9\,\%, \qquad \frac{70}{2.500} = 0{,}028 = 2{,}8\,\%, \qquad \frac{20}{1.500} \approx 0{,}013 = 1{,}3\,\%
Maßstab: Eine Anzahl mit Erwartung EE schwankt rein zufällig typischerweise um etwa E\sqrt{E}
1.000≈31,6,2.500=50,1.500≈38,7\sqrt{1.000} \approx 31{,}6, \qquad \sqrt{2.500} = 50, \qquad \sqrt{1.500} \approx 38{,}7
Die Abweichung in solchen Schwankungen gemessen
9031,62≈2,85,7050=1,4\frac{90}{31{,}62} \approx 2{,}85, \qquad \frac{70}{50} = 1{,}4
Quadriert: das Quadrat der Abweichung einmal durch die Erwartung geteilt, denn (1.000)2=1.000(\sqrt{1.000})^2 = 1.000
(901.000)2=9021.000=8.1001.000=8,1\Big(\frac{90}{\sqrt{1.000}}\Big)^2 = \frac{90^2}{1.000} = \frac{8.100}{1.000} = 8{,}1

Schritt 9 Die drei Beiträge einzeln

Beitrag der Klasse kk: Abweichung quadriert, geteilt durch die erwartete Anzahl
(Xk−n⋅pk0)2n⋅pk0\frac{(X_k - n \cdot p_k^0)^2}{n \cdot p_k^0}
k=1k = 1, Rinderbraten
(910−1.000)21.000=(−90)21.000=8.1001.000=8,1\frac{(910 - 1.000)^2}{1.000} = \frac{(-90)^2}{1.000} = \frac{8.100}{1.000} = 8{,}1
k=2k = 2, Schnitzel
(2.570−2.500)22.500=7022.500=4.9002.500=1,96\frac{(2.570 - 2.500)^2}{2.500} = \frac{70^2}{2.500} = \frac{4.900}{2.500} = 1{,}96
k=3k = 3, Salat (auf vier Nachkommastellen gerundet)
(1.520−1.500)21.500=2021.500=4001.500=0,2666…≈0,2667\frac{(1.520 - 1.500)^2}{1.500} = \frac{20^2}{1.500} = \frac{400}{1.500} = 0{,}2666\ldots \approx 0{,}2667
Klasse beobachtet erwartet Abweichung Quadrat Beitrag
kk XkX_k npk0n p_k^0 Xk−npk0X_k - n p_k^0 (…)2(\ldots)^2 (…)2npk0\frac{(\ldots)^2}{n p_k^0}
1 910 1.000 −90 8.100 8,1
2 2.570 2.500 +70 4.900 1,96
3 1.520 1.500 +20 400 0,2667
Σ\Sigma 5.000 5.000 0

Schritt 10 Die Teststatistik D = 10,33

Teststatistik des χ²-Anpassungstests: die Summe der Beiträge aller dd Klassen
D=∑k=1d(Xk−n⋅pk0)2n⋅pk0D = \sum_{k=1}^{d} \frac{(X_k - n \cdot p_k^0)^2}{n \cdot p_k^0}
Die drei Beiträge aus Schritt 9 addieren
D=8,1+1,96+0,2667=10,3267≈10,33D = 8{,}1 + 1{,}96 + 0{,}2667 = 10{,}3267 \approx 10{,}33

(i) Kritischer Wert und Entscheidung

χ²-Verteilung, qchisq, p-Wert, Probe mit R

Schritt 11 Wie groß wird D, wenn H0 stimmt? Die χ²-Verteilung

Auch wenn H0H_0 stimmt, weichen die Anzahlen zufällig ab: DD ist dann meist größer als 0
D≥0immer, denn es werden nur Quadrate geteilt und addiertD \ge 0 \quad \text{immer, denn es werden nur Quadrate geteilt und addiert}
Wenn H0H_0 stimmt, folgt DD näherungsweise der χ²-Verteilung mit d−1d - 1 Freiheitsgraden
D  ∼ca.  χd−12D \;\overset{\text{ca.}}{\sim}\; \chi^2_{d-1}
Ihr Mittelwert ist die Zahl der Freiheitsgrade: typischer Wert von DD unter H0H_0
Mittelwert von χd−12=d−1\text{Mittelwert von } \chi^2_{d-1} = d - 1

Schritt 12 Freiheitsgrade: d − 1 = 2

Die drei Anzahlen müssen zusammen n=5.000n = 5.000 ergeben: Die dritte liegt durch die beiden anderen fest
X3=n−X1−X2=5.000−910−2.570=1.520X_3 = n - X_1 - X_2 = 5.000 - 910 - 2.570 = 1.520
Ebenso bei den Abweichungen (Summe 0, Schritt 6)
X3−np30=−((−90)+70)=+20X_3 - n p_3^0 = -\big((-90) + 70\big) = +20
Frei sind also nur zwei der drei Klassen
d−1=3−1=2 Freiheitsgrade,D  ∼ca.  χ22d - 1 = 3 - 1 = 2 \text{ Freiheitsgrade}, \qquad D \;\overset{\text{ca.}}{\sim}\; \chi^2_2

Schritt 13 Der kritische Wert mit qchisq: 5,99

Nur große DD sprechen gegen H0H_0: Ablehnbereich rechts, mit der Fläche α\alpha
H0 verwerfen, falls D>χd−1; 1−α2H_0 \text{ verwerfen, falls } D > \chi^2_{d-1;\,1-\alpha}
Hier: das 95-%-Quantil der χ²-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden
χd−1; 1−α2=χ3−1; 1−0,052=χ2; 0,952\chi^2_{d-1;\,1-\alpha} = \chi^2_{3-1;\,1-0{,}05} = \chi^2_{2;\,0{,}95}
qchisq(0.95, df = 2)
#[1] 5.991465
Auf zwei Nachkommastellen gerundet; Ablehnbereich
χ2; 0,952≈5,99⇒H0 verwerfen, falls D>5,99\chi^2_{2;\,0{,}95} \approx 5{,}99 \qquad \Rightarrow \qquad H_0 \text{ verwerfen, falls } D > 5{,}99

Schritt 14 Entscheidung: H0 verwerfen

Teststatistik (Schritt 10) mit dem kritischen Wert (Schritt 13) vergleichen
D=10,33  >  5,99=χ2; 0,952D = 10{,}33 \;>\; 5{,}99 = \chi^2_{2;\,0{,}95}
DD liegt im Ablehnbereich
⇒H0 wird zum Niveau α=5 % verworfen\Rightarrow \quad H_0 \text{ wird zum Niveau } \alpha = 5\,\% \text{ verworfen}

Antwort auf (i): Nein. Die ausgegebenen Essen stimmen zum Niveau 5 % nicht mit der Annahme 20 % / 50 % / 30 % des Mensachefs überein. Die Abweichungen sind zu groß, um sie mit Zufall zu erklären.

Schritt 15 Der p-Wert: 0,57 %

pp-Wert: Wahrscheinlichkeit, unter H0H_0 ein DD zu bekommen, das mindestens so groß ist wie 10,33
p=P(D≥10,3267∣H0)=1−F(10,3267)p = P(D \ge 10{,}3267 \mid H_0) = 1 - F(10{,}3267)
1 - pchisq(10.32667, df = 2)
#[1] 0.005722583
Vergleich mit dem Niveau
p≈0,0057=0,57 %  <  5 %=α⇒H0 verwerfenp \approx 0{,}0057 = 0{,}57\,\% \;<\; 5\,\% = \alpha \quad \Rightarrow \quad H_0 \text{ verwerfen}
pp-Wert gegen H0H_0 spricht
über 15 % nichts
10 % bis unter 15 % kaum etwas
5 % bis unter 10 % einiges
1 % bis unter 5 % vieles
unter 1 % sehr vieles — hier: 0,57 %

Schritt 16 Probe mit chisq.test

chisq.test(c(910, 2570, 1520), p = c(0.2, 0.5, 0.3))
#	Chi-squared test for given probabilities
#
# data:  c(910, 2570, 1520)
# X-squared = 10.327, df = 2, p-value = 0.005723
chisq.test(c(910, 2570, 1520), p = c(0.2, 0.5, 0.3))$expected
#[1] 1000 2500 1500
Vergleich mit der Rechnung von Hand
X-squared=10,327≈D,df=2=d−1,p-value=0,005723≈p✓\texttt{X-squared} = 10{,}327 \approx D, \quad \texttt{df} = 2 = d - 1, \quad \texttt{p-value} = 0{,}005723 \approx p \quad \checkmark

Schritt 17 Ergänzung: bei 2 Freiheitsgraden geht es auch von Hand

Ergänzung — für die Lösung nicht nötig. Sie zeigt, woher die Zahlen von R kommen.

Bei genau 2 Freiheitsgraden ist die χ²-Verteilung eine Exponentialverteilung mit λ=12\lambda = \tfrac12
f(x)=12 e−x/2(x≥0),P(D>x)=e−x/2f(x) = \tfrac12\, e^{-x/2} \quad (x \ge 0), \qquad P(D > x) = e^{-x/2}
Kritischer Wert: rechts von cc sollen 5 % liegen; nach cc auflösen (ln⁡\ln macht e…e^{\ldots} rückgängig)
e−c/2=0,05  ⇒  −c2=ln⁡0,05=−2,9957  ⇒  c=2⋅2,9957=5,9915e^{-c/2} = 0{,}05 \;\Rightarrow\; -\tfrac{c}{2} = \ln 0{,}05 = -2{,}9957 \;\Rightarrow\; c = 2 \cdot 2{,}9957 = 5{,}9915
pp-Wert: Fläche rechts von D=10,3267D = 10{,}3267
p=e−10,3267/2=e−5,1633≈0,005723p = e^{-10{,}3267/2} = e^{-5{,}1633} \approx 0{,}005723

(ii) Muss er die Disposition ändern?

wo die Abweichung herkommt, wie groß sie ist

Schritt 18 Wo die Abweichung herkommt: der Rinderbraten

Anteil jeder Klasse an D=10,3267D = 10{,}3267 (Beiträge aus Schritt 9)
8,110,3267≈78 %,1,9610,3267≈19 %,0,266710,3267≈3 %\frac{8{,}1}{10{,}3267} \approx 78\,\%, \qquad \frac{1{,}96}{10{,}3267} \approx 19\,\%, \qquad \frac{0{,}2667}{10{,}3267} \approx 3\,\%
Richtung der Abweichung (Schritt 6)
Rinderbraten: 90 weniger,Schnitzel: 70 mehr,Salat: 20 mehr als erwartet\text{Rinderbraten: } 90 \text{ weniger}, \qquad \text{Schnitzel: } 70 \text{ mehr}, \qquad \text{Salat: } 20 \text{ mehr als erwartet}

Antwort auf (ii): Ja. Die Daten widersprechen seiner Annahme deutlich (p≈0,57 %p \approx 0{,}57\,\%). Er sollte seine Planung anpassen: vor allem weniger Rinderbraten, etwas mehr Schnitzel.

Schritt 19 Ergänzung: kleine Abweichungen, großes n

Ergänzung — sie ordnet die Antwort auf (ii) ein.

Beobachtete Anteile: Anzahl geteilt durch n=5.000n = 5.000
9105.000=18,2 %,2.5705.000=51,4 %,1.5205.000=30,4 %\frac{910}{5.000} = 18{,}2\,\%, \qquad \frac{2.570}{5.000} = 51{,}4\,\%, \qquad \frac{1.520}{5.000} = 30{,}4\,\%
Gegenüber der Annahme 20 % / 50 % / 30 %
−1,8,+1,4,+0,4 Prozentpunkte-1{,}8, \qquad +1{,}4, \qquad +0{,}4 \text{ Prozentpunkte}
Gedankenexperiment: dieselben Anteile bei nur n=500n = 500 Essen (91, 257, 152; erwartet 100, 250, 150)
D=(−9)2100+72250+22150=0,81+0,196+0,0267=1,0327  <  5,99D = \frac{(-9)^2}{100} + \frac{7^2}{250} + \frac{2^2}{150} = 0{,}81 + 0{,}196 + 0{,}0267 = 1{,}0327 \;<\; 5{,}99
Zehnmal so viele Essen, gleiche Anteile: zehnmal so großes DD
10⋅1,0327=10,32710 \cdot 1{,}0327 = 10{,}327
chisq.test(c(91, 257, 152), p = c(0.2, 0.5, 0.3))
# X-squared = 1.0327, df = 2, p-value = 0.5967

Schritt 20 Ergebnis

✓(i) D=10,33>χ2; 0,952=5,99D = \mathbf{10{,}33} > \chi^2_{2;\,0{,}95} = \mathbf{5{,}99}, p≈0,0057p \approx 0{,}0057: H0H_0 wird zum Niveau 5 % verworfen. Die Daten stimmen nicht mit der Annahme 20 % / 50 % / 30 % überein.
✓(ii) Ja, er sollte die Disposition anpassen: weniger Rinderbraten (beobachtet 18,2 % statt 20 %), etwas mehr Schnitzel (51,4 % statt 50 %). Die Änderung ist klein — es geht um 1 bis 2 Prozentpunkte, nicht um ein neues Konzept.

Proben: Beobachtete und erwartete Anzahlen ergeben beide 5.000, die Abweichungen zusammen 0. R bestätigt DD (X-squared = 10.327), die 2 Freiheitsgrade, den kritischen Wert 5,991465 und den pp-Wert 0,005723. Bei 2 Freiheitsgraden lassen sich beide Zahlen auch mit e−x/2e^{-x/2} von Hand nachrechnen.

Typische Fehler: Die Abweichungen nicht quadrieren (Summe immer 0). Durch die beobachtete statt durch die erwartete Anzahl teilen. Als Freiheitsgrade d=3d = 3 oder n−1n - 1 statt d−1=2d - 1 = 2 nehmen. Das Quantil 0,9750{,}975 nehmen, weil HAH_A „ungleich“ heißt — der Ablehnbereich liegt beim χ²-Test nur rechts. „H0H_0 beibehalten“ als Beweis lesen, dass der Mensachef recht hat.