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GdI 1 · Übungsblatt 5 · Aufgabe 1

Abstand zweier Punkte mit Math.sqrt

Ein Programm soll den Abstand zweier Punkte ausrechnen. Erst zeigt eine Skizze, wie man ihn ohne Programm findet: über ein rechtwinkliges Dreieck und den Satz des Pythagoras. Dann wird daraus Zeile für Zeile ein Java-Programm. Links steht der ganze Lösungsweg, rechts die Grafik zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran.

Die Aufgabe

Aufgabe 5.1

Schreiben Sie ein Java-Programm A5_1, welches die x- und y-Koordinaten zweier Punkte P1P_1 und P2P_2 einliest und daraus den Abstand dd zwischen den beiden Punkten berechnet und ausgibt.

Hinweise:

  • Fertigen Sie zunächst eine detaillierte Skizze an.
  • Die Wurzel einer Zahl x kann wie folgt berechnet werden: Math.sqrt(x)

(Auf dem Blatt steht dazu ein Koordinatensystem mit den Achsen x und y und zwei Punkten: P1P_1 links unten, P2P_2 rechts oben.)

Gegeben sind zwei Punkte in der Ebene, jeder mit einer x- und einer y-Koordinate. Das Programm liest diese vier Zahlen ein und gibt den Abstand dd aus: die Länge der geraden Strecke von P1P_1 nach P2P_2. Die Aufgabe nennt keine Zahlen; als Beispiel nehmen wir P1=(1,1)P_1 = (1, 1) und P2=(5,4)P_2 = (5, 4).

Merke: Erst den Rechenweg auf Papier klären, dann programmieren. Das Programm rechnet nur das nach, was die Skizze zeigt.
  1. Skizze: die Punkte und das rechtwinklige Dreieck zwischen ihnen.
  2. Die beiden Katheten als Differenzen der Koordinaten.
  3. Der Abstand mit dem Satz des Pythagoras.
  4. Das Programm: einlesen, rechnen, ausgeben.

Die Punkte einzeichnen

Punktxy
P₁11
P₂54

Ein Punkt hat zwei Koordinaten: wie weit er rechts liegt (x) und wie weit oben (y). P1=(1,1)P_1 = (1, 1) liegt 1 nach rechts und 1 nach oben, P2=(5,4)P_2 = (5, 4) liegt 5 nach rechts und 4 nach oben. Gesucht ist die Länge der geraden Linie zwischen ihnen. Sie läuft schräg, also kann man sie nicht an einer Achse ablesen.

Die Katheten: Differenzen der Koordinaten

Differenzen der Koordinaten
Δx=x2−x1=5−1=4\Delta x = x_2 - x_1 = 5 - 1 = 4
Δy=y2−y1=4−1=3\Delta y = y_2 - y_1 = 4 - 1 = 3

Der Trick: von P1P_1 erst waagerecht bis unter P2P_2 gehen, dann senkrecht nach oben. So entsteht ein Dreieck mit einem rechten Winkel unten rechts. Die beiden Seiten am rechten Winkel heißen Katheten.

Die waagerechte Kathete ist so lang, wie sich die x-Werte unterscheiden; man nennt sie Δx\Delta x (Δ, „Delta“, steht für einen Unterschied). Die senkrechte ist so lang, wie sich die y-Werte unterscheiden: Δy\Delta y.

Noch 8 Schritte bis zum Ergebnis
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Abbildung 1Die Skizze

ein rechtwinkliges Dreieck

Δx = 4Δy = 3d = 5P₁ (1, 1)P₂ (5, 4)
Legendegerade gemeintDie beiden Punkte und das Dreieck zwischen ihnen.