Die Basis b bestimmen: 45 zur Basis b ist 121

Die Aufgabe

Aufgabe 1.6

Von der Zahl 45 sei bekannt, dass sie zur Basis b dargestellt ist und den dezimalen Wert 121 besitzt. Berechnen Sie den Wert der Basis b.

Die Ziffernfolge 45 ist in einem Zahlensystem mit unbekannter Basis b geschrieben. Ins Dezimalsystem umgerechnet ergibt sie 121. Gesucht ist b.

Merke: Der Wert einer Zahl ist die Summe „Ziffer mal Stellenwert“. Bei Basis b hat die Stelle i den Stellenwert

b^i

45 zur Basis b als Summe mit Stellenwerten schreiben.
Gleich 121 setzen und nach b auflösen.
Prüfen, ob die Ziffern zur Basis passen, und zurückrechnen.

45 zur Basis b mit Stellenwerten

Stellenwertsumme

45_b = 4 \cdot b^1 + 5 \cdot b^0 = 4 \cdot b + 5

45 hat zwei Ziffern. Von rechts gezählt steht die 5 an Stelle 0, die 4 an Stelle 1. Stelle 0 hat den Stellenwert $b^0 = 1$ , Stelle 1 den Stellenwert $b^1 = b$ . Das gilt für jede Basis, auch wenn b noch unbekannt ist.

Aus Skript 1, Folie 1-12 („Zahlen“): Eine Zahl zur Basis B mit den Ziffern

z_i

hat den dezimalen Wert

x = \sum_{i=0}^{n-1} z_i \cdot B^i

Gleich 121 setzen

Gleichung für b

4 \cdot b + 5 = 121

Die Aufgabe sagt: Diese Summe hat den dezimalen Wert 121. So entsteht eine Gleichung, in der nur b unbekannt ist.

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 145 zur Basis b mit Stellenwerten

Schritt 2Gleich 121 setzen

Abbildung 1

Die Aufgabe

45 zur Basis b mit Stellenwerten

Gleich 121 setzen