Geraden: Parameterform und Schnittpunkt

Die Aufgabe

Gegeben seien die beiden Geraden $g_1$ und $g_2$ in der Ebene des $\mathbb{R}^2$ . Die Koordinatendarstellungen lauten:

g_1:\; x + y = 1 \qquad\qquad g_2:\; x - y = 1

Geben Sie jeweils eine Parameterdarstellung der Geraden an.
Bestimmen Sie den Schnittpunkt $S$ der Geraden.

Eine Gerade in der Ebene $\mathbb{R}^2$ besteht aus unendlich vielen Punkten. Jeder Punkt hat zwei Zahlen: $x$ (waagerecht) und $y$ (senkrecht). Die Gleichung $x + y = 1$ sagt dir, welche Punkte zur Geraden gehören: genau die, deren beide Zahlen zusammen 1 ergeben, zum Beispiel $(0, 1)$ und $(2, -1)$ .

Diese Schreibweise heißt Koordinatengleichung. In Teil a) schreiben wir sie so um, dass man die Punkte der Geraden direkt erzeugen kann (Parameterform). In Teil b) suchen wir den einen Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Danach zeigt eine Ergänzung, dass es für dieselbe Gerade viele richtige Parameterformen gibt.

Merke: Eine Gerade lässt sich durch einen Punkt auf ihr und eine Richtung festlegen. Die Parameterform schreibt genau das auf:

\text{Punkt} + \lambda \cdot \text{Richtung}

So gehen wir vor:

Die Parameterform erklären (Aufpunkt und Richtungsvektor).
Die Gleichung von $g_1$ nach $y$ auflösen und $x$ als Parameter wählen; daraus die Parameterform ablesen und prüfen. Dasselbe für $g_2$ .
Einen Punkt von $g_1$ in die Gleichung von $g_2$ einsetzen und so den Schnittpunkt $S$ bestimmen.
Ergänzung: dieselbe Gerade $g_1$ mit anderem Aufpunkt und anderer Richtung.

Was die Parameterform sagt

Allgemeine Parameterform einer Geraden in der Ebene

g:\; \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}}_{\text{Aufpunkt}} + \lambda \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}}_{\text{Richtungsvektor}}, \quad \lambda \in \mathbb{R}

Stell dir vor, du stehst auf einer Geraden und gehst in eine feste Richtung. Zwei Dinge legen den Weg fest: dein Startpunkt und die Richtung. Die Parameterform schreibt beides auf.

$\vec{p}$ ist der Aufpunkt: irgendein Punkt, der auf der Geraden liegt.
$\vec{v}$ ist der Richtungsvektor: ein Pfeil, der entlang der Geraden zeigt (nicht der Nullvektor, also nicht der Pfeil (0, 0)).
$\lambda$ ist der Parameter: eine beliebige reelle Zahl. Sie sagt, wie oft du den Pfeil $\vec{v}$ vom Startpunkt aus gehst, auch rückwärts bei negativem $\lambda$ .

In der Formel stehen $a, b$ für die zwei Zahlen des Aufpunkts und $c, d$ für die zwei Zahlen des Richtungsvektors. Für unsere Geraden benutzen wir feste Namen: $P_1$ und $v_1$ gehören zu $g_1$ , $P_2$ und $v_2$ zu $g_2$ . In der Grafik ist das für $g_1$ markiert: der Aufpunkt $P_1$ und der Pfeil $v_1$ , der von dort entlang der Geraden zeigt. Wir müssen also für jede Gerade einen Punkt und eine Richtung finden.

g₁: x als Parameter wählen

Gleichung von g₁ nach y auflösen

\begin{aligned} x + y &= 1 &&\mid -x \\ y &= 1 - x \\ \text{mit } x = \lambda:\quad x &= \lambda, \qquad y = 1 - \lambda \end{aligned}

Die Gleichung $x + y = 1$ hat zwei Unbekannte, aber nur eine Bedingung. Eine der beiden Zahlen können wir also frei wählen; die andere folgt daraus. Die frei gewählte Zahl ist unser Parameter. $\lambda$ spricht man „lambda“.

Wir wählen $x$ frei und nennen es $\lambda$ . Dann lösen wir die Gleichung nach $y$ auf: $y = 1 - x$ .

Rechts neben den Gleichungen steht hinter dem Strich, was wir auf beiden Seiten tun: $\mid -x$ heißt „auf beiden Seiten $x$ abziehen“, $\mid +1$ heißt „auf beiden Seiten 1 addieren“, $\mid :2$ heißt „auf beiden Seiten durch 2 teilen“.

Geraden: Parameterform und Schnittpunkt

Die Aufgabe

Was die Parameterform sagt

g₁: x als Parameter wählen

Die Ebene mit beiden Geraden

Abbildung 1Die Ebene mit beiden Geraden

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Was die Parameterform sagt

Schritt 2g₁: x als Parameter wählen

Die Ebene mit beiden Geraden

Abbildung 1Die Ebene mit beiden Geraden

Die Aufgabe

Was die Parameterform sagt

g₁: x als Parameter wählen