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GdI 1 · Übungsblatt 3 · Aufgabe 4

Quadratische Gleichung: Zahl der Lösungen

Gesucht ist ein Algorithmus, der zu b und c sagt, wie viele reelle Lösungen die Gleichung x2+bx+c=0x^2 + bx + c = 0 hat: keine, genau eine oder zwei. Den Ausschlag gibt der Wert unter der Wurzel in der Lösungsformel. Rechts steht das Flussdiagramm, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran.

Die Aufgabe

Aufgabe 3.4

Betrachtet wird eine quadratische Gleichung der Form x2+bx+c=0x^2 + bx + c = 0. Zu ihrer Lösung eignet sich die Formel

x1,2=−b2±b24−c.x_{1,2} = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - c}.

Entwerfen Sie einen Algorithmus, der die beiden Parameter b und c einliest und ermittelt, ob die darauf basierende quadratische Gleichung keine reelle Lösung, genau eine reelle Lösung oder zwei reelle Lösungen besitzt, und stellen Sie ihn in einem Flussdiagramm dar! Bei Bedarf informieren Sie sich vorab an geeigneter Stelle über die Lösbarkeit quadratischer Gleichungen.

Eingabe sind die Zahlen bb und cc. Sie legen die Gleichung fest; für b=−6b = -6 und c=5c = 5 etwa x2−6x+5=0x^2 - 6x + 5 = 0. Ausgabe ist einer von drei Sätzen: keine, genau eine oder zwei reelle Lösungen. Die Lösungen selbst sind nicht gefragt.

Merke: Eine Wurzel aus einer negativen Zahl gibt es in den reellen Zahlen nicht. Darum entscheidet der Wert unter der Wurzel über die Zahl der Lösungen.
  1. Klären, wann die Formel keine, eine oder zwei Lösungen liefert.
  2. Das Flussdiagramm aufbauen: einlesen, rechnen, zwei Fragen.
  3. Für jeden der drei Fälle einen Test durchspielen.

Der Wert unter der Wurzel entscheidet

Lösungsformel und der Wert unter der Wurzel
x1,2=−b2±rmitr=b24−cx_{1,2} = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{r} \qquad \text{mit} \qquad r = \frac{b^2}{4} - c

Den Wert unter der Wurzel nennen wir rr (für Radikand; so heißt die Zahl unter einer Wurzel). Mit ihm lautet die Formel x1,2=−b2±rx_{1,2} = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{r}. Das Zeichen ±\pm heißt: einmal mit „+“ rechnen, einmal mit „−“. Je nach rr gibt es drei Fälle:

  • r<0r < 0: Eine Wurzel aus einer negativen Zahl gibt es nicht (keine reelle Zahl ergibt mit sich selbst malgenommen etwas Negatives). Keine Lösung.
  • r=0r = 0: 0=0\sqrt{0} = 0. „+“ und „−“ ergeben dieselbe Zahl −b2-\frac{b}{2}. Genau eine Lösung.
  • r>0r > 0: Die Wurzel ist eine positive Zahl. „+“ und „−“ ergeben zwei verschiedene Zahlen. Zwei Lösungen.

Start und Eingabe von b und c

Start → b, c eingeben

Das Flussdiagramm beginnt mit Start. Dann werden bb und cc eingegeben. Wie im Skript steht die Eingabe in einem Rechteck, dem Symbol für eine Anweisung.

Aus Skript 3, Folie 3-19 („Flussdiagramm“): Abgerundetes Kästchen: Beginn und Ende. Rechteck: Anweisung. Raute: Verzweigung mit Ja und Nein. Pfeile (Flusslinien) legen fest, welcher Schritt als Nächstes kommt.
Noch 7 Schritte bis zum Ergebnis
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Abbildung 1

JaNeinJaNeinStartb, c eingebenr ← b²/4 − cr < 0?r = 0?„keine reelleLösung“ ausgeben„genau eine reelleLösung“ ausgeben„zwei reelleLösungen“ ausgebenStop
Legendehell gefüllt: schon erklärtFlussdiagramm: keine, eine oder zwei reelle Lösungen.