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GdI 1 · Übungsblatt 1 · Aufgabe 2

Kleinster und größter Wert im 10-Bit-Zweierkomplement

Ein Prozessor mit 10 Bit kann nicht jede ganze Zahl speichern. Gesucht sind die Grenzen: die kleinste und die größte Zahl, die in 10 Bit als Zweierkomplementzahl passt, jeweils dezimal und dual. Links steht der ganze Lösungsweg, rechts die Bits zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran.

Die Aufgabe

Aufgabe 1.2

Eine 10-Bit-Prozessorarchitektur verarbeitet 10-stellige Zweierkomplementzahlen. Geben Sie die folgenden Werte als Dezimal- und Dualzahlen an!

Kleinstmöglicher darstellbarer WertDezimal: ____Dual: ____
Größtmöglicher darstellbarer WertDezimal: ____Dual: ____

Der Prozessor arbeitet immer mit genau 10 Bits. Negative Zahlen schreibt er im Zweierkomplement. Wir suchen die Bitfolge mit dem größten und die mit dem kleinsten Wert und rechnen beide ins Dezimalsystem um.

Merke: Im Zweierkomplement sagt das erste Bit (MSB) das Vorzeichen: 0 positiv, 1 negativ. Den Betrag einer negativen Zahl liefert die Zweierkomplementbildung: bitweise invertieren, dann 1 addieren.
  1. Klären, was das erste Bit bedeutet.
  2. Größte Zahl: positiv, Rest so groß wie möglich; dezimal ausrechnen.
  3. Kleinste Zahl: negativ, Betrag so groß wie möglich; mit Zweierkomplementbildung prüfen.
  4. Mit dem Wertebereich aus dem Skript vergleichen.

Das erste Bit ist das Vorzeichen

z9 z8…z1 z0z_9\,z_8 \ldots z_1\,z_0 mit z9=0z_9 = 0: positiv, z9=1z_9 = 1: negativ.

10 Bits haben die Stellen 9 bis 0, von rechts gezählt. Das Bit ganz links (Stelle 9) heißt MSB, „Most Significant Bit“, das höchstwertige Bit. Im Zweierkomplement trägt es das Vorzeichen.

Aus Skript 1, Folie 1-21 („Zweierkomplement“): MSB = 0: positiv, Betrag wie bei natürlichen Zahlen. MSB = 1: negativ, Betrag durch Zweierkomplementbildung, d. h. bitweise invertieren (Einerkomplement), dann 1 addieren.

Größte Zahl: 0 und neun Einsen

Größter Wert, dual
0 111111111(als 10-Bit-Zweierkomplementzahl)0\,111111111 \quad (\text{als 10-Bit-Zweierkomplementzahl})

Die größte Zahl ist sicher positiv, also MSB = 0. Dahinter stehen 9 Bits, die wie eine gewöhnliche Dualzahl gelesen werden. Am größten ist diese, wenn alle 9 Bits 1 sind.

Noch 5 Schritte bis zum Ergebnis
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Abbildung 1

9876543210Zahl 1??????????
9876543210Zahl 2??????????
invertiert??????????+ 10000000001=??????????
Legendegerade gemeintDie beiden gesuchten Zahlen und darunter eine Zweierkomplementbildung. „?“ steht für Bits, die erst ein späterer Schritt bestimmt. Die Zahlen über den Bits sind die Stellen 9 bis 0.