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LAG · Übungsblatt 3 · Aufgabe 5

Polynome auf lineare Unabhängigkeit prüfen

Gegeben sind zweimal drei Polynome. Für jede Dreiergruppe ist zu entscheiden, ob die Polynome linear unabhängig sind. Das heißt: Keines lässt sich aus den anderen zusammenbauen. Der Weg: Jedes Polynom wird zu einer Spalte aus Zahlen, dann wird ein Gleichungssystem aufgestellt und mit dem Gauß-Verfahren gelöst. Rechts stehen die Zahlenspalten, links der Lösungsweg. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Sei P(n)P(n) die Menge aller reeller Polynome nn-ten Grades. Seien ferner p(x),q(x)∈P(n)p(x), q(x) \in P(n). Dann ist eine übliche Darstellung

p(x)=anxn+an−1xn−1+an−2xn−1+⋯+a1x+a0p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0
q(x)=bnxn+bn−1xn−1+bn−2xn−1+⋯+b1x+b0q(x) = b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + b_{n-2} x^{n-1} + \dots + b_1 x + b_0

mit ai,bi∈R ∀i=0,1…na_i, b_i \in \mathbb{R}\ \forall i = 0, 1 \dots n. Die Menge P(n)P(n) bildet mit der Addition

p(x)+q(x)=(an+bn)xn+(an−1+bn−1)xn−1+⋯+(a1+b1)x+a0+b0p(x) + q(x) = (a_n + b_n) x^n + (a_{n-1} + b_{n-1}) x^{n-1} + \dots + (a_1 + b_1) x + a_0 + b_0

und der Skalarmultiplikation mit λ∈R\lambda \in \mathbb{R}

λ⋅p(x)=λ⋅anxn+λ⋅an−1xn−1+λ⋅an−2xn−2+⋯+λ⋅a1x+λ⋅a0\lambda \cdot p(x) = \lambda \cdot a_n x^n + \lambda \cdot a_{n-1} x^{n-1} + \lambda \cdot a_{n-2} x^{n-2} + \dots + \lambda \cdot a_1 x + \lambda \cdot a_0

einen reellen Vektorraum VV.

Sind die folgenden Vektoren aus P(3)P(3) linear unabhängig oder linear abhängig?

a)

p1(x)=3x3+x2,p2(x)=7,5x3−4x2−3,p3(x)=−x3+4x2+2p_1(x) = 3x^3 + x^2, \qquad p_2(x) = 7{,}5x^3 - 4x^2 - 3, \qquad p_3(x) = -x^3 + 4x^2 + 2

b)

q1(x)=x3+2x−1,q2(x)=x3−x+1,q3(x)=2x3+xq_1(x) = x^3 + 2x - 1, \qquad q_2(x) = x^3 - x + 1, \qquad q_3(x) = 2x^3 + x

Ein Polynom ist eine Summe von Potenzen von xx, jede mit einer Zahl davor, zum Beispiel 3x3+x23x^3 + x^2. Die Zahlen vor den Potenzen heißen Koeffizienten. Der Grad ist die höchste vorkommende Potenz. P(3)P(3) ist die Menge aller Polynome bis zum Grad 3. Gemeint ist „vom Grad höchstens 3“: Sonst wäre zum Beispiel das Nullpolynom (alle Koeffizienten 0) nicht dabei, und Summen von Polynomen könnten aus der Menge herausfallen.

Der Aufgabentext sagt: Diese Polynome kann man wie Vektoren addieren und mit Zahlen multiplizieren, die Menge ist also ein Vektorraum. Darum ist die Frage nach linearer Unabhängigkeit sinnvoll. Die Polynome sind hier die „Vektoren“.

Aus Ü2 A4 („Lineare Unabhängigkeit im ℝ³ prüfen“): Eine Linearkombination multipliziert jeden Vektor mit einer Zahl und addiert alles. Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn die Linearkombination nur dann den Nullvektor ergibt, wenn alle Zahlen 0 sind. Gibt es eine andere Möglichkeit, sind sie linear abhängig. Der Nullvektor im Vektorraum der Polynome ist das Nullpolynom.
Merke: Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn alle ihre Koeffizienten gleich sind. Darum kann man jedes Polynom bis Grad 3 durch seine vier Koeffizienten ersetzen und mit diesen Zahlen rechnen.

Hinweis zum Aufgabentext: In den Formeln für p(x)p(x) und q(x)q(x) steht beim dritten Summanden xn−1x^{n-1}. Das ist ein Tippfehler. Es muss xn−2x^{n-2} heißen, so steht es auch in der Formel für λ⋅p(x)\lambda \cdot p(x). Für die Aufgabe spielt das keine Rolle, denn die Polynome in a) und b) sind ausgeschrieben.

So gehen wir vor, für a) und b) getrennt:

  1. Jedes Polynom als Spalte seiner vier Koeffizienten schreiben.
  2. Die Gleichung „Linearkombination = Nullpolynom“ aufstellen.
  3. Sie als Gleichungssystem schreiben, eine Gleichung je Zeile (je Potenz von xx).
  4. Mit dem Gauß-Verfahren lösen. Gibt es nur die Lösung 0, sind die Polynome unabhängig; gibt es mehr, sind sie abhängig.
Aus Ü2 A4 („Lineare Unabhängigkeit im ℝ³ prüfen“): Das Gauß-Verfahren formt ein Gleichungssystem Zeile für Zeile um, bis man die Lösung ablesen kann. Die erlaubten Umformungen stehen in Schritt 4.

a) Polynome als Koeffizientenspalten schreiben

Koeffizienten in der Reihenfolge x³, x², x, 1
p1=(3100),p2=(7,5−40−3),p3=(−1402)p_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad p_2 = \begin{pmatrix} 7{,}5 \\ -4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}, \quad p_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}

Ein Polynom bis Grad 3 hat vier Koeffizienten: den vor x3x^3, vor x2x^2, vor xx und die Zahl ohne xx. Wir schreiben sie in dieser festen Reihenfolge untereinander. Das ist der Koeffizientenvektor des Polynoms. Fehlt eine Potenz, ist ihr Koeffizient 0.

Warum tun wir das? Addieren und Multiplizieren mit einer Zahl gehen bei Polynomen Koeffizient für Koeffizient. Mit den Zahlenspalten rechnen wir daher genauso wie mit den Polynomen, aber viel übersichtlicher.

In p1p_1 kommen xx und die Zahl ohne xx nicht vor, in p2p_2 und p3p_3 kommt xx nicht vor. Diese Koeffizienten sind 0.

a) Ansatz: Linearkombination gleich Nullpolynom

Ansatz mit den Koeffizientenspalten
λ1(3100)+λ2(7,5−40−3)+λ3(−1402)=(0000)\lambda_1 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 7{,}5 \\ -4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Wir fragen: Welche Zahlen λ1,λ2,λ3\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 machen die Linearkombination zum Nullpolynom? (Das griechische λ\lambda heißt „Lambda“; es sind die Faktoren, mit denen wir die Polynome multiplizieren.) λ1=λ2=λ3=0\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0 geht immer. Entscheidend ist, ob es noch eine andere Möglichkeit gibt.

Das Nullpolynom hat in der Koeffizientenspalte lauter Nullen. Nach dem Merke-Kasten heißt „gleich dem Nullpolynom“: Jeder der vier Koeffizienten der Summe ist 0.

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Die sechs Polynome

Koeffizienten als Spalten, mit Ergebnis

Abbildung 1Die sechs Polynome

Koeffizienten als Spalten, mit Ergebnis

Teilaufgabe a)Koeffizienten, Zeilen: x³, x², x, 1
x³x²x1
p₁
3100
p₂
7,5−40−3
p₃
−1402
  • p₁ = 3x³ + x²
  • p₂ = 7,5x³ − 4x² − 3
  • p₃ = −x³ + 4x² + 2

linear abhängig · −4·p₁ + 2·p₂ + 3·p₃ = Nullpolynom

Teilaufgabe b)Koeffizienten, Zeilen: x³, x², x, 1
x³x²x1
q₁
102−1
q₂
10−11
q₃
2010
  • q₁ = x³ + 2x − 1
  • q₂ = x³ − x + 1
  • q₃ = 2x³ + x

linear abhängig · −1·q₁ − 1·q₂ + 1·q₃ = Nullpolynom

LegendeTeilaufgabe, um die es im Schritt gehtDie sechs Polynome der Aufgabe als Zahlenspalten, jeweils mit dem Ergebnis. Der Lösungsweg zeigt, wie man darauf kommt.