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GdI 1 · Beispielklausur · Aufgabe 1

Zweierkomplement, Hex, Overflow, IEEE 754 und Übertragungszeit

Aufgabe 1 der Beispielklausur prüft in sechs kurzen Fragen, wie ein Computer Zahlen speichert: ganze Zahlen im Zweierkomplement, Hexadezimalzahlen, Gleitkommazahlen und die Dauer einer Übertragung. Alles wird ohne Taschenrechner gerechnet, so wie man es auf Papier schreibt. Rechts steht die Grafik zum aktuellen Teil, das gerade Gemeinte ist hervorgehoben. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran.

Die Aufgabe

Aufgabe 1

a) Eine 6-Bit-Prozessorarchitektur verarbeitet 6-stellige Zweierkomplementzahlen. Geben Sie die folgenden Werte als Dualzahlen an:

i. Größtmöglicher darstellbarer Wert

ii. – 1

b) Welchen Dezimalwert hat die Hexadezimalzahl 3C163C_{16}?

c) Welchen Dezimalwert hat die Zweierkomplementzahl 111000?

d) Ein 4-Bit-Mikroprozessor hat die folgende Rechnung mit Zweierkomplementzahlen durchgeführt:

1010+11111111001\begin{array}{cccccc} & & 1 & 0 & 1 & 0 \\ + & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & 1 & 1 & 1 & & \\ \hline & & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}

Liegt hier ein Overflow vor? Woran erkennt das der Mikroprozessor?

e) Betrachtet werden zwei Gleitkommazahlen nach IEEE 754 mit einfacher Genauigkeit und in normalisierter Darstellung.

VorzeichenExponentMantisseBias
Einfache Genauigkeit1 Bit8 Bit (emax=255e_{max} = 255)23 Bit127

Normalisiert, falls 0<e<emax0 < e < e_{max}: Wert (−1)s⋅1.m⋅2e−b(-1)^s \cdot 1.m \cdot 2^{e-b}.

Gegeben ist die Gleitkommazahl X:

X: 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1

Geben Sie die kleinste darstellbare Gleitkommazahl Y an, die größer ist als X!

f) Wie viele Sekunden würde es dauern, um eine Videodatei der Größe 1.000.000.000 Byte über einen Glasfaser-Anschluss mit der mittleren Netto-Bitrate rb=400r_b = 400 Mbit/s zu übertragen?

Die sechs Teile hängen nicht voneinander ab. Jeder fragt eine Regel aus Kapitel 1 des Skripts ab. Die Beispielklausur nennt keine Punkte; in der Klausur kommt es auf ein eindeutiges Ergebnis und einen kurzen, nachvollziehbaren Weg an.

  • a) Zwei Bitmuster mit genau 6 Stellen, führende Nullen mitschreiben.
  • b) und c) Je eine Dezimalzahl, bei c) mit Vorzeichen.
  • d) Ja oder nein und eine Begründung, woran der Prozessor es sieht.
  • e) Ein vollständiges Bitmuster mit 32 Stellen, kein Dezimalwert.
  • f) Eine Zeit in Sekunden; die Einheiten müssen vorher zusammenpassen.
Merke: Ohne Rechner hilft es, Zweierpotenzen auswendig zu kennen: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Damit lassen sich kurze Dualzahlen im Kopf lesen.
  1. a) Den Wertebereich bei 6 Bits bestimmen, dann die beiden Bitmuster.
  2. b) Jede Hex-Ziffer mit ihrem Stellenwert malnehmen und addieren.
  3. c) Vorzeichenbit lesen, dann invertieren und 1 addieren.
  4. d) Die Rechnung lesen, dann Vorzeichen und Überträge an Stelle 3 prüfen.
  5. e) X in Felder teilen, dann das Bitmuster um 1 erhöhen.
  6. f) Byte in Bit, Mbit/s in Bit/s umrechnen, dann teilen.

Wertebereich bei 6 Bits: −32 bis 31

Wertebereich für n = 6
−26−1…26−1−1=−25…25−1=−32…31-2^{6-1} \ldots 2^{6-1} - 1 = -2^5 \ldots 2^5 - 1 = -32 \ldots 31

Im Zweierkomplement speichert ein Computer ganze Zahlen mit Vorzeichen. Das Bit ganz links heißt MSB („Most Significant Bit“, höchstwertiges Bit). Es sagt, ob die Zahl positiv (0) oder negativ (1) ist.

Aus Skript 1, Folie 1-21 („Zweierkomplement“): MSB = 0: positiv, Betrag wie bei natürlichen Zahlen. MSB = 1: negativ, Betrag durch bitweise Invertieren und 1 Addieren. Wertebereich bei n Stellen: −2n−1…+2n−1−1-2^{n-1} \ldots +2^{n-1} - 1.

Wir setzen n=6n = 6 ein. Das gibt den Rahmen, in dem beide Antworten liegen müssen.

i. Größter Wert: 011111

0 vorn, dann fünf Einsen
0111112=24+23+22+21+20011111_2 = 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0
=16+8+4+2+1=31= 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31

Der größte Wert ist positiv, also ist das MSB 0. Die übrigen 5 Bits werden wie eine gewöhnliche Dualzahl gelesen. Sie ist am größten, wenn alle 5 Bits 1 sind.

Zur Probe zählen wir die Stellenwerte der Einsen zusammen. Es kommt 31 heraus, genau die obere Grenze aus dem letzten Schritt. Die führende 0 gehört zur Antwort: Ohne sie wäre 11111 nur 5-stellig.

Noch 19 Schritte bis zum Ergebnis
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Abbildung 1a) Größter Wert und −1

2⁵2⁴2³2²2¹2⁰größter
2⁵2⁴2³2²2¹2⁰−1
LegendeZwei 6-Bit-Zweierkomplementzahlen.