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ESTO · Übungsblatt 8 · Aufgabe 1

Kovarianz und Korrelation: Werbung und Umsatz

Ein Unternehmen hat sechs Monate lang seine Werbeausgaben und seinen Umsatz notiert. Steigt der Umsatz, wenn mehr geworben wird? Und wie eng hängen die beiden Größen zusammen? Hier wird von Grund auf erklärt, wie man das misst: die Daten als Streudiagramm zeichnen, um den Schwerpunkt der Punkte Rechtecke mit Vorzeichen bilden, daraus die Kovarianz und die Korrelation von Hand ausrechnen, das Ergebnis deuten und mit R prüfen. Rechts steht der ganze Lösungsweg, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit → geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Schritt 0 Die Aufgabe

In sechs aufeinanderfolgenden Monaten wurden die Werbeausgaben XX (in 1000 €) und der Umsatz YY (in 1000 €) eines Unternehmens erfasst:

Monat Werbeausgaben XX Umsatz YY
1 2 25
2 4 32
3 6 48
4 8 39
5 10 45
6 12 51
  1. Berechnen Sie von Hand die Stichprobenkovarianz sXYs_{XY} sowie die Stichprobenkorrelation ρ^\hat\rho. Die Stichprobenvarianzen betragen sX2=14s_X^2 = 14 und sY2=100s_Y^2 = 100.
  2. Beurteilen Sie Art und Stärke des Zusammenhangs.
  3. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse in R.

(Im Aufgabenblatt stehen die Werte nebeneinander in zwei Zeilen; hier stehen sie je Monat untereinander. Die Zahlen sind dieselben.)

Zur Musterlösung: Alle Werte stimmen überein: xˉ=7\bar x = 7, yˉ=40\bar y = 40, Summe der Produkte 160, sXY=32s_{XY} = 32 (Schritt 9), ρ^≈0,8552\hat\rho \approx 0{,}8552 (Schritt 13), starker positiver Zusammenhang (Schritt 16). Die Musterlösung schreibt Dezimalpunkte wie R (3.742), hier stehen Dezimalkommas (3,742).

(i) Von Hand: Kovarianz und Korrelation

Streudiagramm, Schwerpunkt, Rechtecke mit Vorzeichen, sXY, ρ̂

Schritt 1 Sechs Monate, sechs Paare

Für Monat i=1,…,6i = 1, \dots, 6, beide Größen in Tausend Euro (Tsd. Euro)
xi=Werbeausgaben im Monat ix_i = \text{Werbeausgaben im Monat } i
yi=Umsatz im Monat iy_i = \text{Umsatz im Monat } i
Je Monat ein Paar; das Semikolon trennt die beiden Zahlen
(x1; y1)=(2; 25),(x2; y2)=(4; 32),(x_1;\ y_1) = (2;\ 25), \quad (x_2;\ y_2) = (4;\ 32),
(x3; y3)=(6; 48),(x4; y4)=(8; 39),(x_3;\ y_3) = (6;\ 48), \quad (x_4;\ y_4) = (8;\ 39),
(x5; y5)=(10; 45),(x6; y6)=(12; 51)(x_5;\ y_5) = (10;\ 45), \quad (x_6;\ y_6) = (12;\ 51)
Anzahl der Paare
n=6n = 6

Schritt 2 Das Streudiagramm

Jedes Paar wird ein Punkt: xix_i legt fest, wie weit rechts, yiy_i, wie weit oben
(xi; yi) ⟶ Punkt(x_i;\ y_i) \ \longrightarrow\ \text{Punkt}
Die Werbeausgaben steigen von Monat zu Monat um 2. Was macht der Umsatz?
25→+732→+1648→−93925 \xrightarrow{+7} 32 \xrightarrow{+16} 48 \xrightarrow{-9} 39
39→+645→+65139 \xrightarrow{+6} 45 \xrightarrow{+6} 51
Beobachtung: der Umsatz steigt viermal und fällt einmal (Monat 3 zu Monat 4)
4×steigend,1×fallend4 \times \text{steigend}, \qquad 1 \times \text{fallend}

Schritt 3 Positiver, negativer oder kein linearer Zusammenhang

Art So sieht die Punktwolke aus
positiver linearer Zusammenhang (positiv assoziiert) Punkte um eine steigende Gerade: XX größer, YY tendenziell größer
negativer linearer Zusammenhang (negativ assoziiert) Punkte um eine fallende Gerade: XX größer, YY tendenziell kleiner
kein Zusammenhang weder steigende noch fallende Tendenz
nicht linearer Zusammenhang Punkte folgen einer Kurve, etwa erst steigend, dann fallend
Vermutung nach dem Bild — die Rechnung ab Schritt 4 soll sie prüfen und die Stärke messen
vermutlich: positiv und linear\text{vermutlich: positiv und linear}

Schritt 4 Der Schwerpunkt der Punktwolke

Mittelwert der Werbeausgaben
xˉ=1n∑i=1nxi\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
xˉ=2+4+6+8+10+126=426=7\bar x = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12}{6} = \frac{42}{6} = 7
Mittelwert des Umsatzes
yˉ=1n∑i=1nyi\bar y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i
yˉ=25+32+48+39+45+516=2406=40\bar y = \frac{25 + 32 + 48 + 39 + 45 + 51}{6} = \frac{240}{6} = 40
Schwerpunkt der Punktwolke (in Tsd. Euro)
(xˉ; yˉ)=(7; 40)(\bar x;\ \bar y) = (7;\ 40)

Schritt 5 Die Abweichungen vom Schwerpunkt

Wie weit rechts (+) oder links (−), wie weit oben (+) oder unten (−) liegt Monat ii?
xi−xˉ=xi−7x_i - \bar x = x_i - 7
yi−yˉ=yi−40y_i - \bar y = y_i - 40
Monat Werbung Abweichung Umsatz Abweichung
ii xix_i xi−xˉx_i - \bar x yiy_i yi−yˉy_i - \bar y
1 2 −5 25 −15
2 4 −3 32 −8
3 6 −1 48 +8
4 8 +1 39 −1
5 10 +3 45 +5
6 12 +5 51 +11
Σ\Sigma 42 0 240 0
Probe: in jeder Spalte ist die Summe der Abweichungen 0
−5−3−1+1+3+5=0-5 - 3 - 1 + 1 + 3 + 5 = 0
−15−8+8−1+5+11=0-15 - 8 + 8 - 1 + 5 + 11 = 0

Schritt 6 Rechtecke mit Vorzeichen

Jeder Punkt spannt mit dem Schwerpunkt ein Rechteck auf; seine Seiten sind die beiden Abweichungen
(xi−xˉ)⋅(yi−yˉ)(x_i - \bar x) \cdot (y_i - \bar y)
Lage des Punkts xi−xˉx_i - \bar x yi−yˉy_i - \bar y Produkt Monate
rechts oben + + + 5, 6
links unten − − + 1, 2
links oben − + − 3
rechts unten + − − 4

Schritt 7 Die sechs Produkte

Die Abweichungen aus Schritt 5 malnehmen, Monat für Monat
(−5)⋅(−15)=75,(−3)⋅(−8)=24,(-5) \cdot (-15) = 75, \quad (-3) \cdot (-8) = 24,
(−1)⋅8=−8,1⋅(−1)=−1,(-1) \cdot 8 = -8, \quad 1 \cdot (-1) = -1,
3⋅5=15,5⋅11=553 \cdot 5 = 15, \quad 5 \cdot 11 = 55
Monat Abweichung XX Abweichung YY Produkt
ii xi−xˉx_i - \bar x yi−yˉy_i - \bar y (xi−xˉ)(yi−yˉ)(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)
1 −5 −15 +75
2 −3 −8 +24
3 −1 +8 −8
4 +1 −1 −1
5 +3 +5 +15
6 +5 +11 +55
Einheit jedes Produkts
Tsd. Euro⋅Tsd. Euro\text{Tsd. Euro} \cdot \text{Tsd. Euro}
=(Tsd. Euro)2= (\text{Tsd. Euro})^2

Schritt 8 Die Summe der Produkte: 160

Alle sechs Rechtecke mit ihren Vorzeichen addieren
∑i=16(xi−xˉ)(yi−yˉ)\sum_{i=1}^{6} (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)
=75+24+(−8)+(−1)+15+55= 75 + 24 + (-8) + (-1) + 15 + 55
Positive und negative getrennt zusammengefasst
=75+24+15+55⏟169 − 8−1⏟−9= \underbrace{75 + 24 + 15 + 55}_{169} \ \underbrace{-\ 8 - 1}_{-9}
=169−9=160= 169 - 9 = 160

Schritt 9 Die Stichprobenkovarianz: 32

Stichprobenkovarianz: Summe der Produkte geteilt durch n−1n - 1
sXY=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)s_{XY} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)
n=6n = 6 und die Summe 160 aus Schritt 8 einsetzen
sXY=1606−1=1605=32s_{XY} = \frac{160}{6 - 1} = \frac{160}{5} = 32
Einheit: (Tsd. Euro)2\text{Einheit: } (\text{Tsd. Euro})^2
Ergänzung, für die Rechnung nicht nötig — das Gegenstück für Zufallsvariablen (Skript): die Kovarianz, die sXYs_{XY} schätzt
cov(X,Y)=E([X−E(X)]⋅[Y−E(Y)])\mathrm{cov}(X, Y) = E\big([X - E(X)] \cdot [Y - E(Y)]\big)

Schritt 10 Die Kovarianz hängt von den Einheiten ab

Dieselben Daten in Euro statt in Tausend Euro: jede Abweichung wird 1.000-mal so groß
xi−xˉ → 1.000⋅(xi−xˉ)x_i - \bar x \ \to\ 1.000 \cdot (x_i - \bar x)
yi−yˉ → 1.000⋅(yi−yˉ)y_i - \bar y \ \to\ 1.000 \cdot (y_i - \bar y)
Jedes Produkt wird also 1.000⋅1.000=1.000.0001.000 \cdot 1.000 = 1.000.000-mal so groß, die Kovarianz auch
sXY=32⋅1.000.000s_{XY} = 32 \cdot 1.000.000
=32.000.000Euro2= 32.000.000 \quad \text{Euro}^2

Folge: Der Wert von sXYs_{XY} ist nicht deutbar, nur sein Vorzeichen.

Schritt 11 Die gegebenen Varianzen nachrechnen

Werbeausgaben: Abweichungen aus Schritt 5 quadrieren, addieren, durch n−1=5n - 1 = 5 teilen
∑i=16(xi−xˉ)2=25+9+1+1+9+25=70\sum_{i=1}^{6} (x_i - \bar x)^2 = 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 = 70
sX2=705=14 ✓s_X^2 = \frac{70}{5} = 14 \ \checkmark
Umsatz: ebenso
∑i=16(yi−yˉ)2=225+64+64+1+25+121\sum_{i=1}^{6} (y_i - \bar y)^2 = 225 + 64 + 64 + 1 + 25 + 121
=500,sY2=5005=100 ✓= 500, \qquad s_Y^2 = \frac{500}{5} = 100 \ \checkmark
Die Varianz ist die Kovarianz einer Größe mit sich selbst: aus Rechtecken werden Quadrate
sX2=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)⋅(xi−xˉ)s_X^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x) \cdot (x_i - \bar x)
cov(X,X)=var(X)\mathrm{cov}(X, X) = \mathrm{var}(X)

Schritt 12 Die Standardabweichungen

Standardabweichung = Wurzel aus der Stichprobenvarianz, in Tsd. Euro, auf vier Nachkommastellen
sX=14=3,741657…≈3,7417s_X = \sqrt{14} = 3{,}741657\ldots \approx 3{,}7417
sY=100=10s_Y = \sqrt{100} = 10
Das Produkt: Fläche des Rechtecks mit den Seiten sXs_X und sYs_Y
sX⋅sY=14⋅10=37,41657…s_X \cdot s_Y = \sqrt{14} \cdot 10 = 37{,}41657\ldots
≈37,4166(Tsd. Euro)2\approx 37{,}4166 \quad (\text{Tsd. Euro})^2
Dieselben Standardabweichungen in Euro (wie in Schritt 10 alles 1.000-mal so groß)
sX=3.741,657…,sY=10.000s_X = 3.741{,}657\ldots, \qquad s_Y = 10.000

Schritt 13 Die Stichprobenkorrelation: ρ̂ ≈ 0,8552

Stichprobenkorrelation: Kovarianz geteilt durch das Produkt der Standardabweichungen
ρ^=sXYsX⋅sY\hat\rho = \frac{s_{XY}}{s_X \cdot s_Y}
sXY=32s_{XY} = 32 (Schritt 9) und sX⋅sYs_X \cdot s_Y (Schritt 12) einsetzen, auf vier Nachkommastellen
ρ^=3214⋅10≈3237,4166\hat\rho = \frac{32}{\sqrt{14} \cdot 10} \approx \frac{32}{37{,}4166}
=0,85523…≈0,8552= 0{,}85523\ldots \approx 0{,}8552
Die Einheiten kürzen sich: ρ^\hat\rho hat keine Einheit
(Tsd. Euro)2Tsd. Euro⋅Tsd. Euro=1\frac{(\text{Tsd. Euro})^2}{\text{Tsd. Euro} \cdot \text{Tsd. Euro}} = 1
Probe in Euro (Schritte 10 und 12): dieselbe Zahl
32.000.0003.741,657…⋅10.000\frac{32.000.000}{3.741{,}657\ldots \cdot 10.000}
≈32.000.00037.416.574≈0,8552\approx \frac{32.000.000}{37.416.574} \approx 0{,}8552
Ergänzung, für die Rechnung nicht nötig — das Gegenstück für Zufallsvariablen (Skript): die Korrelation, die ρ^\hat\rho schätzt
ρ=cov(X,Y)var(X)⋅var(Y)\rho = \frac{\mathrm{cov}(X, Y)}{\sqrt{\mathrm{var}(X)} \cdot \sqrt{\mathrm{var}(Y)}}

(ii) Art und Stärke · (iii) Probe mit R

Skala von −1 bis 1, Vorzeichen, Daumenregel, Grenzen der Deutung, R

Schritt 14 Die Grenzen: −1 und 1

Die Korrelation liegt immer zwischen −1 und 1 (Skript); ±1\pm 1 genau dann, wenn alle Punkte auf einer Geraden liegen
−1≤ρ≤1,−1≤ρ^≤1-1 \le \rho \le 1, \qquad -1 \le \hat\rho \le 1
Nur für Interessierte — warum genau ±1? Alle Punkte auf einer Geraden yi=c⋅xi+dy_i = c \cdot x_i + d mit c≠0c \ne 0. Dann ist yˉ=c⋅xˉ+d\bar y = c \cdot \bar x + d und
yi−yˉ=c⋅(xi−xˉ)y_i - \bar y = c \cdot (x_i - \bar x)
Nur für Interessierte: in sXYs_{XY} und sY2s_Y^2 eingesetzt (∣c∣|c| = Betrag, die Zahl ohne Vorzeichen)
sXY=c⋅sX2s_{XY} = c \cdot s_X^2
sY2=c2⋅sX2,sY=∣c∣⋅sXs_Y^2 = c^2 \cdot s_X^2, \qquad s_Y = |c| \cdot s_X
Nur für Interessierte: also +1+1 bei steigender Gerade (c>0c > 0), −1-1 bei fallender (c<0c < 0)
ρ^=c⋅sX2sX⋅∣c∣⋅sX=c∣c∣\hat\rho = \frac{c \cdot s_X^2}{s_X \cdot |c| \cdot s_X} = \frac{c}{|c|}
={+1,falls c>0−1,falls c<0= \begin{cases} +1, & \text{falls } c > 0 \\ -1, & \text{falls } c < 0 \end{cases}
Die Mitte
ρ=0: unkorreliert\rho = 0: \ \text{unkorreliert}

Schritt 15 Die Art: positiver Zusammenhang

Der Nenner sX⋅sYs_X \cdot s_Y ist positiv, also hat ρ^\hat\rho dasselbe Vorzeichen wie sXYs_{XY}
sXY=32>0,ρ^≈0,8552>0s_{XY} = 32 > 0, \qquad \hat\rho \approx 0{,}8552 > 0

Art des Zusammenhangs: ein positiver, also gleichgerichteter, linearer Zusammenhang. In Monaten mit höheren Werbeausgaben war der Umsatz tendenziell höher.

Schritt 16 Die Stärke: die Daumenregel

Betrag ∣ρ^∣|\hat\rho| Stärke (Daumenregel im Skript)
0,5<∣ρ^∣≤0,70{,}5 < |\hat\rho| \le 0{,}7 schwache Korrelation
∣ρ^∣>0,7|\hat\rho| > 0{,}7 starke Korrelation
∣ρ^∣≤0,5|\hat\rho| \le 0{,}5 die Daumenregel nennt keine Stufe
Hier
∣ρ^∣=∣0,8552∣=0,8552|\hat\rho| = |0{,}8552| = 0{,}8552
0,8552>0,7⇒stark0{,}8552 > 0{,}7 \quad \Rightarrow \quad \text{stark}

Antwort zu (ii): Zwischen Werbeausgaben und Umsatz besteht ein starker positiver linearer Zusammenhang.

Schritt 17 Was die Korrelation nicht sagt

ρ^≈0,8552\hat\rho \approx 0{,}8552 sagt nicht … Warum nicht Mehr dazu (Blatt 8)
1. dass Werbung den Umsatz verursacht Korrelation ist nicht Kausalität (Ursache und Wirkung) Aufgabe 4
2. wie viel Umsatz 1.000 € mehr Werbung bringen ρ^\hat\rho misst die Enge um eine Gerade, nicht ihre Steigung Aufgabe 3
3. ob die Punkte wirklich einer Geraden folgen und nicht einer Kurve ρ^\hat\rho erfasst nur lineare Zusammenhänge — immer das Streudiagramm ansehen Aufgabe 5
4. ob der Zusammenhang über die sechs Monate hinaus nachweisbar ist bei nur n=6n = 6 Paaren ist auch Zufall möglich Aufgabe 2

Schritt 18 Probe mit R: cov, var und cor

x <- c(2, 4, 6, 8, 10, 12)
y <- c(25, 32, 48, 39, 45, 51)
cov(x, y)
#[1] 32
var(x)
#[1] 14
var(y)
#[1] 100
cor(x, y)
#[1] 0.855236
Vergleich mit der Rechnung von Hand
sXY=32 ✓,ρ^≈0,8552 ✓s_{XY} = 32 \ \checkmark, \qquad \hat\rho \approx 0{,}8552 \ \checkmark
sX2=14 ✓,sY2=100 ✓s_X^2 = 14 \ \checkmark, \qquad s_Y^2 = 100 \ \checkmark
cor(y, x)
#[1] 0.855236
cov(1000 * x, 1000 * y)
#[1] 3.2e+07
cor(1000 * x, 1000 * y)
#[1] 0.855236
Vertauscht und in Euro: die Korrelation bleibt, die Kovarianz nicht
3,2⋅107=32.000.000 (Schritt 10)3{,}2 \cdot 10^7 = 32.000.000 \ \text{(Schritt 10)}

Schritt 19 Ergebnis

✓Schwerpunkt (xˉ; yˉ)=(7; 40)(\bar x;\ \bar y) = (7;\ 40), Summe der Produkte 169−9=160169 - 9 = 160
✓(i) Stichprobenkovarianz sXY=160:5=32s_{XY} = 160 : 5 = \mathbf{32} (Tsd. Euro)²
✓(i) Stichprobenkorrelation ρ^=32:(14⋅10)≈0,8552\hat\rho = 32 : (\sqrt{14} \cdot 10) \approx \mathbf{0{,}8552}, ohne Einheit
✓(ii) ρ^>0\hat\rho > 0 und ∣ρ^∣>0,7|\hat\rho| > 0{,}7: starker positiver linearer Zusammenhang — in Monaten mit mehr Werbung war der Umsatz tendenziell höher
✓(iii) R: cov(x, y) = 32, var = 14 und 100, cor(x, y) = 0.855236

Proben: Die Abweichungen ergeben in beiden Spalten zusammen 0. Aus ihnen folgen genau die gegebenen Varianzen 14 und 100. ρ^\hat\rho liegt zwischen −1 und 1. In Euro gerechnet ändert sich die Kovarianz, die Korrelation nicht. R bestätigt alle Werte.

Typische Fehler: Verschiedene Nenner mischen: 160:6≈26,667160 : 6 \approx 26{,}667 statt 160:5160 : 5, aber die Varianzen mit n−1n - 1 — dann kommt 26,667:37,4166≈0,712726{,}667 : 37{,}4166 \approx 0{,}7127 heraus. Die Varianzen statt der Standardabweichungen in den Nenner setzen: 32:(14⋅100)≈0,022932 : (14 \cdot 100) \approx 0{,}0229. Ein Vorzeichen bei den Abweichungen vergessen, etwa (−1)⋅8=+8(-1) \cdot 8 = +8 statt −8-8. Die Größe der Kovarianz als Stärke deuten („32 ist viel“). ρ^≈0,86\hat\rho \approx 0{,}86 als „86 %“ oder als Beweis für eine Wirkung der Werbung lesen. Die Paare trennen oder eine Reihe umsortieren.