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GdI 1 · Übungsblatt 1 · Aufgabe 1

Lichtorgel, Basis 14 und Umrechnen zwischen dual, oktal, hex

Wie viele Zustände haben n Lampen, und wie rechnet man Zahlen zwischen dem Dezimalsystem und anderen Basen um? Die Aufgabe übt beides: Zustände zählen mit Zweierpotenzen, Zahlen zur Basis 14 lesen und schreiben, und die Umrechnung zwischen dual, oktal, hexadezimal und dezimal. Links steht der ganze Lösungsweg, rechts die Grafik zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran.

Die Aufgabe

Aufgabe 1.1

a) Daniel Düsentrieb arbeitet gerade an einer neuen Lichtorgel. Diese besteht zunächst aus 4 Lampen, welche einzeln ein- oder ausgeschaltet werden können.

  1. Wie viele Zustände kann die Lichtorgel annehmen?
  2. Wie viele Zustände sind es im allgemeinen Fall, wenn die Lichtorgel aus n∈Nn \in \mathbb{N} Lampen besteht?
  3. Und wie viele Lampen braucht Düsentrieb mindestens, um 2.000 Zustände zu ermöglichen?
  4. Und wie viele für 262.145 Zustände?

b) Daniel Düsentrieb, in seinem ungehemmten Forscherdrang, arbeitet zudem an einem Computer, der intern alle Zahlen zur Basis 14 darstellt. Dafür verwendet er die Ziffernsymbole 0–9, A, B, C und D.

  1. Sein Computer liefert ihm das Ergebnis ABCD14\mathrm{ABCD}_{14}. Was bedeutet dies im Dezimalsystem?
  2. Und welchen Dezimalwert hat 131413_{14}?
  3. Welche Ausgabe muss sein Computer liefern, wenn das Ergebnis 451045_{10} lauten soll?
  4. Und wie lautet seine Ausgabe für 4711104711_{10}?

c) Düsentrieb entscheidet sich nun doch für einen handelsüblichen, irdischen Computer und beschäftigt sich deshalb mit dem Dual-, dem Oktal- und dem Hexadezimalsystem.

  1. Wie lautet die oktale, die hexadezimale und die dezimale Darstellung der Zahl 110011001121100110011_2?
  2. Wie lautet die hexadezimale, die oktale und die binäre Darstellung der Zahl 66610666_{10}?

In a) zählen wir, wie viele Muster aus „an“ und „aus“ es bei n Lampen gibt, und rechnen dann rückwärts: Wie viele Lampen braucht man für eine gewünschte Zahl von Zuständen? In b) rechnen wir zwischen Basis 14 und Basis 10 hin und her. In c) wechseln wir zwischen den Basen 2, 8, 16 und 10.

Merke: Eine Zahl zur Basis B ist eine Summe: jede Ziffer mal ihrem Stellenwert BiB^i. Von Basis B nach dezimal: diese Summe ausrechnen. Von dezimal nach Basis B: Divisionsmethode.
  1. a) Eine Lampe hat 2 Zustände, n Lampen haben 2ⁿ; dann nach n auflösen.
  2. b) ABCD₁₄ und 13₁₄ mit Stellenwerten ausrechnen; 45 und 4711 mit Division durch 14.
  3. c) i. Bits in Gruppen zu 3 und 4 zusammenfassen; ii. 666 durch 16 teilen, dann Bits.

Eine Lampe ist ein Bit

1 Lampe: aus (0) oder an (1), also 2=212 = 2^1 Zustände.

Eine Lampe kann nur an oder aus sein: zwei Möglichkeiten. Das ist genau ein Bit. Wir schreiben 1 für „an“ und 0 für „aus“. Ein Zustand der ganzen Lichtorgel ist dann eine Bitfolge: ein Bit je Lampe.

Aus Skript 1, Folie 1-4 („Information und Daten“): Ein Bit ist die kleinste Einheit der Information: die Antwort auf eine Frage mit genau zwei Möglichkeiten, geschrieben als 0 oder 1.

Vier Lampen: 2 · 2 · 2 · 2

a) i.: Zustände bei 4 Lampen
2⋅2⋅2⋅2=24=162 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 = 16

Jede Lampe kann man unabhängig von den anderen schalten. Zu jedem Zustand der ersten drei Lampen kommt die vierte Lampe einmal aus und einmal an dazu. So verdoppelt jede Lampe die Zahl der Zustände. Bei 4 Lampen wird viermal mit 2 multipliziert.

Rechts oben steht einer dieser 16 Zustände: 1010, also Lampe 3 und Lampe 1 an. Die Lampen sind wie die Stellen einer Dualzahl von rechts ab 0 gezählt (oben über den Bits).

Noch 18 Schritte bis zum Ergebnis
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Abbildung 1a) Zustände der Lichtorgel

Zweierpotenzen und Logarithmus

32104 Lampen1010
Lampen nZustände 2ⁿ
12¹ = 2
22² = 4
32³ = 8
42⁴ = 16
…
102¹⁰ = 1.024
112¹¹ = 2.048
…
182¹⁸ = 262.144
192¹⁹ = 524.288
Legendegerade gemeintOben: ein Zustand der 4 Lampen. Unten: Zahl der Zustände für n Lampen.