Blatt 8 handelt vom linearen Zusammenhang : Steigt die eine Größe im Mittel, wenn die
andere steigt? In Aufgabe 1 wurde das aus Daten gemessen, mit Kovarianz und Korrelation. Diese
Aufgabe ist ein Gedankenexperiment ohne Daten. Sie zeigt, was die Korrelation
nicht sehen kann.
Gegeben: Eine Zufallsvariable X X X − 1 -1 − 1 0 0 0 1 1 1 1 3 \tfrac13 3 1 Y Y Y X X X Y = X 2 Y = X^2 Y = X 2 X X X Y Y Y
Gesucht , in eigenen Worten:
Fünf Zahlen: die Erwartungswerte E ( X ) E(X) E ( X ) E ( Y ) E(Y) E ( Y ) E ( X Y ) E(XY) E ( X Y ) ρ \rho ρ
Zwei Ja-Nein-Fragen mit Begründung: Ist ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0 X X X Y Y Y
Was folgt daraus allgemein für die beiden Begriffe? Und wann bedeuten sie dasselbe?
Zusatz: die Varianz der Summe X + Y X + Y X + Y
Der Weg in fünf Etappen:
Die Verteilungen aufschreiben und klären, was hier anders ist als bei Daten (Schritte 1–2).
(i) Erwartungswerte, Kovarianz, Varianzen und Korrelation von Hand (Schritte 3–10).
(ii) Unkorreliert? Ja — und warum, obwohl Y Y Y X X X
(iii) Wie die beiden Begriffe zusammenhängen (Schritte 19–21).
(iv) v a r ( X + Y ) \mathrm{var}(X + Y) var ( X + Y )
Merke: Die Korrelation misst nur, wie gut ein Zusammenhang zu einer
Geraden passt. Ein Zusammenhang, der keine Gerade ist, kann ihr ganz entgehen.
ρ = 0 \rho =
0 ρ = 0 heißt deshalb „kein linearer Zusammenhang“, nicht „kein Zusammenhang“.
Zur Musterlösung: Alle Ergebnisse stimmen. In der Zeile für
E ( Y ) E(Y) E ( Y ) steht ein
Tippfehler: „(−91²“, also eine 9 statt der schließenden Klammer. Gemeint ist
( − 1 ) 2 (-1)^2 ( − 1 ) 2 . Richtig
heißt die Zeile
E ( Y ) = 1 3 ⋅ ( − 1 ) 2 + 1 3 ⋅ 0 2 + 1 3 ⋅ 1 2 = 2 3 E(Y) = \tfrac13 \cdot (-1)^2 + \tfrac13 \cdot 0^2 + \tfrac13 \cdot 1^2 =
\tfrac23 E ( Y ) = 3 1 ⋅ ( − 1 ) 2 + 3 1 ⋅ 0 2 + 3 1 ⋅ 1 2 = 3 2 (Schritt 4). Das Ergebnis
2 3 \tfrac23 3 2 steht dort richtig.
P ( X = − 1 ) = P ( X = 0 ) = P ( X = 1 ) = 1 3 P(X = -1) = P(X = 0) = P(X = 1) = \tfrac13 P ( X = − 1 ) = P ( X = 0 ) = P ( X = 1 ) = 3 1 ;
P ( Y = 0 ) = 1 3 P(Y = 0) = \tfrac13 P ( Y = 0 ) = 3 1 ,
P ( Y = 1 ) = 2 3 P(Y = 1) =
\tfrac23 P ( Y = 1 ) = 3 2
Zuerst bekommen die Werte Namen: x 1 = − 1 x_1 = -1 x 1 = − 1 x 2 = 0 x_2 = 0 x 2 = 0 x 3 = 1 x_3 = 1 x 3 = 1 i i i x i x_i x i P ( X = x i ) P(X = x_i) P ( X = x i ) X X X x i x_i x i 1 3 \tfrac13 3 1 1 1 1
Dann wird jeder Wert quadriert, also mit sich selbst malgenommen. So entsteht der
zugehörige Wert von Y Y Y
( − 1 ) 2 = ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) = 1 (-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1 ( − 1 ) 2 = ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) = 1 0 2 = 0 0^2 = 0 0 2 = 0 1 2 = 1 1^2 = 1 1 2 = 1
Y Y Y zwei mögliche Werte: 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Y Y Y X = − 1 X = -1 X = − 1 X = 1 X = 1 X = 1 P ( Y = 1 ) = 1 3 + 1 3 = 2 3 P(Y = 1) = \tfrac13 + \tfrac13 =
\tfrac23 P ( Y = 1 ) = 3 1 + 3 1 = 3 2 0 0 0 Y Y Y X = 0 X = 0 X = 0 P ( Y = 0 ) = 1 3 P(Y = 0) = \tfrac13 P ( Y = 0 ) = 3 1
Im Bild ist jedes mögliche Paar ein Punkt: ( − 1 ∣ 1 ) (-1 \mid 1) ( − 1 ∣ 1 ) X = − 1 X = -1 X = − 1 Y = 1 Y = 1 Y = 1 y = x 2 y = x^2 y = x 2 1 3 \tfrac13 3 1
Aus Blatt 3, Aufgabe 1 („Von den Einzelwahrscheinlichkeiten zur
Verteilungsfunktion“):
Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine Zahl zu. Die
Wahrscheinlichkeiten aller ihrer Werte ergeben zusammen 1.
Daten:
x ˉ = 1 n ∑ x i \bar x = \frac1n \sum x_i x ˉ = n 1 ∑ x i ↔ Zufallsvariable:
E ( X ) = ∑ P ( X = x i ) ⋅ x i E(X) = \sum P(X = x_i)
\cdot x_i E ( X ) = ∑ P ( X = x i ) ⋅ x i
In Aufgabe 1 lagen Daten vor: n n n ( x i , y i ) (x_i,\ y_i) ( x i , y i ) s X Y s_{XY} s X Y ρ ^ \hat\rho ρ ^ Schätzungen . Mit anderen Daten kämen andere Zahlen heraus.
Hier gibt es keine Daten. X X X Zufallsvariable , von der alles bekannt ist:
alle möglichen Werte und ihre genauen Wahrscheinlichkeiten. Man rechnet deshalb nicht mit
Mittelwerten von Beobachtungen, sondern mit Erwartungswerten . Das Ergebnis ist eine
feste Zahl, der wahre Wert.
Der Unterschied steckt in den Gewichten (Tabelle rechts):
Beim Stichprobenmittelwert x ˉ \bar x x ˉ 1 n \frac1n n 1
Beim Erwartungswert E ( X ) E(X) E ( X ) P ( X = x i ) P(X = x_i) P ( X = x i )
Das Zeichen ∑ \sum ∑ i i i
Dasselbe gilt für die anderen Kennzahlen: Zur Stichprobenkovarianz s X Y s_{XY} s X Y c o v ( X , Y ) \mathrm{cov}(X, Y) cov ( X , Y ) ρ ^ \hat\rho ρ ^ ρ \rho ρ
Zusammenhang: Würde man den Zufallsversuch sehr oft wiederholen und die Ergebnisse
als Daten sammeln, lägen die Stichprobenwerte nahe an den Erwartungswerten. Die
Stichprobengrößen schätzen die Größen dieser Aufgabe.
Aus Aufgabe 1 dieses Blatts („Kovarianz und Korrelation: Werbung und Umsatz“): Aus
n n n Datenpaaren berechnet man
s X Y = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) s_{XY} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)(y_i -
\bar y) s X Y = n − 1 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) und
ρ ^ = s X Y s X s Y \hat\rho = \frac{s_{XY}}{s_X\,s_Y} ρ ^ = s X s Y s X Y . Beides sind Schätzer aus Daten.
Aus Blatt 5, Aufgabe 3 („Stichprobenvarianz: die Länge der Fische“): Der
Stichprobenmittelwert ist
x ˉ = 1 n ∑ i = 1 n x i \bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i x ˉ = n 1 ∑ i = 1 n x i : alle Werte addieren
und durch ihre Anzahl teilen. Er schätzt den unbekannten Erwartungswert.
E ( X ) = 1 3 ⋅ ( − 1 ) + 1 3 ⋅ 0 + 1 3 ⋅ 1 = 0 E(X) = \tfrac13 \cdot (-1) + \tfrac13 \cdot 0 + \tfrac13 \cdot 1 = 0 E ( X ) = 3 1 ⋅ ( − 1 ) + 3 1 ⋅ 0 + 3 1 ⋅ 1 = 0
Der Erwartungswert E ( X ) E(X) E ( X ) X X X
E ( X ) = ∑ i = 1 3 P ( X = x i ) ⋅ x i E(X) = \sum_{i=1}^{3} P(X = x_i) \cdot x_i E ( X ) = ∑ i = 1 3 P ( X = x i ) ⋅ x i
Das Summenzeichen aus Schritt 2 hat hier die Grenzen i = 1 i = 1 i = 1 3 3 3 i = 1 i = 1 i = 1 2 2 2 3 3 3
Mit den Zahlen aus Schritt 1:
1 3 ⋅ ( − 1 ) + 1 3 ⋅ 0 + 1 3 ⋅ 1 = − 1 3 + 0 + 1 3 = 0 \tfrac13 \cdot (-1) + \tfrac13 \cdot 0 + \tfrac13 \cdot 1 = -\tfrac13 + 0 + \tfrac13 =
\mathbf{0} 3 1 ⋅ ( − 1 ) + 3 1 ⋅ 0 + 3 1 ⋅ 1 = − 3 1 + 0 + 3 1 = 0
Anschaulich: Bei 300 Wiederholungen kommt jeder Wert etwa 100-mal vor. Alle Werte
zusammen ergeben 100 ⋅ ( − 1 ) + 100 ⋅ 0 + 100 ⋅ 1 = 0 100 \cdot (-1) + 100 \cdot 0 + 100 \cdot 1 = 0 100 ⋅ ( − 1 ) + 100 ⋅ 0 + 100 ⋅ 1 = 0 − 1 -1 − 1 + 1 +1 + 1
Im Bild ist E ( X ) = 0 E(X) = 0 E ( X ) = 0
Aus Blatt 4, Aufgabe 4 („Erwartungswert und Varianz: die Rechenregeln“): Der
Erwartungswert ist ein gewichteter Mittelwert: jeder Wert mal seine Wahrscheinlichkeit,
alles addiert. Er ist der Schwerpunkt der Verteilung.
E ( Y ) = E ( X 2 ) = 1 3 ⋅ ( − 1 ) 2 + 1 3 ⋅ 0 2 + 1 3 ⋅ 1 2 = 2 3 E(Y) = E(X^2) = \tfrac13 \cdot (-1)^2 + \tfrac13 \cdot 0^2 + \tfrac13 \cdot 1^2 =
\tfrac23 E ( Y ) = E ( X 2 ) = 3 1 ⋅ ( − 1 ) 2 + 3 1 ⋅ 0 2 + 3 1 ⋅ 1 2 = 3 2
Y = X 2 Y = X^2 Y = X 2 X X X X X X X X X
E ( g ( X ) ) = ∑ i = 1 3 P ( X = x i ) ⋅ g ( x i ) E\big(g(X)\big) = \sum_{i=1}^{3} P(X = x_i) \cdot g(x_i) E ( g ( X ) ) = ∑ i = 1 3 P ( X = x i ) ⋅ g ( x i )
g g g g ( x ) = x 2 g(x) = x^2 g ( x ) = x 2 Y Y Y g ( x i ) g(x_i) g ( x i ) X X X x i x_i x i
Eingesetzt:
E ( Y ) = 1 3 ⋅ ( − 1 ) 2 + 1 3 ⋅ 0 2 + 1 3 ⋅ 1 2 = 1 3 ⋅ 1 + 1 3 ⋅ 0 + 1 3 ⋅ 1 = 1 3 + 0 + 1 3 = 2 3 ≈ 0,6667 E(Y) = \tfrac13 \cdot (-1)^2 + \tfrac13 \cdot 0^2 + \tfrac13 \cdot 1^2 = \tfrac13 \cdot 1
+ \tfrac13 \cdot 0 + \tfrac13 \cdot 1 = \tfrac13 + 0 + \tfrac13 = \mathbf{\tfrac23}
\approx 0{,}6667 E ( Y ) = 3 1 ⋅ ( − 1 ) 2 + 3 1 ⋅ 0 2 + 3 1 ⋅ 1 2 = 3 1 ⋅ 1 + 3 1 ⋅ 0 + 3 1 ⋅ 1 = 3 1 + 0 + 3 1 = 3 2 ≈ 0 , 6667
Probe mit der Verteilung von Y Y Y Y Y Y 0 0 0 1 3 \tfrac13 3 1 1 1 1 2 3 \tfrac23 3 2 E ( Y ) = 1 3 ⋅ 0 + 2 3 ⋅ 1 = 2 3 E(Y) = \tfrac13 \cdot 0 + \tfrac23 \cdot 1 = \tfrac23 E ( Y ) = 3 1 ⋅ 0 + 3 2 ⋅ 1 = 3 2
2 3 \tfrac23 3 2 Y Y Y E ( Y ) = 2 3 E(Y) = \tfrac23 E ( Y ) = 3 2
Achtung: E ( X 2 ) E(X^2) E ( X 2 ) ist nicht dasselbe wie
E ( X ) 2 E(X)^2 E ( X ) 2 .
E ( X 2 ) = 2 3 E(X^2) = \tfrac23 E ( X 2 ) = 3 2 : erst
quadrieren, dann mitteln.
E ( X ) 2 = 0 2 = 0 E(X)^2 = 0^2 = 0 E ( X ) 2 = 0 2 = 0 : erst mitteln, dann quadrieren.
Zur Musterlösung: In dieser Zeile steht dort „(−91²“, eine 9 statt der schließenden
Klammer. Gemeint ist ( − 1 ) 2 = 1 (-1)^2 = 1 ( − 1 ) 2 = 1 2 3 \tfrac23 3 2
Aus Blatt 4, Aufgabe 4 („Erwartungswert und Varianz: die Rechenregeln“): Eine
Rechnung mit einer Zufallsvariablen ergibt eine neue Zufallsvariable, etwa
X 2 X^2 X 2 : den Wert
von
X X X nehmen und quadrieren. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben dieselben. Quadriert
werden die Werte, nicht die Wahrscheinlichkeiten.
E ( X Y ) = E ( X 3 ) = 1 3 ⋅ ( − 1 ) + 1 3 ⋅ 0 + 1 3 ⋅ 1 = 0 E(XY) = E(X^3) = \tfrac13 \cdot (-1) + \tfrac13 \cdot 0 + \tfrac13 \cdot 1 = 0 E ( X Y ) = E ( X 3 ) = 3 1 ⋅ ( − 1 ) + 3 1 ⋅ 0 + 3 1 ⋅ 1 = 0
Für die Kovarianz im nächsten Schritt braucht man noch den Erwartungswert des Produkts X ⋅ Y X
\cdot Y X ⋅ Y X Y XY X Y
Da Y = X 2 Y = X^2 Y = X 2 X Y = X ⋅ X 2 = X 3 XY = X \cdot X^2 = X^3 X Y = X ⋅ X 2 = X 3 x 1 ⋅ x 2 = x 1 + 2 = x 3 x^1 \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3 x 1 ⋅ x 2 = x 1 + 2 = x 3
X Y XY X Y X X X g ( x ) = x 3 g(x) = x^3 g ( x ) = x 3
( − 1 ) 3 = ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) = − 1 (-1)^3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1 ( − 1 ) 3 = ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) = − 1 0 3 = 0 0^3 = 0 0 3 = 0 1 3 = 1 1^3 = 1 1 3 = 1
E ( X Y ) = 1 3 ⋅ ( − 1 ) + 1 3 ⋅ 0 + 1 3 ⋅ 1 = − 1 3 + 0 + 1 3 = 0 E(XY) = \tfrac13 \cdot (-1) + \tfrac13 \cdot 0 + \tfrac13 \cdot 1 = -\tfrac13 + 0 +
\tfrac13 = \mathbf{0} E ( X Y ) = 3 1 ⋅ ( − 1 ) + 3 1 ⋅ 0 + 3 1 ⋅ 1 = − 3 1 + 0 + 3 1 = 0
Das ist dieselbe Rechnung wie in Schritt 3: X 3 X^3 X 3 X X X
Unten im Bild stehen die Werte von X Y XY X Y ( − 1 ) ⋅ 1 = − 1 (-1) \cdot 1 = -1 ( − 1 ) ⋅ 1 = − 1 0 ⋅ 0 = 0 0 \cdot 0 = 0 0 ⋅ 0 = 0 1 ⋅ 1 = 1 1 \cdot 1 = 1 1 ⋅ 1 = 1
c o v ( X , Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) ⋅ E ( Y ) = 0 − 0 ⋅ 2 3 = 0 \mathrm{cov}(X, Y) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y) = 0 - 0 \cdot \tfrac23 = 0 cov ( X , Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) ⋅ E ( Y ) = 0 − 0 ⋅ 3 2 = 0
Die Kovarianz c o v ( X , Y ) \mathrm{cov}(X, Y) cov ( X , Y ) X X X Y Y Y
Liegt Y Y Y E ( Y ) E(Y) E ( Y ) X X X E ( X ) E(X) E ( X ) positiv .
Liegt Y Y Y E ( Y ) E(Y) E ( Y ) X X X E ( X ) E(X) E ( X ) negativ .
Die Definition aus dem Skript ist der Erwartungswert des Produkts der beiden Abweichungen:
c o v ( X , Y ) = E ( [ X − E ( X ) ] ⋅ [ Y − E ( Y ) ] ) \mathrm{cov}(X, Y) = E\big([X - E(X)] \cdot [Y - E(Y)]\big) cov ( X , Y ) = E ( [ X − E ( X )] ⋅ [ Y − E ( Y )] )
Schneller rechnet man mit der zweiten Form, die das Skript gleich dahinter angibt:
c o v ( X , Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) ⋅ E ( Y ) \mathrm{cov}(X, Y) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y) cov ( X , Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) ⋅ E ( Y )
Alle drei Zahlen sind schon da: E ( X Y ) = 0 E(XY) = 0 E ( X Y ) = 0 E ( X ) = 0 E(X) = 0 E ( X ) = 0 E ( Y ) = 2 3 E(Y) =
\tfrac23 E ( Y ) = 3 2
c o v ( X , Y ) = 0 − 0 ⋅ 2 3 = 0 − 0 = 0 \mathrm{cov}(X, Y) = 0 - 0 \cdot \tfrac23 = 0 - 0 = \mathbf{0} cov ( X , Y ) = 0 − 0 ⋅ 3 2 = 0 − 0 = 0
Das ist die Kovarianz von Zufallsvariablen. In Aufgabe 1 stand an derselben Stelle die
Stichprobenkovarianz s X Y s_{XY} s X Y 1 n − 1 \frac{1}{n-1} n − 1 1
Nur für Interessierte — warum beide Formen gleich sind: Klammern ausmultiplizieren,
[ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] = X Y − E ( Y ) X − E ( X ) Y + E ( X ) E ( Y ) [X - E(X)][Y - E(Y)] = XY - E(Y)\,X - E(X)\,Y + E(X)\,E(Y) [ X − E ( X )] [ Y − E ( Y )] = X Y − E ( Y ) X − E ( X ) Y + E ( X ) E ( Y ) E ( Y ) E(Y) E ( Y ) E ( X Y ) − E ( Y ) E ( X ) − E ( X ) E ( Y ) + E ( X ) E ( Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) E(XY) - E(Y)E(X) - E(X)E(Y) + E(X)E(Y) = E(XY) - E(X)E(Y) E ( X Y ) − E ( Y ) E ( X ) − E ( X ) E ( Y ) + E ( X ) E ( Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y )
Aus Aufgabe 1 dieses Blatts („Kovarianz und Korrelation: Werbung und Umsatz“):
Positive Kovarianz heißt: Große
x x x -Werte gehen mit großen
y y y -Werten einher. Negative
Kovarianz: große
x x x -Werte mit kleinen
y y y -Werten.
Aus Blatt 4, Aufgabe 4 („Erwartungswert und Varianz: die Rechenregeln“): Der
Erwartungswert einer Summe ist die Summe der Erwartungswerte, und
E ( a X + b ) = a ⋅ E ( X ) + b E(aX + b) = a \cdot
E(X) + b E ( a X + b ) = a ⋅ E ( X ) + b für feste Zahlen
a a a ,
b b b .
1 3 ⋅ ( − 1 3 ) + 1 3 ⋅ 0 + 1 3 ⋅ ( + 1 3 ) = 0 \tfrac13 \cdot (-\tfrac13) + \tfrac13 \cdot 0 + \tfrac13 \cdot (+\tfrac13) = 0 3 1 ⋅ ( − 3 1 ) + 3 1 ⋅ 0 + 3 1 ⋅ ( + 3 1 ) = 0 ✓
Jetzt dieselbe Kovarianz über die Definition. Das zeigt, warum sie 0 ist.
Der Punkt ( E ( X ) ∣ E ( Y ) ) = ( 0 ∣ 2 3 ) (E(X) \mid E(Y)) = (0 \mid \tfrac23) ( E ( X ) ∣ E ( Y )) = ( 0 ∣ 3 2 ) Schwerpunkt . Im Bild ist er
die Raute. Jeder der drei Punkte spannt mit ihm ein Rechteck auf. Die Seitenlängen sind
die Abweichungen x i − E ( X ) x_i - E(X) x i − E ( X ) y i − E ( Y ) y_i - E(Y) y i − E ( Y )
( − 1 ∣ 1 ) (-1 \mid 1) ( − 1 ∣ 1 ) links oben vom Schwerpunkt: ( − 1 ) ⋅ ( + 1 3 ) = − 1 3 (-1) \cdot (+\tfrac13) =
-\tfrac13 ( − 1 ) ⋅ ( + 3 1 ) = − 3 1
( 1 ∣ 1 ) (1 \mid 1) ( 1 ∣ 1 ) rechts oben : ( + 1 ) ⋅ ( + 1 3 ) = + 1 3 (+1) \cdot (+\tfrac13) = +\tfrac13 ( + 1 ) ⋅ ( + 3 1 ) = + 3 1
( 0 ∣ 0 ) (0 \mid 0) ( 0 ∣ 0 ) genau unter dem Schwerpunkt. Das Rechteck hat die Breite 0: 0 ⋅ ( − 2 3 ) = 0 0
\cdot (-\tfrac23) = 0 0 ⋅ ( − 3 2 ) = 0
Die Regel dahinter: Rechts oben und links unten ergibt Plus, links oben und rechts unten
Minus.
Die Kovarianz ist der Erwartungswert dieser Produkte. Jedes Produkt wird also mit seiner
Wahrscheinlichkeit 1 3 \tfrac13 3 1
1 3 ⋅ ( − 1 3 ) + 1 3 ⋅ 0 + 1 3 ⋅ 1 3 = − 1 9 + 0 + 1 9 = 0 \tfrac13 \cdot (-\tfrac13) + \tfrac13 \cdot 0 + \tfrac13 \cdot \tfrac13 = -\tfrac19 + 0 +
\tfrac19 = 0 3 1 ⋅ ( − 3 1 ) + 3 1 ⋅ 0 + 3 1 ⋅ 3 1 = − 9 1 + 0 + 9 1 = 0
Dasselbe Ergebnis wie in Schritt 6. Das Minus-Rechteck links und das Plus-Rechteck rechts
sind gleich groß und gleich wahrscheinlich. Sie heben sich auf.
Aus Aufgabe 1 dieses Blatts („Kovarianz und Korrelation: Werbung und Umsatz“):
Jedes Datenpaar spannt mit dem Schwerpunkt
( x ˉ ∣ y ˉ ) (\bar x \mid \bar y) ( x ˉ ∣ y ˉ ) ein Rechteck auf. Die
Summe der Flächen mit Vorzeichen, geteilt durch
n − 1 n - 1 n − 1 , ist die Stichprobenkovarianz.
Hier wird statt durch
n − 1 n - 1 n − 1 zu teilen mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtet.
v a r ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 = 2 3 − 0 2 = 2 3 \mathrm{var}(X) = E(X^2) - E(X)^2 = \tfrac23 - 0^2 = \tfrac23 var ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 = 3 2 − 0 2 = 3 2 Für die Korrelation braucht man noch die Streuung von X X X Y Y Y X X X
Die Varianz v a r ( X ) \mathrm{var}(X) var ( X ) Verschiebungssatz :
v a r ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 \mathrm{var}(X) = E(X^2) - E(X)^2 var ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2
E ( X 2 ) E(X^2) E ( X 2 ) E ( Y ) E(Y) E ( Y ) Y = X 2 Y = X^2 Y = X 2 E ( X 2 ) = 2 3 E(X^2) = \tfrac23 E ( X 2 ) = 3 2 E ( X ) = 0 E(X) = 0 E ( X ) = 0
v a r ( X ) = 2 3 − 0 2 = 2 3 − 0 = 2 3 ≈ 0,6667 \mathrm{var}(X) = \tfrac23 - 0^2 = \tfrac23 - 0 = \mathbf{\tfrac23} \approx 0{,}6667 var ( X ) = 3 2 − 0 2 = 3 2 − 0 = 3 2 ≈ 0 , 6667
Probe nach Definition: Die Abweichungen von E ( X ) = 0 E(X) = 0 E ( X ) = 0 − 1 -1 − 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 3 \tfrac13 3 1 1 3 + 0 + 1 3 = 2 3 \tfrac13 + 0 + \tfrac13 =
\tfrac23 3 1 + 0 + 3 1 = 3 2
Aus Blatt 4, Aufgabe 4 („Erwartungswert und Varianz: die Rechenregeln“): Die
Varianz ist
v a r ( X ) = E ( ( X − E ( X ) ) 2 ) \mathrm{var}(X) = E\big((X - E(X))^2\big) var ( X ) = E ( ( X − E ( X ) ) 2 ) , die mittlere quadratische
Abweichung. Der Verschiebungssatz
v a r ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 \mathrm{var}(X) = E(X^2) - E(X)^2 var ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 liefert dasselbe,
oft schneller. Die Wurzel aus der Varianz heißt Standardabweichung.
v a r ( Y ) = 2 3 − ( 2 3 ) 2 = 6 9 − 4 9 = 2 9 \mathrm{var}(Y) = \tfrac23 - \big(\tfrac23\big)^2 = \tfrac69 - \tfrac49 = \tfrac29 var ( Y ) = 3 2 − ( 3 2 ) 2 = 9 6 − 9 4 = 9 2 Jetzt dasselbe für Y Y Y v a r ( Y ) = E ( Y 2 ) − E ( Y ) 2 \mathrm{var}(Y) = E(Y^2) - E(Y)^2 var ( Y ) = E ( Y 2 ) − E ( Y ) 2
Y 2 = ( X 2 ) 2 = X 4 Y^2 = (X^2)^2 = X^4 Y 2 = ( X 2 ) 2 = X 4 ( − 1 ) 4 = 1 (-1)^4 = 1 ( − 1 ) 4 = 1 0 4 = 0 0^4 = 0 0 4 = 0 1 4 = 1 1^4 = 1 1 4 = 1
E ( Y 2 ) = 1 3 ⋅ 1 + 1 3 ⋅ 0 + 1 3 ⋅ 1 = 2 3 E(Y^2) = \tfrac13 \cdot 1 + \tfrac13 \cdot 0 + \tfrac13 \cdot 1 = \tfrac23 E ( Y 2 ) = 3 1 ⋅ 1 + 3 1 ⋅ 0 + 3 1 ⋅ 1 = 3 2
Das passt: Y Y Y 0 0 0 1 1 1 0 2 = 0 0^2 = 0 0 2 = 0 1 2 = 1 1^2 = 1 1 2 = 1 Y 2 = Y Y^2 = Y Y 2 = Y E ( Y 2 ) = E ( Y ) = 2 3 E(Y^2) = E(Y) = \tfrac23 E ( Y 2 ) = E ( Y ) = 3 2
Eingesetzt, mit E ( Y ) = 2 3 E(Y) = \tfrac23 E ( Y ) = 3 2
v a r ( Y ) = 2 3 − ( 2 3 ) 2 = 2 3 − 4 9 \mathrm{var}(Y) = \tfrac23 - \big(\tfrac23\big)^2 = \tfrac23 - \tfrac49 var ( Y ) = 3 2 − ( 3 2 ) 2 = 3 2 − 9 4
Zum Abziehen brauchen beide Brüche denselben Nenner. 2 3 \tfrac23 3 2 2 3 = 2 ⋅ 3 3 ⋅ 3 = 6 9 \tfrac23 = \tfrac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \tfrac69 3 2 = 3 ⋅ 3 2 ⋅ 3 = 9 6
v a r ( Y ) = 6 9 − 4 9 = 2 9 ≈ 0,2222 \mathrm{var}(Y) = \tfrac69 - \tfrac49 = \mathbf{\tfrac29} \approx 0{,}2222 var ( Y ) = 9 6 − 9 4 = 9 2 ≈ 0 , 2222
Probe nach Definition: Y = 0 Y = 0 Y = 0 0 − 2 3 = − 2 3 0 - \tfrac23 = -\tfrac23 0 − 3 2 = − 3 2 Y = 1 Y = 1 Y = 1 1 − 2 3 = 1 3 1 - \tfrac23 = \tfrac13 1 − 3 2 = 3 1 P ( Y = 0 ) = 1 3 P(Y = 0) = \tfrac13 P ( Y = 0 ) = 3 1 P ( Y = 1 ) = 2 3 P(Y = 1) =
\tfrac23 P ( Y = 1 ) = 3 2 4 9 ⋅ 1 3 + 1 9 ⋅ 2 3 = 4 27 + 2 27 = 6 27 = 2 9 \tfrac49 \cdot \tfrac13 + \tfrac19 \cdot \tfrac23 = \tfrac{4}{27} +
\tfrac{2}{27} = \tfrac{6}{27} = \tfrac29 9 4 ⋅ 3 1 + 9 1 ⋅ 3 2 = 27 4 + 27 2 = 27 6 = 9 2
Typischer Fehler: ( 2 3 ) 2 \big(\tfrac23\big)^2 ( 3 2 ) 2 als
4 3 \tfrac43 3 4 rechnen. Quadriert werden
Zähler
und Nenner:
2 2 3 2 = 4 9 \tfrac{2^2}{3^2} = \tfrac49 3 2 2 2 = 9 4 .
ρ = 0 2 / 3 ⋅ 2 / 9 = 0 0,3849 = 0 \rho = \dfrac{0}{\sqrt{2/3} \cdot \sqrt{2/9}} = \dfrac{0}{0{,}3849} = 0 ρ = 2/3 ⋅ 2/9 0 = 0 , 3849 0 = 0
Die Kovarianz hat einen Nachteil: Ihre Größe hängt von den Einheiten ab. Misst man X X X Korrelation ρ \rho ρ
ρ = c o v ( X , Y ) v a r ( X ) ⋅ v a r ( Y ) \rho = \dfrac{\mathrm{cov}(X, Y)}{\sqrt{\mathrm{var}(X)} \cdot \sqrt{\mathrm{var}(Y)}} ρ = var ( X ) ⋅ var ( Y ) cov ( X , Y )
Sie liegt immer zwischen − 1 -1 − 1 1 1 1
Zuerst der Nenner. Durch 0 darf man nicht teilen. ρ \rho ρ v a r ( X ) = 2 3 \mathrm{var}(X) = \tfrac23 var ( X ) = 3 2 v a r ( Y ) = 2 9 \mathrm{var}(Y) = \tfrac29 var ( Y ) = 9 2
2 3 ≈ 0,8165 \sqrt{\tfrac23} \approx 0{,}8165 3 2 ≈ 0 , 8165 2 9 ≈ 0,4714 \sqrt{\tfrac29} \approx 0{,}4714 9 2 ≈ 0 , 4714 2 3 ⋅ 2 9 = 4 27 ≈ 0,3849 \sqrt{\tfrac23 \cdot \tfrac29} = \sqrt{\tfrac{4}{27}}
\approx 0{,}3849 3 2 ⋅ 9 2 = 27 4 ≈ 0 , 3849
Dann der Bruch , mit c o v ( X , Y ) = 0 \mathrm{cov}(X, Y) = 0 cov ( X , Y ) = 0
ρ = 0 0,3849 = 0 \rho = \dfrac{0}{0{,}3849} = \mathbf{0} ρ = 0 , 3849 0 = 0
0 geteilt durch eine Zahl, die nicht 0 ist, ergibt 0. Ist die Kovarianz 0, ist also auch
die Korrelation 0 — sobald der Nenner nicht 0 ist.
In Aufgabe 1 stand an derselben Stelle die Stichprobenkorrelation ρ ^ = s X Y s X s Y \hat\rho =
\frac{s_{XY}}{s_X\,s_Y} ρ ^ = s X s Y s X Y
Aus Aufgabe 1 dieses Blatts („Kovarianz und Korrelation: Werbung und Umsatz“): Die
Korrelation liegt zwischen
− 1 -1 − 1 und
1 1 1 . Nahe
1 1 1 : die Punkte liegen fast auf einer
steigenden Geraden. Nahe
− 1 -1 − 1 : fast auf einer fallenden. Nahe
0 0 0 : kaum linearer
Zusammenhang.
ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0 ⇒
X X X und
Y Y Y sind unkorreliert
Das Skript nennt zwei Zufallsvariablen unkorreliert , wenn ihre Korrelation 0 ist.
Das Zeichen : ⟺ :\Longleftrightarrow :⟺
Hier ist ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0 Ja, X X X Y Y Y
Gleichwertig kann man sagen: c o v ( X , Y ) = 0 \mathrm{cov}(X, Y) = 0 cov ( X , Y ) = 0 ρ \rho ρ
Das wirkt seltsam. Y Y Y X X X Y = X 2 Y = X^2 Y = X 2
links Steigung
− 1 -1 − 1 , rechts Steigung
+ 1 +1 + 1 : im Mittel
0 0 0
Das Skript nennt zwei Größen positiv assoziiert , wenn eine Zunahme von X X X Y Y Y negativ assoziiert , wenn sie mit einer
Abnahme einhergeht. Die Korrelation fragt genau das: In welche Richtung bewegt sich Y Y Y X X X
Im Bild sind die Punkte durch zwei Strecken verbunden:
Links (rot): Von X = − 1 X = -1 X = − 1 X = 0 X = 0 X = 0 X X X Y Y Y Steigung ist die Änderung von y y y x x x 0 − 1 0 − ( − 1 ) = − 1 \frac{0 - 1}{0 - (-1)} = -1 0 − ( − 1 ) 0 − 1 = − 1
Rechts (grün): Von X = 0 X = 0 X = 0 X = 1 X = 1 X = 1 X X X Y Y Y 1 − 0 1 − 0 = + 1 \frac{1 - 0}{1 - 0} = +1 1 − 0 1 − 0 = + 1
Die Punkte links und rechts haben dieselbe Wahrscheinlichkeit 1 3 \tfrac13 3 1 ( − 1 ) + ( + 1 ) 2 = 0 \frac{(-1) + (+1)}{2} = 0 2 ( − 1 ) + ( + 1 ) = 0
Vorsicht: Das Mitteln der beiden Steigungen ist nur ein Bild für diese Aufgabe. Es
klappt, weil die drei x x x
Noch deutlicher: Bei X = − 1 X = -1 X = − 1 X = 1 X = 1 X = 1 Y Y Y X X X Y Y Y Abstand von X X X
Merke: Eine symmetrische Parabel ist links fallend und rechts steigend. Beide Teile
heben sich in der Korrelation auf.
beste Gerade
y = 2 3 + 0 ⋅ x y = \tfrac23 + 0 \cdot x y = 3 2 + 0 ⋅ x : Steigung
β 1 = c o v ( X , Y ) v a r ( X ) = 0 \beta_1 =
\dfrac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\mathrm{var}(X)} = 0 β 1 = var ( X ) cov ( X , Y ) = 0
Zur Anschauung — die Aufgabe verlangt diesen Schritt nicht. Er zeigt, warum ρ = 0 \rho =
0 ρ = 0 Y Y Y X X X
Die Korrelation misst, wie gut sich der Zusammenhang durch eine Gerade beschreiben
lässt. Man spricht von einem linearen Zusammenhang (linear = geradlinig). Welche
Gerade passt am besten zu den drei Punkten?
Eine Gerade hat die Form y = β 0 + β 1 ⋅ x y = \beta_0 + \beta_1 \cdot x y = β 0 + β 1 ⋅ x β 0 \beta_0 β 0 x = 0 x = 0 x = 0 β 1 \beta_1 β 1 Q Q Q
Die Abstände (Punkt minus Gerade an derselben Stelle): 1 − β 0 + β 1 1 - \beta_0 + \beta_1 1 − β 0 + β 1 − β 0 -\beta_0 − β 0 1 − β 0 − β 1 1 - \beta_0 - \beta_1 1 − β 0 − β 1
Die Quadrate addieren. Mit der Abkürzung u = 1 − β 0 u = 1 - \beta_0 u = 1 − β 0 ( u + β 1 ) 2 (u + \beta_1)^2 ( u + β 1 ) 2 ( u − β 1 ) 2 (u - \beta_1)^2 ( u − β 1 ) 2
( u + β 1 ) 2 = u 2 + 2 u β 1 + β 1 2 (u + \beta_1)^2 = u^2 + 2u\beta_1 + \beta_1^2 ( u + β 1 ) 2 = u 2 + 2 u β 1 + β 1 2 ( u − β 1 ) 2 = u 2 − 2 u β 1 + β 1 2 (u - \beta_1)^2 = u^2 - 2u\beta_1 + \beta_1^2 ( u − β 1 ) 2 = u 2 − 2 u β 1 + β 1 2
zusammen 2 u 2 + 2 β 1 2 2u^2 + 2\beta_1^2 2 u 2 + 2 β 1 2 + 2 u β 1 +2u\beta_1 + 2 u β 1 − 2 u β 1 -2u\beta_1 − 2 u β 1
Also ist die Quadratsumme Q = 2 ( 1 − β 0 ) 2 + β 0 2 + 2 β 1 2 Q = 2(1 - \beta_0)^2 + \beta_0^2 + 2\beta_1^2 Q = 2 ( 1 − β 0 ) 2 + β 0 2 + 2 β 1 2
Die Steigung: β 1 \beta_1 β 1 2 β 1 2 2\beta_1^2 2 β 1 2 β 1 = 0 \beta_1 = 0 β 1 = 0 Jede Steigung außer 0 macht die Gerade schlechter.
Die Höhe , Zeile für Zeile (rechts, vierter Kasten):
Ausmultiplizieren: 2 ( 1 − β 0 ) 2 + β 0 2 = 2 − 4 β 0 + 2 β 0 2 + β 0 2 = 3 β 0 2 − 4 β 0 + 2 2(1 - \beta_0)^2 + \beta_0^2 = 2 - 4\beta_0 + 2\beta_0^2 + \beta_0^2
= 3\beta_0^2 - 4\beta_0 + 2 2 ( 1 − β 0 ) 2 + β 0 2 = 2 − 4 β 0 + 2 β 0 2 + β 0 2 = 3 β 0 2 − 4 β 0 + 2
Die 3 aus den ersten beiden Teilen ausklammern: 3 ( β 0 2 − 4 3 β 0 ) + 2 3\big(\beta_0^2 - \tfrac43 \beta_0\big)
+ 2 3 ( β 0 2 − 3 4 β 0 ) + 2
Quadratische Ergänzung: Nach der binomischen Formel ist ( β 0 − 2 3 ) 2 = β 0 2 − 4 3 β 0 + 4 9 \big(\beta_0 - \tfrac23\big)^2
= \beta_0^2 - \tfrac43 \beta_0 + \tfrac49 ( β 0 − 3 2 ) 2 = β 0 2 − 3 4 β 0 + 9 4 β 0 2 − 4 3 β 0 = ( β 0 − 2 3 ) 2 − 4 9 \beta_0^2 - \tfrac43 \beta_0 =
\big(\beta_0 - \tfrac23\big)^2 - \tfrac49 β 0 2 − 3 4 β 0 = ( β 0 − 3 2 ) 2 − 9 4
Einsetzen und die Klammer auflösen: 3 ( β 0 − 2 3 ) 2 − 4 3 + 2 = 3 ( β 0 − 2 3 ) 2 + 2 3 3\big(\beta_0 - \tfrac23\big)^2 - \tfrac43 + 2 =
3\big(\beta_0 - \tfrac23\big)^2 + \tfrac23 3 ( β 0 − 3 2 ) 2 − 3 4 + 2 = 3 ( β 0 − 3 2 ) 2 + 3 2
Das Quadrat ist am kleinsten, nämlich 0, für β 0 = 2 3 \beta_0 = \tfrac23 β 0 = 3 2
Die beste Gerade ist also y = 2 3 y = \tfrac23 y = 3 2 waagerecht , genau auf Höhe E ( Y ) E(Y) E ( Y ) + 1 3 +\tfrac13 + 3 1 − 2 3 -\tfrac23 − 3 2 + 1 3 +\tfrac13 + 3 1 1 9 + 4 9 + 1 9 = 2 3 \tfrac19 + \tfrac49 + \tfrac19 = \tfrac23 9 1 + 9 4 + 9 1 = 3 2
Dasselbe liefert die Formel für die Steigung aus Aufgabe 3, übertragen auf
Zufallsvariablen: β 1 = c o v ( X , Y ) v a r ( X ) = 0 2 / 3 = 0 \beta_1 = \frac{\mathrm{cov}(X, Y)}{\mathrm{var}(X)} = \frac{0}{2/3} =
0 β 1 = var ( X ) cov ( X , Y ) = 2/3 0 = 0
Was das heißt: Eine waagerechte Gerade sagt: „Mit größerem X X X Y Y Y ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0 y = x 2 y = x^2 y = x 2 gekrümmt ,
keine Gerade. Deshalb sieht die Korrelation ihn nicht.
Merke: ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0 heißt „kein
linearer Zusammenhang“. Es heißt nicht „kein
Zusammenhang“. Darum gilt auch die Regel aus dem Skript: Punktwolke immer ansehen, nie nur
die Korrelation.
Aus Aufgabe 3 dieses Blatts („Lineare Regression: Sauerstoff in warmem Wasser“):
Die beste Gerade
y = β 0 + β 1 x y = \beta_0 + \beta_1 x y = β 0 + β 1 x macht die Summe der quadrierten senkrechten
Abstände so klein wie möglich (Methode der kleinsten Quadrate). Aus Daten ist ihre
Steigung
β ^ 1 = s X Y s X 2 \hat\beta_1 = \frac{s_{XY}}{s_X^2} β ^ 1 = s X 2 s X Y . Hier stehen an deren Stelle
c o v ( X , Y ) \mathrm{cov}(X, Y) cov ( X , Y ) und
v a r ( X ) \mathrm{var}(X) var ( X ) .
P ( X = a , Y = b ) = P ( X = a ) ⋅ P ( Y = b ) P(X = a,\ Y = b) = P(X = a) \cdot P(Y = b) P ( X = a , Y = b ) = P ( X = a ) ⋅ P ( Y = b ) für
alle Paare
( a , b ) (a, b) ( a , b )
Jetzt die zweite Frage von (ii): Sind X X X Y Y Y unabhängig ? Anschaulich heißt
unabhängig: Der Wert von X X X Y Y Y
Genau: X X X Y Y Y jedes Paar von Werten a a a X X X b b b Y Y Y Produktregel gilt:
P ( X = a , Y = b ) = P ( X = a ) ⋅ P ( Y = b ) P(X = a,\ Y = b) = P(X = a) \cdot P(Y = b) P ( X = a , Y = b ) = P ( X = a ) ⋅ P ( Y = b )
Das Komma links heißt „und“: P ( X = a , Y = b ) P(X = a,\ Y = b) P ( X = a , Y = b ) X = a X = a X = a und zugleich Y = b Y = b Y = b
Hier hat X X X a = − 1 , 0 , 1 a = -1, 0, 1 a = − 1 , 0 , 1 Y Y Y b = 0 , 1 b = 0, 1 b = 0 , 1 ∈ \in ∈ 3 ⋅ 2 = 6 3 \cdot 2 = 6 3 ⋅ 2 = 6
Wichtig für den Nachweis:
Wer Unabhängigkeit zeigen will, muss alle 6 Paare prüfen.
Wer Abhängigkeit zeigen will, braucht nur ein Paar, bei dem die Gleichung
nicht stimmt. Ein einziges Gegenbeispiel widerlegt ein „für alle“.
Das Skript schreibt die Definition für stetige Zufallsvariablen mit „≤ \le ≤ P ( X ≤ a , Y ≤ b ) = P ( X ≤ a ) ⋅ P ( Y ≤ b ) P(X \le a,\
Y \le b) = P(X \le a) \cdot P(Y \le b) P ( X ≤ a , Y ≤ b ) = P ( X ≤ a ) ⋅ P ( Y ≤ b ) a a a b b b = = =
Aus Blatt 2, Aufgabe 2 („Stochastische Unabhängigkeit“): Zwei Ereignisse
A A A und
B B B heißen unabhängig, wenn
P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) . Stimmt die Gleichung nicht,
sind sie abhängig.
Aus Blatt 4, Aufgabe 4 („Erwartungswert und Varianz: die Rechenregeln“): Bei
Zufallsvariablen muss die Produktregel für jedes Paar von Werten gelten: Das Ereignis „
X = a X
= a X = a “ ist unabhängig vom Ereignis „
Y = b Y = b Y = b “.
je Zeile genau eine Zelle
1 3 \tfrac13 3 1 , die andere
0 0 0
Für die Produktregel braucht man zuerst die linke Seite: die Wahrscheinlichkeit jedes
Paares. Alle sechs zusammen heißen gemeinsame Verteilung von X X X Y Y Y X X X Y Y Y
Weil Y = X 2 Y = X^2 Y = X 2 X X X Y Y Y
X = − 1 X = -1 X = − 1 Y = 1 Y = 1 Y = 1 P ( X = − 1 , Y = 1 ) = P ( X = − 1 ) = 1 3 P(X = -1,\ Y = 1) = P(X = -1) = \tfrac13 P ( X = − 1 , Y = 1 ) = P ( X = − 1 ) = 3 1 X = − 1 X = -1 X = − 1 Y = 0 Y = 0 Y = 0 0 0 0
X = 0 X = 0 X = 0 Y = 0 Y = 0 Y = 0 P ( X = 0 , Y = 0 ) = 1 3 P(X = 0,\ Y = 0) = \tfrac13 P ( X = 0 , Y = 0 ) = 3 1 P ( X = 0 , Y = 1 ) = 0 P(X = 0,\ Y =
1) = 0 P ( X = 0 , Y = 1 ) = 0
X = 1 X = 1 X = 1 Y = 1 Y = 1 Y = 1 P ( X = 1 , Y = 1 ) = 1 3 P(X = 1,\ Y = 1) = \tfrac13 P ( X = 1 , Y = 1 ) = 3 1 P ( X = 1 , Y = 0 ) = 0 P(X = 1,\ Y =
0) = 0 P ( X = 1 , Y = 0 ) = 0
In jeder Zeile steht also einmal 1 3 \tfrac13 3 1 0 0 0 ( − 1 ∣ 1 ) (-1 \mid 1) ( − 1 ∣ 1 ) ( 0 ∣ 0 ) (0 \mid 0) ( 0 ∣ 0 ) ( 1 ∣ 1 ) (1 \mid 1) ( 1 ∣ 1 )
Probe: Alle sechs Zellen zusammen ergeben 3 ⋅ 1 3 + 3 ⋅ 0 = 1 3 \cdot \tfrac13 + 3 \cdot 0 = 1 3 ⋅ 3 1 + 3 ⋅ 0 = 1
P ( X = a ) = 1 3 P(X = a) = \tfrac13 P ( X = a ) = 3 1 je Zeile;
P ( Y = 0 ) = 1 3 P(Y = 0) = \tfrac13 P ( Y = 0 ) = 3 1 ,
P ( Y = 1 ) = 2 3 P(Y = 1) = \tfrac23 P ( Y = 1 ) = 3 2
Jetzt die rechte Seite der Produktregel: P ( X = a ) P(X = a) P ( X = a ) P ( Y = b ) P(Y = b) P ( Y = b )
Zeilensummen. „X = − 1 X = -1 X = − 1 X = − 1 X = -1 X = − 1 Y = 0 Y = 0 Y = 0 X = − 1 X
= -1 X = − 1 Y = 1 Y = 1 Y = 1 P ( X = − 1 ) = 0 + 1 3 = 1 3 P(X = -1) = 0 + \tfrac13 = \tfrac13 P ( X = − 1 ) = 0 + 3 1 = 3 1 X = 0 X = 0 X = 0 X = 1 X
= 1 X = 1
Spaltensummen. Genauso ergibt die Spalte die Wahrscheinlichkeit für Y Y Y P ( Y = 0 ) = 0 + 1 3 + 0 = 1 3 P(Y = 0)
= 0 + \tfrac13 + 0 = \tfrac13 P ( Y = 0 ) = 0 + 3 1 + 0 = 3 1 P ( Y = 1 ) = 1 3 + 0 + 1 3 = 2 3 P(Y = 1) = \tfrac13 + 0 + \tfrac13 = \tfrac23 P ( Y = 1 ) = 3 1 + 0 + 3 1 = 3 2
Weil diese Summen am Rand der Tabelle stehen, heißen sie Randverteilungen .
Sie sind nichts Neues: dieselben Verteilungen von X X X Y Y Y
P ( X = 0 , Y = 0 ) = 1 3 ≠ 1 9 = P ( X = 0 ) ⋅ P ( Y = 0 ) P(X = 0,\ Y = 0) = \tfrac13 \ne \tfrac19 = P(X = 0) \cdot P(Y = 0) P ( X = 0 , Y = 0 ) = 3 1 = 9 1 = P ( X = 0 ) ⋅ P ( Y = 0 )
Jetzt wird für ein Paar geprüft, ob die Produktregel stimmt. Nach Schritt 14 reicht ein
einziges Paar, bei dem sie nicht stimmt. Gewählt wird X = 0 X = 0 X = 0 Y = 0 Y = 0 Y = 0
Links: P ( X = 0 , Y = 0 ) P(X = 0,\ Y = 0) P ( X = 0 , Y = 0 ) X = 0 X = 0 X = 0 Y = 0 Y = 0 Y = 0 P ( X = 0 ) = 1 3 P(X = 0) = \tfrac13 P ( X = 0 ) = 3 1
Rechts: P ( X = 0 ) ⋅ P ( Y = 0 ) = 1 3 ⋅ 1 3 P(X = 0) \cdot P(Y = 0) = \tfrac13 \cdot \tfrac13 P ( X = 0 ) ⋅ P ( Y = 0 ) = 3 1 ⋅ 3 1 1 ⋅ 1 3 ⋅ 3 = 1 9 \tfrac{1
\cdot 1}{3 \cdot 3} = \tfrac19 3 ⋅ 3 1 ⋅ 1 = 9 1
Vergleich: Auf den Nenner 9 gebracht ist 1 3 = 3 9 \tfrac13 = \tfrac39 3 1 = 9 3 3 9 ≠ 1 9 \tfrac39 \ne
\tfrac19 9 3 = 9 1
Die Produktregel ist verletzt. Die Antwort auf die zweite Frage von (ii) lautet also:
Nein, X X X Y Y Y
Merke: X X X und
Y Y Y sind
unkorreliert (Schritt 11), aber
abhängig . Das
ist der Kern dieser Aufgabe.
P ( Y = 0 ∣ X = 0 ) = 1 P(Y = 0 \mid X = 0) = 1 P ( Y = 0 ∣ X = 0 ) = 1 , aber
P ( Y = 0 ) = 1 3 P(Y = 0) = \tfrac13 P ( Y = 0 ) = 3 1
Was bedeutet die verletzte Produktregel? Ohne jedes Wissen ist Y = 0 Y = 0 Y = 0 1 3 \tfrac13 3 1 X = 0 X = 0 X = 0 Y = 0 2 = 0 Y = 0^2 =
0 Y = 0 2 = 0 sicher . Das Wissen über X X X Y Y Y 1 3 \tfrac13 3 1 1 1 1
In Formeln ist das eine bedingte Wahrscheinlichkeit : die Wahrscheinlichkeit von „Y = 0 Y
= 0 Y = 0 X = 0 X = 0 X = 0 P ( Y = 0 ∣ X = 0 ) P(Y = 0 \mid X =
0) P ( Y = 0 ∣ X = 0 ) 1 / 3 1 / 3 = 1 \frac{1/3}{1/3} = 1 1/3 1/3 = 1
Bei Unabhängigkeit dürfte das Wissen über X X X X X X Y Y Y
Ein zweites Paar zeigt dasselbe: X = 1 X = 1 X = 1 Y = 0 Y = 0 Y = 0 P ( X = 1 , Y = 0 ) = 0 P(X = 1,\ Y
= 0) = 0 P ( X = 1 , Y = 0 ) = 0 P ( X = 1 ) ⋅ P ( Y = 0 ) = 1 3 ⋅ 1 3 = 1 9 P(X = 1) \cdot P(Y = 0) = \tfrac13 \cdot \tfrac13 =
\tfrac19 P ( X = 1 ) ⋅ P ( Y = 0 ) = 3 1 ⋅ 3 1 = 9 1 0 ≠ 1 9 0 \ne \tfrac19 0 = 9 1
Vergleicht man die beiden Tabellen Zelle für Zelle, stimmt keine einzige überein:
oben steht 0 0 0 1 3 \tfrac13 3 1 1 9 \tfrac19 9 1 2 9 \tfrac29 9 2
Die kurze Begründung der Musterlösung: Y Y Y X X X Y Y Y X X X Y Y Y Y Y Y
Aus Blatt 2, Aufgabe 3 („Bedingte Wahrscheinlichkeit“): P ( A ∣ B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) P(A \mid B) = \frac{P(A
\cap B)}{P(B)} P ( A ∣ B ) = P ( B ) P ( A ∩ B ) ist die Wahrscheinlichkeit von
A A A , wenn man weiß, dass
B B B eingetreten
ist. Bei unabhängigen Ereignissen ist
P ( A ∣ B ) = P ( A ) P(A \mid B) = P(A) P ( A ∣ B ) = P ( A ) .
unabhängig ⇒
E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) E(XY) = E(X)\,E(Y) E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) ⇒
c o v ( X , Y ) = 0 \mathrm{cov}(X, Y) = 0 cov ( X , Y ) = 0 ⇒
ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0
Teil (iii) fragt nach dem Verhältnis der beiden Begriffe. Die erste Richtung: Folgt aus
„unabhängig“ immer „unkorreliert“? Ja. Das Zeichen ⇒ \Rightarrow ⇒
Sind X X X Y Y Y E ( X Y ) = E ( X ) ⋅ E ( Y ) E(XY) = E(X) \cdot E(Y) E ( X Y ) = E ( X ) ⋅ E ( Y )
c o v ( X , Y ) = E ( X ) ⋅ E ( Y ) − E ( X ) ⋅ E ( Y ) = 0 \mathrm{cov}(X, Y) = E(X) \cdot E(Y) - E(X) \cdot E(Y) = 0 cov ( X , Y ) = E ( X ) ⋅ E ( Y ) − E ( X ) ⋅ E ( Y ) = 0
Dann ist der Zähler der Korrelation 0 und damit ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0
Im Bild ist das die kleine Ellipse („unabhängig“), die ganz in der großen („unkorreliert“)
liegt. Wer in der kleinen ist, ist sicher auch in der großen.
Aus Blatt 4, Aufgabe 4 („Erwartungswert und Varianz: die Rechenregeln“): Sind
U U U
und
V V V unabhängig, dann gilt
E ( U ⋅ V ) = E ( U ) ⋅ E ( V ) E(U \cdot V) = E(U) \cdot E(V) E ( U ⋅ V ) = E ( U ) ⋅ E ( V ) . Ohne Unabhängigkeit gilt
das im Allgemeinen nicht.
Hier in dieser Aufgabe gilt E ( X Y ) = E ( X ) ⋅ E ( Y ) E(XY) = E(X) \cdot E(Y) E ( X Y ) = E ( X ) ⋅ E ( Y )
ρ = 0 ⇏ \rho = 0 \ \not\Rightarrow ρ = 0 ⇒ unabhängig; aber
ρ ≠ 0 ⇒ \rho \ne 0 \ \Rightarrow ρ = 0 ⇒
abhängig
Die andere Richtung: Folgt aus „unkorreliert“ auch „unabhängig“? Nein. Diese
Aufgabe ist das Gegenbeispiel: ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0 X X X Y Y Y ⇏ \not\Rightarrow ⇒
Zur Logik: „Aus A folgt B“ heißt nicht „aus B folgt A“. Beispiel: Wer in
Kaiserslautern wohnt, wohnt in Rheinland-Pfalz. Aber nicht jeder, der in Rheinland-Pfalz
wohnt, wohnt in Kaiserslautern.
Was aus Schritt 19 trotzdem folgt, ist der Umkehrschluss : Wäre ein Paar unabhängig,
hätte es ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0 ρ ≠ 0 \rho \ne 0 ρ = 0
Schlussfolgerung für (iii): Unabhängigkeit ist die stärkere Eigenschaft. Sie
verlangt die Produktregel für alle Wertepaare. Unkorreliertheit verlangt nur, dass eine
einzige Zahl 0 ist, die Kovarianz. Und die sieht nur den linearen Teil eines Zusammenhangs
(Schritt 13).
Merke: Unabhängig ⇒ unkorreliert. Unkorreliert ⇏ unabhängig. Aus
ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0 darf
man nie auf Unabhängigkeit schließen — außer unter der Voraussetzung im nächsten Schritt.
( X , Y ) (X, Y) ( X , Y ) gemeinsam normalverteilt:
ρ = 0 ⇔ \rho = 0 \Leftrightarrow ρ = 0 ⇔ unabhängig
Es gibt eine Voraussetzung, unter der beide Begriffe dasselbe bedeuten (Skript): wenn das
Paar ( X , Y ) (X, Y) ( X , Y ) gemeinsam normalverteilt ist, auch
bivariat normalverteilt genannt (bivariat = mit zwei Variablen). Dann gilt ρ = 0 ⇔ \rho =
0 \Leftrightarrow ρ = 0 ⇔ ⇔ \Leftrightarrow ⇔
Was heißt gemeinsam normalverteilt, grob gesagt? Eine einzelne normalverteilte
Größe hat eine Glockenkurve als Dichte. Bei einem gemeinsam normalverteilten Paar ist die
Dichte ein Glockenberg über der Ebene. Von oben gesehen sind die Linien gleicher
Höhe Ellipsen. Ein Streudiagramm solcher Paare sieht aus wie eine ellipsenförmige
Punktwolke.
Warum dann beides gleich ist: Ein solcher Berg kann schräg liegen und in die Länge
gezogen sein, aber er kann sich nicht krümmen wie eine Parabel. Jeder Zusammenhang
zwischen X X X Y Y Y ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0 X X X Y Y Y
Achtung: Es reicht nicht, dass X X X Y Y Y
Hier ist die Voraussetzung nicht erfüllt. X X X − 1 -1 − 1 0 0 0 1 1 1 diskret : Sie nimmt nur einzelne Werte an,
nichts dazwischen. Eine normalverteilte Größe ist dagegen stetig , sie kann jeden
Wert auf der Zahlengeraden annehmen. X X X ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0
Aus diesem Grund setzt der Korrelationstest nach Pearson (Aufgabe 2 dieses Blatts,
„Korrelationstest: Gewicht und Stärke von Kartoffeln“) normalverteilte Daten voraus. Genau
genommen braucht er gemeinsam normalverteilte Paare: Nur dann ist „ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0
Aus Blatt 4, Aufgabe 1 („Normalverteilung: die σ-Regeln“): Eine normalverteilte
Größe hat eine glockenförmige Dichte um ihren Erwartungswert
μ \mu μ . Werte nahe der Mitte
sind häufig, weit entfernte selten.
v a r ( X + Y ) = v a r ( X ) + v a r ( Y ) + 2 c o v ( X , Y ) \mathrm{var}(X + Y) = \mathrm{var}(X) + \mathrm{var}(Y) + 2\,\mathrm{cov}(X, Y) var ( X + Y ) = var ( X ) + var ( Y ) + 2 cov ( X , Y )
Der Zusatz fragt nach der Varianz der Summe X + Y X + Y X + Y beliebige X X X Y Y Y
v a r ( X + Y ) = v a r ( X ) + v a r ( Y ) + 2 ⋅ c o v ( X , Y ) \mathrm{var}(X + Y) = \mathrm{var}(X) + \mathrm{var}(Y) + 2 \cdot \mathrm{cov}(X, Y) var ( X + Y ) = var ( X ) + var ( Y ) + 2 ⋅ cov ( X , Y )
Woher kommt der dritte Summand? Rechts steht die Herleitung in drei Zeilen:
Der Erwartungswert einer Summe ist die Summe der Erwartungswerte: E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) E(X + Y) = E(X) +
E(Y) E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y )
Die Varianz ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichung. Das Quadrat einer
Summe zweier Teile u u u v v v u 2 + 2 u v + v 2 u^2 + 2uv + v^2 u 2 + 2 uv + v 2
Den Erwartungswert Summand für Summand bilden, der Faktor 2 bleibt stehen. Der erste
Teil ist v a r ( X ) \mathrm{var}(X) var ( X ) v a r ( Y ) \mathrm{var}(Y) var ( Y )
Der Kovarianz-Term misst also, ob sich die Abweichungen von X X X Y Y Y
Probe mit einem bekannten Fall: Für Y = X Y = X Y = X c o v ( X , X ) = v a r ( X ) \mathrm{cov}(X, X) =
\mathrm{var}(X) cov ( X , X ) = var ( X ) v a r ( 2 X ) = v a r ( X ) + v a r ( X ) + 2 v a r ( X ) = 4 v a r ( X ) \mathrm{var}(2X) = \mathrm{var}(X) +
\mathrm{var}(X) + 2\,\mathrm{var}(X) = 4\,\mathrm{var}(X) var ( 2 X ) = var ( X ) + var ( X ) + 2 var ( X ) = 4 var ( X ) v a r ( a X ) = a 2 v a r ( X ) \mathrm{var}(aX)
= a^2\,\mathrm{var}(X) var ( a X ) = a 2 var ( X ) a = 2 a = 2 a = 2
Aus Blatt 4, Aufgabe 4 („Erwartungswert und Varianz: die Rechenregeln“): Sind
X X X
und
Y Y Y unabhängig, addieren sich die Varianzen:
v a r ( X + Y ) = v a r ( X ) + v a r ( Y ) \mathrm{var}(X + Y) = \mathrm{var}(X) +
\mathrm{var}(Y) var ( X + Y ) = var ( X ) + var ( Y ) . Außerdem gilt
v a r ( a X + b ) = a 2 ⋅ v a r ( X ) \mathrm{var}(aX + b) = a^2 \cdot \mathrm{var}(X) var ( a X + b ) = a 2 ⋅ var ( X ) . Die
Regel hier ist die allgemeine Form: Bei Unabhängigkeit ist die Kovarianz 0 (Schritt 19),
und der dritte Summand fällt weg.
v a r ( X + Y ) = 2 3 + 2 9 + 2 ⋅ 0 = 6 9 + 2 9 = 8 9 ≈ 0,8889 \mathrm{var}(X + Y) = \tfrac23 + \tfrac29 + 2 \cdot 0 = \tfrac69 + \tfrac29 = \tfrac89
\approx 0{,}8889 var ( X + Y ) = 3 2 + 9 2 + 2 ⋅ 0 = 9 6 + 9 2 = 9 8 ≈ 0 , 8889
Jetzt die Vereinfachung, nach der die Aufgabe fragt. Aus (i) ist c o v ( X , Y ) = 0 \mathrm{cov}(X, Y) = 0 cov ( X , Y ) = 0 2 ⋅ 0 = 0 2 \cdot 0 = 0 2 ⋅ 0 = 0
v a r ( X + Y ) = v a r ( X ) + v a r ( Y ) \mathrm{var}(X + Y) = \mathrm{var}(X) + \mathrm{var}(Y) var ( X + Y ) = var ( X ) + var ( Y )
Die Varianzen stehen in Schritt 8 und 9: v a r ( X ) = 2 3 \mathrm{var}(X) = \tfrac23 var ( X ) = 3 2 v a r ( Y ) = 2 9 \mathrm{var}(Y)
= \tfrac29 var ( Y ) = 9 2 2 3 = 6 9 \tfrac23 = \tfrac69 3 2 = 9 6
v a r ( X + Y ) = 6 9 + 2 9 = 8 9 ≈ 0,8889 \mathrm{var}(X + Y) = \tfrac69 + \tfrac29 = \mathbf{\tfrac89} \approx 0{,}8889 var ( X + Y ) = 9 6 + 9 2 = 9 8 ≈ 0 , 8889
Bemerkenswert: Die Varianzen addieren sich einfach, obwohl X X X Y Y Y abhängig sind (Schritt 17). In Blatt 4 stand diese einfache Regel mit der
Voraussetzung „unabhängig“. Die Rechenregel aus Schritt 22 zeigt: Gebraucht wird nur, dass
der Kovarianz-Term wegfällt.
Merke: Für „Varianzen addieren sich“ genügt es, dass
X X X und
Y Y Y unkorreliert sind. Unabhängigkeit ist dafür mehr als nötig.
E ( ( X + Y ) 2 ) − E ( X + Y ) 2 = 4 3 − 4 9 = 8 9 E\big((X+Y)^2\big) - E(X+Y)^2 = \tfrac43 - \tfrac49 = \tfrac89 E ( ( X + Y ) 2 ) − E ( X + Y ) 2 = 3 4 − 9 4 = 9 8 ✓
Die Probe rechnet v a r ( X + Y ) \mathrm{var}(X + Y) var ( X + Y )
Die Werte der Summe. X + Y = X + X 2 X + Y = X + X^2 X + Y = X + X 2 X X X
X = − 1 X = -1 X = − 1 − 1 + ( − 1 ) 2 = − 1 + 1 = 0 -1 + (-1)^2 = -1 + 1 = 0 − 1 + ( − 1 ) 2 = − 1 + 1 = 0 X = 0 X = 0 X = 0 0 + 0 2 = 0 0 + 0^2 = 0 0 + 0 2 = 0 X = 1 X = 1 X = 1 1 + 1 2 = 1 + 1 = 2 1 + 1^2 = 1 + 1 = 2 1 + 1 2 = 1 + 1 = 2
Die Verteilung (Säulen im Bild): Den Wert 0 gibt es auf zwei Wegen, P ( X + Y = 0 ) = 1 3 + 1 3 = 2 3 P(X + Y = 0) =
\tfrac13 + \tfrac13 = \tfrac23 P ( X + Y = 0 ) = 3 1 + 3 1 = 3 2 X = 1 X = 1 X = 1 P ( X + Y = 2 ) = 1 3 P(X + Y = 2) = \tfrac13 P ( X + Y = 2 ) = 3 1
Der Erwartungswert: E ( X + Y ) = 2 3 ⋅ 0 + 1 3 ⋅ 2 = 2 3 E(X + Y) = \tfrac23 \cdot 0 + \tfrac13 \cdot 2 = \tfrac23 E ( X + Y ) = 3 2 ⋅ 0 + 3 1 ⋅ 2 = 3 2 E ( X ) + E ( Y ) = 0 + 2 3 E(X) + E(Y) = 0 + \tfrac23 E ( X ) + E ( Y ) = 0 + 3 2
Die Varianz mit dem Verschiebungssatz: E ( ( X + Y ) 2 ) = 2 3 ⋅ 0 2 + 1 3 ⋅ 2 2 = 4 3 E\big((X + Y)^2\big) = \tfrac23 \cdot 0^2 +
\tfrac13 \cdot 2^2 = \tfrac43 E ( ( X + Y ) 2 ) = 3 2 ⋅ 0 2 + 3 1 ⋅ 2 2 = 3 4 4 3 − ( 2 3 ) 2 = 4 3 − 4 9 \tfrac43 - \big(\tfrac23\big)^2 = \tfrac43 -
\tfrac49 3 4 − ( 3 2 ) 2 = 3 4 − 9 4 12 9 − 4 9 = 8 9 \tfrac{12}{9} - \tfrac49 = \mathbf{\tfrac89} 9 12 − 9 4 = 9 8
Noch ein Weg, nach Definition: Die Abweichungen von 2 3 \tfrac23 3 2 0 − 2 3 = − 2 3 0 - \tfrac23 =
-\tfrac23 0 − 3 2 = − 3 2 2 − 2 3 = 4 3 2 - \tfrac23 = \tfrac43 2 − 3 2 = 3 4 4 9 ⋅ 2 3 + 16 9 ⋅ 1 3 = 8 27 + 16 27 = 24 27 = 8 9 \tfrac49 \cdot
\tfrac23 + \tfrac{16}{9} \cdot \tfrac13 = \tfrac{8}{27} + \tfrac{16}{27} = \tfrac{24}{27}
= \tfrac89 9 4 ⋅ 3 2 + 9 16 ⋅ 3 1 = 27 8 + 27 16 = 27 24 = 9 8
Alle Wege liefern 8 9 \tfrac89 9 8 c o v = 0 \mathrm{cov} = 0 cov = 0 X X X Y Y Y
sum(x * p) =
∑ P ( X = x i ) ⋅ x i \sum P(X = x_i) \cdot x_i ∑ P ( X = x i ) ⋅ x i
Diese Ergänzung geht über die Aufgabe hinaus. Die Musterlösung rechnet hier nicht
mit R. R kann die gewichteten Summen aber schnell nachprüfen.
x <- c(-1, 0, 1) speichert die drei möglichen Werte unter
dem Namen x, p ihre
Wahrscheinlichkeiten.
x^2 quadriert jeden Wert einzeln, das ist Y Y Y
x * p multipliziert Wert für Wert: x 1 ⋅ p 1 x_1 \cdot p_1 x 1 ⋅ p 1 x 2 ⋅ p 2 x_2 \cdot
p_2 x 2 ⋅ p 2 x 3 ⋅ p 3 x_3 \cdot p_3 x 3 ⋅ p 3 sum addiert. Zusammen ist
sum(x * p) genau ∑ P ( X = x i ) ⋅ x i = E ( X ) \sum P(X = x_i) \cdot x_i = E(X) ∑ P ( X = x i ) ⋅ x i = E ( X )
Die Kovarianz ist E(XY) − E(X) · E(Y), die Varianzen folgen
dem Verschiebungssatz.
R schreibt einen Dezimalpunkt: 0.6666667 ist 2 3 \tfrac23 3 2 2 9 \tfrac29 9 2 8 9 \tfrac89 9 8
Typischer Fehler: Hier
var(x) oder
cov(x, y) benutzen. Diese Befehle behandeln
x als
Daten und teilen durch
n − 1 n - 1 n − 1 (Schritt 2).
var(c(-1, 0, 1)) gibt 1 statt
2 3 \tfrac23 3 2 . In
x stehen hier aber keine Beobachtungen, sondern die möglichen
Werte mit ihren Gewichten in
p.
Aus Blatt 5, Aufgabe 3 („Stichprobenvarianz: die Länge der Fische“): Mit
x <- c(…) werden Zahlen in R eingegeben. Zahlen schreibt R
mit Dezimalpunkt statt Komma.
Größe
Weg
Wert
E ( X ) E(X) E ( X ) 1 3 ( − 1 + 0 + 1 ) \tfrac13(-1 + 0 + 1) 3 1 ( − 1 + 0 + 1 ) 0
E ( Y ) = E ( X 2 ) E(Y) = E(X^2) E ( Y ) = E ( X 2 ) 1 3 ( 1 + 0 + 1 ) \tfrac13(1 + 0 + 1) 3 1 ( 1 + 0 + 1 ) 2/3
E ( X Y ) = E ( X 3 ) E(XY) = E(X^3) E ( X Y ) = E ( X 3 ) 1 3 ( − 1 + 0 + 1 ) \tfrac13(-1 + 0 + 1) 3 1 ( − 1 + 0 + 1 ) 0
c o v ( X , Y ) \mathrm{cov}(X, Y) cov ( X , Y ) 0 − 0 ⋅ 2 3 0 - 0 \cdot \tfrac23 0 − 0 ⋅ 3 2 0
ρ \rho ρ 0 : 0,3849 0 : 0{,}3849 0 : 0 , 3849 0
v a r ( X + Y ) \mathrm{var}(X + Y) var ( X + Y ) 2 3 + 2 9 + 0 \tfrac23 + \tfrac29 + 0 3 2 + 9 2 + 0 8/9
In Worten: Y = X 2 Y = X^2 Y = X 2 X X X X X X Y Y Y unkorreliert, aber abhängig . Die Varianzen addieren
sich trotzdem, weil dafür c o v = 0 \mathrm{cov} = 0 cov = 0
Rückblick — der Weg: (1) Verteilungen von
X X X und
Y Y Y aufschreiben. (2)
Erwartungswerte als gewichtete Summen, die Kovarianz mit
E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) E(XY) - E(X)E(Y) E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) , die Varianzen
mit dem Verschiebungssatz, daraus
ρ \rho ρ . (3) Unabhängigkeit an der gemeinsamen Verteilung
prüfen: ein Paar, das die Produktregel verletzt, genügt. (4) Allgemein: unabhängig ⇒
unkorreliert, nicht umgekehrt; gleichwertig nur bei gemeinsamer Normalverteilung. (5)
v a r ( X + Y ) \mathrm{var}(X + Y) var ( X + Y ) mit dem Kovarianz-Term und eine Probe über die Verteilung der Summe.
Für ähnliche Aufgaben: ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0 schließt nur einen linearen Zusammenhang aus. Ob
X X X und
Y Y Y unabhängig sind, zeigt allein die Produktregel an der gemeinsamen Verteilung.