Wie viele Stellen hat 2⁹⁹ dezimal und oktal?

Die Aufgabe

Aufgabe 1.5

Wie viele Stellen hat die Zahl $2^{99}$ …

… in dezimaler Darstellung?
… in oktaler Darstellung?

Gesucht ist nicht der Wert von $2^{99}$ , sondern nur die Zahl seiner Ziffern, einmal zur Basis 10 und einmal zur Basis 8.

Merke: Eine Zahl hat zur Basis 10 genau s Stellen, wenn

10^{s-1} \le x < 10^s

. Zur Basis 8 fasst man die Bits in Dreiergruppen zusammen, denn

8 = 2^3

i. Stellenzahl über Zehnerpotenzen beschreiben, dann den Logarithmus anwenden.
ii. 2⁹⁹ als Dualzahl aufschreiben, Bits in Dreiergruppen zählen.

Stellen und Zehnerpotenzen

427 hat 3 Stellen

10^2 = 100 \le 427 < 1{.}000 = 10^3

Ein Beispiel aus dem Skript: 427 hat drei Stellen. Es liegt zwischen 100 (der kleinsten dreistelligen Zahl) und 1.000 (der kleinsten vierstelligen). Beide Grenzen sind Zehnerpotenzen: $10^2$ und $10^3$ .

Aus Skript 1, Folie 1-13 („Dezimalsystem“):

427 = 4 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0

; die höchste Stelle hat den Stellenwert

10^2

s Stellen: zwischen 10ˢ⁻¹ und 10ˢ

Bedingung für s Dezimalstellen

x \text{ hat } s \text{ Stellen} \;\Longleftrightarrow\; 10^{s-1} \le x < 10^s

Das gilt für jede Stellenzahl s. Die kleinste Zahl mit s Stellen ist 1 mit s − 1 Nullen, also $10^{s-1}$ . Die kleinste Zahl mit s + 1 Stellen ist $10^s$ . Dazwischen liegen genau die Zahlen mit s Stellen.

Stellen	Zahlen x	Zehnerpotenzen	Logarithmus lg
1	1 … 9	10⁰ ≤ x < 10¹	0 ≤ lg x < 1
2	10 … 99	10¹ ≤ x < 10²	1 ≤ lg x < 2
3	100 … 999	10² ≤ x < 10³	2 ≤ lg x < 3
s	10ˢ⁻¹ … 10ˢ − 1	10ˢ⁻¹ ≤ x < 10ˢ	s − 1 ≤ lg x < s

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Stellen und Zehnerpotenzen

Schritt 2s Stellen: zwischen 10ˢ⁻¹ und 10ˢ

Abbildung 1i. Dezimale Stellen

Die Aufgabe

Stellen und Zehnerpotenzen

s Stellen: zwischen 10ˢ⁻¹ und 10ˢ