Wahr oder falsch: Summen und Unterräume

Die Aufgabe

4. Aufgabe. Wahr oder falsch? Bitte Begründung angeben.

Sei $U$ ein Unterraum des Vektorraumes $V$ . Dann gilt für alle $u_1, u_2 \in V$

a) $u_1, u_2 \notin U \Rightarrow u_1 + u_2 \notin U$

b) $u_1, u_2 \notin U \Rightarrow u_1 + u_2 \in U$

c) $u_1, u_2 \notin U \Rightarrow u_1 - u_2 \in U$

d) $u_1 \notin U,\ u_2 \in U \Rightarrow u_1 + u_2 \notin U$ .

Gegeben ist ein Vektorraum $V$ und darin ein Unterraum $U$ . Die vier Aussagen fragen: Wenn ich weiß, ob $u_1$ und $u_2$ in $U$ liegen, weiß ich dann auch, ob ihre Summe (oder Differenz) in $U$ liegt? Das Zeichen $\in$ heißt „liegt in“, $\notin$ heißt „liegt nicht in“, und $\Rightarrow$ heißt „daraus folgt“.

Merke: Jede Aussage behauptet etwas für alle Unterräume und alle Vektoren. Ein einziges Gegenbeispiel macht sie falsch. Um sie als wahr zu zeigen, braucht es einen Beweis, der für jeden Fall gilt.

So gehen wir vor:

Was ein Unterraum ist, und unser Beispiel: die x-Achse in der Ebene.
Aussagen a), b) und c): je ein Gegenbeispiel mit Pfeilen.
Aussage d): ein Beweis durch Widerspruch.

Was ein Unterraum ist

Definition · Unterraum

Eine Teilmenge $U \subseteq V$ eines Vektorraums $V$ heißt Unterraum, wenn gilt:

$U$ ist nicht leer. (Dann liegt auch der Nullvektor in $U$ : Mit einem $u \in U$ ist nach Regel 3 auch $0 \cdot u = 0 \in U$ .)
$u, v \in U \ \Rightarrow\ u + v \in U$
$u \in U,\ \lambda \text{ eine Zahl} \ \Rightarrow\ \lambda \cdot u \in U$

Aus Ü2 A1 („Vektorraum-Axiome an 2×2-Matrizen prüfen“): Ein Vektorraum ist eine Menge, in der man Vektoren addieren und mit Zahlen multiplizieren kann, und dabei gelten die Rechenregeln (Axiome) aus dieser Aufgabe.

Ein Unterraum $U$ ist eine Teilmenge von $V$ , in der man nicht „herausfällt“: Addiert man zwei Vektoren aus $U$ , liegt die Summe wieder in $U$ . Multipliziert man einen Vektor aus $U$ mit einer Zahl $\lambda$ (gesprochen „lambda“), liegt das Ergebnis wieder in $U$ . Man sagt: $U$ ist abgeschlossen unter Addition und Vielfachen.

Die übrigen Rechenregeln (etwa „Klammern verschieben“) muss man für $U$ nicht neu prüfen: Die Vektoren von $U$ sind Vektoren von $V$ , dort gelten sie schon. Darum genügen die drei Regeln unten.

Für Aussage d) brauchen wir genau diese beiden Regeln. Für a) bis c) brauchen wir ein konkretes Beispiel eines Unterraums.

Das Beispiel: U ist die x-Achse

Der Unterraum U im ℝ²

U = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} \,\middle|\, x \in \mathbb{R} \right\}

Zwei Beispiele

\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \in U, \qquad \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \notin U \ \ (\text{zweiter Eintrag } 1 \neq 0)

Für die Gegenbeispiele nehmen wir $V = \mathbb{R}^2$ , die Ebene, und als $U$ die x-Achse: alle Vektoren, deren zweiter Eintrag 0 ist. Ein Vektor liegt also genau dann in $U$ , wenn sein zweiter Eintrag 0 ist. So prüfen wir in jedem Schritt mit einem Blick auf eine Zahl. Platzsparend schreiben wir einen Vektor auch als Zeile: $(1, 1)$ meint den Vektor mit den Einträgen 1 und 1, so wie die Punkte in der Grafik beschriftet sind.

$U$ ist ein Unterraum: Die Summe zweier Vektoren mit zweitem Eintrag 0 hat wieder zweiten Eintrag $0 + 0 = 0$ . Ein Vielfaches hat zweiten Eintrag $\lambda \cdot 0 = 0$ . Und der Nullvektor liegt auf der Achse.

Darf man die Aussagen an einem Beispiel prüfen? Zum Widerlegen ja: Sie sollen für jeden Unterraum gelten, also auch für die x-Achse. Scheitern sie dort, sind sie falsch.

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Was ein Unterraum ist

Schritt 2Das Beispiel: U ist die x-Achse

Der Unterraum U

Abbildung 1Der Unterraum U

Die Aufgabe

Was ein Unterraum ist

Das Beispiel: U ist die x-Achse