Lineare Unabhängigkeit im ℝ³ prüfen

Die Aufgabe

Welche der folgenden Mengen von Vektoren des $\mathbb{R}^3$ sind linear unabhängig?

U = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}, \quad V = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\},

W = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ -9 \\ 19 \end{pmatrix} \right\}, \quad X = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -11 \end{pmatrix} \right\}

Ein Vektor des $\mathbb{R}^3$ ist eine Spalte aus drei reellen Zahlen. Gegeben sind vier Mengen solcher Vektoren, benannt $U$ , $V$ , $W$ und $X$ . Für jede Menge ist gefragt: Sind ihre Vektoren linear unabhängig?

Wir brauchen zuerst zwei Begriffe. Eine Linearkombination von Vektoren $v_1, \dots, v_k$ ist eine Summe, in der jeder Vektor mit einer Zahl multipliziert wird:

a_1 \cdot v_1 + a_2 \cdot v_2 + \dots + a_k \cdot v_k

Die Zahlen $a_1, \dots, a_k$ heißen Koeffizienten. Setzt man alle Koeffizienten gleich 0, kommt immer der Nullvektor heraus, also die Spalte aus lauter Nullen. Das ist die triviale (selbstverständliche) Möglichkeit.

Merke: Vektoren heißen linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur mit

a_1 = \dots = a_k = 0

herauskommt. Gibt es noch eine andere Möglichkeit (mindestens ein Koeffizient ungleich 0), sind sie linear abhängig.

Warum heißt das „abhängig“? Ist etwa $a_2 \neq 0$ , kann man die Gleichung nach $v_2$ umstellen. Dann ist $v_2$ aus den anderen Vektoren zusammengebaut, er hängt also von ihnen ab.

In jeder Menge heißen die Vektoren der Reihe nach $v_1$ , $v_2$ und so weiter. $v_1$ in $U$ ist also nicht dasselbe wie $v_1$ in $V$ , auch wenn einzelne Vektoren in mehreren Mengen vorkommen. So gehen wir vor, mit jeder Menge einzeln:

Die Gleichung „Linearkombination = Nullvektor“ aufstellen.
Sie als Gleichungssystem schreiben, eine Gleichung je Zeile des Vektors.
Das System lösen (ab Menge V mit dem Gauß-Verfahren, das dort erklärt wird): Gibt es nur die Lösung 0, ist die Menge unabhängig; gibt es mehr, ist sie abhängig.

U: Gleichung mit Nullvektor aufstellen

Ansatz mit den Vektoren von U

a_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Zeile für Zeile: ein Faktor wird mit jeder Zahl des Vektors multipliziert

\begin{pmatrix} a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot (-2) \\ a_1 \cdot 2 + a_2 \cdot 1 \\ a_1 \cdot 0 + a_2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Das Gleichungssystem

\begin{aligned} \text{I:} \quad & a_1 - 2a_2 = 0 \\ \text{II:} \quad & 2a_1 + a_2 = 0 \\ \text{III:} \quad & a_2 = 0 \end{aligned}

Wir fragen, welche Zahlen $a_1$ und $a_2$ die Linearkombination zum Nullvektor machen. $a_1 = a_2 = 0$ geht immer. Entscheidend ist, ob es noch eine andere Möglichkeit gibt.

Ein Vektor ist gleich dem Nullvektor, wenn jede seiner drei Zeilen 0 ist. Darum zerfällt die eine Vektorgleichung in drei gewöhnliche Gleichungen, eine je Zeile. Wir nummerieren sie mit I, II und III.

U: das System lösen

Aus III

a_2 = 0

In I einsetzen

a_1 - 2 \cdot 0 = 0 \;\Rightarrow\; a_1 = 0

Probe in II

2 \cdot 0 + 0 = 0 \;\checkmark

Einzige Lösung ist $(a_1, a_2) = (0, 0)$ . Also ist $U$ linear unabhängig.

Gleichung III besteht nur aus $a_2$ , also steht $a_2$ fest. Dann setzen wir $a_2$ in eine andere Gleichung ein und erhalten $a_1$ .

Die Probe mit Gleichung II zeigt, dass kein Widerspruch entsteht. Es gibt also genau eine Lösung, die triviale. Nach dem Merke-Kasten heißt das: $U$ ist linear unabhängig.

Merke: Bei genau zwei Vektoren geht es auch ohne Rechnung. Sie sind linear abhängig genau dann, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Hier ist keiner ein Vielfaches des anderen:

v_1

hat in der dritten Zeile eine 0,

v_2

nicht. Wäre

v_1 = c \cdot v_2

, stünde dort

0 = c \cdot 1

, also

c = 0

und

v_1

wäre der Nullvektor. Das ist es nicht. Wäre

v_2 = c \cdot v_1

, stünde dort

1 = c \cdot 0

, ein Widerspruch.

Lineare Unabhängigkeit im ℝ³ prüfen

Die Aufgabe

U: Gleichung mit Nullvektor aufstellen

U: das System lösen

Die vier Mengen

Abbildung 1Die vier Mengen

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1U: Gleichung mit Nullvektor aufstellen

Schritt 2U: das System lösen

Die vier Mengen

Abbildung 1Die vier Mengen

Die Aufgabe

U: Gleichung mit Nullvektor aufstellen

U: das System lösen