Wahr oder falsch: lineare Unabhängigkeit

Die Aufgabe

5. Aufgabe. Wahr oder falsch? Bitte Begründung angeben.

a) Die Vektoren $v_1, v_2, \dots, v_n$ sind linear unabhängig, wenn eine Linearkombination von $v_1, v_2, \dots, v_n$ den Nullvektor ergibt.

b) Die Vektoren $v_1, v_2, \dots, v_n$ sind linear unabhängig, wenn ihre Summe 0 ergibt.

c) Die Vektoren $v_1, v_2, \dots, v_n$ sind linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur durch die triviale Linearkombination darstellbar ist.

d) Jede Teilmenge einer Menge linear unabhängiger Vektoren ist linear unabhängig.

e) Jede Teilmenge einer Menge linear abhängiger Vektoren ist linear abhängig.

Zu jeder der fünf Aussagen a) bis e) ist gefragt: wahr oder falsch, und warum. Alle Aussagen drehen sich um dieselbe Definition: wann Vektoren linear unabhängig sind. Was die Wörter bedeuten, klären die Schritte 1 und 2. Wer diese Definition sicher hat, kann alle fünf beantworten.

Merke: Eine allgemeine Aussage („für alle Vektoren …“) widerlegt ein einziges Gegenbeispiel. Um sie als wahr zu zeigen, braucht es einen Beweis für jeden möglichen Fall.

So gehen wir vor:

Die Begriffe: Linearkombination, triviale Linearkombination, unabhängig.
Aussagen a) und b): Gegenbeispiele.
Aussage c): Vergleich mit der Definition.
Aussage d): ein Beweis durch Widerspruch.
Aussage e): ein Gegenbeispiel.

Linearkombination und Nullvektor

Linearkombination, Beispiel mit e₁ und e₂

3 \cdot e_1 + 2 \cdot e_2 = 3\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}

Eine Linearkombination von Vektoren $v_1, \dots, v_n$ entsteht so: Man multipliziert jeden Vektor mit einer Zahl und addiert die Ergebnisse. Die Zahlen $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ heißen Koeffizienten. Der Nullvektor $0$ ist der Vektor, dessen Einträge alle 0 sind. Für die Zahl 0 und den Nullvektor schreiben wir dasselbe Zeichen 0; der Zusammenhang zeigt, was gemeint ist: Koeffizienten $\lambda$ sind Zahlen, eine Summe von Vektoren ergibt den Nullvektor.

In den Beispielen unten kommt $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ vor: der Vektor im $\mathbb{R}^2$ mit den Einträgen 1 und 0. Mit $e_2$ meinen wir $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Die Definition: unabhängig und abhängig

Definition · lineare Unabhängigkeit

Die Vektoren $v_1, \dots, v_n$ heißen linear unabhängig, wenn aus

\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n = 0

immer $\lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$ folgt. Gibt es eine Lösung mit mindestens einem $\lambda_i \neq 0$ , heißen sie linear abhängig.

Die Linearkombination mit lauter Nullen als Koeffizienten, also $0 \cdot v_1 + \dots + 0 \cdot v_n$ , heißt trivial. Sie ergibt immer den Nullvektor, egal welche Vektoren man nimmt.

Spannend ist die Frage: Gibt es noch eine andere Möglichkeit, den Nullvektor zu erzeugen, also mit mindestens einem Koeffizienten ungleich 0? Ist die Antwort „nein“, sind die Vektoren unabhängig. Ist sie „ja“, sind sie abhängig: Dann lässt sich einer der Vektoren aus den anderen zusammensetzen. Beispiel: Aus $2 \cdot v_1 - 1 \cdot v_2 = 0$ folgt $v_2 = 2 \cdot v_1$ . Allgemein löst man nach einem Vektor mit $\lambda_i \neq 0$ auf und teilt durch $\lambda_i$ .

Aus Ü2 A4 („Lineare Unabhängigkeit im ℝ³ prüfen“): Dort wurde mit genau dieser Definition geprüft: Ansatz „Linearkombination gleich Nullvektor“, dann nachsehen, ob nur alle Koeffizienten gleich 0 möglich sind.

Merke: „Der Nullvektor ergibt sich“ reicht nie. Entscheidend ist, ob nur die triviale Kombination ihn ergibt.

Wahr oder falsch: lineare Unabhängigkeit

Die Aufgabe

Linearkombination und Nullvektor

Die Definition: unabhängig und abhängig

Die fünf Aussagen

Abbildung 1Die fünf Aussagen

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Linearkombination und Nullvektor

Schritt 2Die Definition: unabhängig und abhängig

Die fünf Aussagen

Abbildung 1Die fünf Aussagen

Die Aufgabe

Linearkombination und Nullvektor

Die Definition: unabhängig und abhängig