Neue Vektoren aus unabhängigen Vektoren: abhängig oder unabhängig?

Die Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum. Die drei Vektoren $a, b, c \in V$ seien linear unabhängig. Sind die folgenden Vektorenmengen linear abhängig oder linear unabhängig?

$v = a + b$ , $w = a - b$ .
$v = a - b + c$ , $w = 2a - b - c$ , $x = a - 2c$ .
$v = a - b + c$ , $w = a - b - c$ , $x = a - 2c$ , $y = a + b - c$ .

Wir kennen drei Vektoren $a, b, c$ . Von ihnen wissen wir nur eins: Sie sind linear unabhängig. Aus ihnen bauen wir neue Vektoren, indem wir sie addieren, subtrahieren und mit Zahlen malnehmen. Dann fragen wir: Sind diese neuen Vektoren unabhängig oder abhängig?

Die Aufgabe spricht von „Vektorenmengen“. Gemeint sind die Mengen $\{v, w\}$ , $\{v, w, x\}$ und $\{v, w, x, y\}$ , die in a), b) und c) genannt werden.

Merke: Die Regel, die den ganzen Weg trägt, erklären die Schritte 1 und 2.

Definition von „linear unabhängig“ und warum man Koeffizienten vergleichen darf.
a) Zwei Vektoren: das System hat nur die Lösung 0, sie sind unabhängig.
b) Drei Vektoren: das System hat eine Lösung ungleich 0, sie sind abhängig.
c) Vier Vektoren: ebenfalls abhängig, mit passender Lösung und Probe.

Was „linear unabhängig“ bedeutet

Definition · lineare Unabhängigkeit

Vektoren $v_1, \dots, v_k$ heißen linear unabhängig, wenn aus

\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_k v_k = 0

folgt, dass alle Faktoren $\lambda_1 = \dots = \lambda_k = 0$ sind. Gibt es eine Lösung, in der mindestens ein Faktor nicht 0 ist, heißen die Vektoren linear abhängig.

Eine Linearkombination von Vektoren ist eine Summe, in der jeder Vektor mit einer Zahl (einem Faktor) malgenommen wird, zum Beispiel $2a - 3b$ . Der Nullvektor, geschrieben $0$ , ist der Vektor, der nichts verändert, wenn man ihn addiert.

Wählt man alle Faktoren gleich 0, ergibt jede Linearkombination den Nullvektor. Das ist immer möglich und sagt nichts aus. Entscheidend ist, ob es noch eine andere Wahl der Faktoren gibt, die den Nullvektor liefert.

Aus Ü2 A4 („Lineare Unabhängigkeit im ℝ³ prüfen“): Vektoren sind linear unabhängig, wenn nur die Faktoren 0 den Nullvektor ergeben. Es ist ein Test, den man mit einem Gleichungssystem für die Faktoren durchführt.

Warum man Koeffizienten vergleichen darf

Voraussetzung der Aufgabe: a, b, c sind linear unabhängig

\alpha a + \beta b + \gamma c = 0 \;\Rightarrow\; \alpha = 0,\ \beta = 0,\ \gamma = 0

Dabei sind $\alpha, \beta, \gamma$ die Zahlen vor $a$ , $b$ und $c$ . Wir ordnen künftig so: Zuerst alles mit $a$ , dann alles mit $b$ , dann alles mit $c$ .

Die Aufgabe sagt: $a, b, c$ sind unabhängig. Nach der Definition heißt das: Ein Ausdruck $\alpha a + \beta b + \gamma c$ ist nur dann der Nullvektor, wenn $\alpha$ , $\beta$ und $\gamma$ alle 0 sind.

Das nutzen wir in jedem Teil. Wir setzen die neuen Vektoren in die Gleichung der Definition ein und sortieren nach $a$ , $b$ und $c$ . Dann steht links genau ein Ausdruck dieser Form. Seine drei Koeffizienten müssen 0 sein. Das sind drei Gleichungen für die gesuchten Faktoren.

Umgekehrt gilt immer: Sind alle Koeffizienten 0, ist der Ausdruck der Nullvektor. Deshalb löst jede Lösung des entstehenden Systems auch die Vektorgleichung.

Vektor	a	b	c	Faktor
v	1	−1	1	1
w	2	−1	−1	−1
x	1	0	−2	1
Summe	0	0	0

Vektor	a	b	c	Faktor
v	1	−1	1	−1
w	1	−1	−1	2
x	1	0	−2	−2
y	1	1	−1	1
Summe	0	0	0

Neue Vektoren aus a, b, c: abhängig oder unabhängig?

Die Aufgabe

Was „linear unabhängig“ bedeutet

Warum man Koeffizienten vergleichen darf

Die neuen Vektoren

Abbildung 1Die neuen Vektoren

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Was „linear unabhängig“ bedeutet

Schritt 2Warum man Koeffizienten vergleichen darf

Die neuen Vektoren

Abbildung 1Die neuen Vektoren

Die Aufgabe

Was „linear unabhängig“ bedeutet

Warum man Koeffizienten vergleichen darf