Koordinaten bezüglich einer Basis berechnen

Die Aufgabe

Betrachtet wird der Vektorraum $V = \mathbb{R}^3$ . Berechnen Sie die Koordinaten des Vektors $b$ , der im kartesischen Koordinatensystem die Darstellung $b = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}_{\text{Kartesisch}}$ hat, bezüglich der Basen

a) $B_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$ und

b) $B_2 = \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$ .

Gegeben ist der Vektor $b = (1, 3, 0)$ des Raums $\mathbb{R}^3$ , wie man ihn aus dem gewohnten Koordinatensystem kennt (kartesisch). Gesucht sind seine Koordinaten bezüglich zwei anderer Basen: drei Zahlen je Basis, mit denen sich $b$ aus den Basisvektoren zusammensetzen lässt.

Das Gauß-Verfahren kennst du aus Ü2 A4; wir erklären es hier noch einmal in Schritt 3.

So gehen wir vor:

Klären, was „Koordinaten bezüglich einer Basis“ heißt.
Teil a): Die Gleichung „Linearkombination = $b$ “ als Gleichungssystem schreiben, als Matrix aufschreiben und lösen.
Teil b): dasselbe mit der zweiten Basis; hier braucht das Gauß-Verfahren echte Zeilenumformungen.
Jeweils die Probe machen.

Die handschriftliche Musterlösung schreibt Teil b) als periodische Dezimalzahlen. Wir rechnen mit Brüchen, weil sie exakt sind. Am Ende zeigen wir, dass beide Schreibweisen dieselben Zahlen sind.

Merke: Die Koordinaten bezüglich einer Basis sind die Faktoren, mit denen man die Basisvektoren multiplizieren und addieren muss, um den Vektor zu erhalten.

Was „Koordinaten bezüglich einer Basis“ bedeutet

kartesisch: Koordinaten bezüglich der Standardbasis

\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

bezüglich B₁: gesucht sind λ₁, λ₂, λ₃

\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Eine Basis des $\mathbb{R}^3$ besteht aus drei Vektoren, die linear unabhängig sind (keiner lässt sich aus den anderen mischen) und aus denen sich jeder Vektor des Raums mischen lässt. Eine Mischung aus Vektoren heißt Linearkombination: Man multipliziert jeden Vektor mit einer Zahl und addiert die Ergebnisse.

Bei einer Basis gibt es für jeden Vektor genau eine solche Mischung. Gäbe es zwei verschiedene, wäre ihre Differenz eine Linearkombination des Nullvektors mit nicht lauter Nullen als Faktoren. Das schließt die lineare Unabhängigkeit aus. Die Mischzahlen heißen deshalb die Koordinaten bezüglich der Basis.

Die kartesische Darstellung $(1, 3, 0)$ ist auch eine Koordinatendarstellung, nämlich bezüglich der Standardbasis $e_1 = (1,0,0),\ e_2 = (0,1,0),\ e_3 = (0,0,1)$ . Bei $B_1$ nennen wir die Basisvektoren $v_1$ , $v_2$ , $v_3$ und die gesuchten Zahlen $\lambda_1$ , $\lambda_2$ , $\lambda_3$ .

Die Gleichung Zeile für Zeile lesen

rechte Seite zusammengefasst

\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 \\ \lambda_2 + \lambda_3 \\ \lambda_3 \end{pmatrix}

je ein Eintrag, eine Gleichung

\begin{aligned} \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 &= 1 \\ \lambda_2 + \lambda_3 &= 3 \\ \lambda_3 &= 0 \end{aligned}

Aus Ü2 A4 („Lineare Unabhängigkeit im ℝ³ prüfen“): Eine Linearkombination ist eine Summe von Vielfachen. Zwei Vektoren sind gleich, wenn alle ihre Einträge gleich sind. So wird aus einer Vektorgleichung ein lineares Gleichungssystem (LGS).

Wir rechnen die rechte Seite aus. Jeder Basisvektor wird mit seiner Zahl multipliziert, dann addiert man Eintrag für Eintrag. Die Einträge links und rechts müssen übereinstimmen. Das gibt eine Gleichung je Eintrag, also drei Gleichungen für die drei Unbekannten.

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Was „Koordinaten bezüglich einer Basis“ bedeutet

Schritt 2Die Gleichung Zeile für Zeile lesen

Teil a)

Abbildung 1Teil a)

Die Aufgabe

Was „Koordinaten bezüglich einer Basis“ bedeutet

Die Gleichung Zeile für Zeile lesen