A − B im 8-Bit-Zweierkomplement mit Overflow-Erkennung

Die Aufgabe

Aufgabe 1.3

Betrachtet werde ein 8-Bit-Computer. Gegeben sind die beiden Zweierkomplementzahlen $A = 11110001_2$ und $B = 00110101_2$ . Führen Sie – wie der Computer – die Subtraktion A – B durch Rechnung im Dualsystem sowie die Overflow-Erkennung aus!

Rechnung: ____

Overflow? ☐ ja ☐ nein

Erläuterung: ____

A und B sind 8-Bit-Zweierkomplementzahlen. Gesucht ist die Bitfolge von A − B, so wie der Computer sie berechnet. Dazu die Antwort, ob ein Overflow auftritt, also ob das richtige Ergebnis gar nicht in 8 Bit passt, mit Begründung.

Merke: Subtraktion ist Addition des Negativen: A − B = A + (−B). −B entsteht durch Zweierkomplementbildung: invertieren, dann 1 addieren.

Die Subtraktion in eine Addition umschreiben.
−B bilden: B invertieren, 1 addieren.
A + (−B) schriftlich addieren, 8 Bit behalten.
Overflow an den Vorzeichenbits prüfen.
Zur Kontrolle alles ins Dezimalsystem umrechnen.

Subtraktion als Addition

Umschreiben

A - B = A + (-B)

Der Computer hat nur ein Addierwerk. Darum ersetzt er „minus B“ durch „plus (−B)“. Das Ergebnis ist dasselbe, wie 7 − 3 = 7 + (−3).

Aus Skript 1, Folie 1-25 („Rechnen mit n-stelligen Zweierkomplementzahlen“): Subtraktion: A – B = A + (–B), zurückgeführt auf Addition; kein eigenständiges Subtraktionswerk.

B bitweise invertieren

Einerkomplement von B

B = 00110101 \;\xrightarrow{\text{invertieren}}\; 11001010

−B bekommt man mit der Zweierkomplementbildung. Ihr erster Teil: jedes Bit von B umdrehen, aus 0 wird 1 und aus 1 wird 0. Das Ergebnis heißt Einerkomplement.

Aus Skript 1, Folie 1-21 („Zweierkomplement“): Zweierkomplementbildung: bitweise invertieren (Einerkomplement), dann 1 addieren. Sie macht aus einer Zahl ihr Negatives.

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Subtraktion als Addition

Schritt 2B bitweise invertieren

Abbildung 1

Die Aufgabe

Subtraktion als Addition

B bitweise invertieren