Rang einer Matrix, auch mit Parameter t

Die Aufgabe

Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrizen.

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 5 & 16 \\ 1 & 0 & 3 & 4 & 15 \\ 1 & 3 & 10 & 14 & 52 \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} 8 & -2 & 0 & 4 \\ -2 & 6 & 7 & 5 \\ -2 & 1 & t & 8 \\ 4 & -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}

(hier ist der Rang abhängig von t).

Gegeben sind zwei Matrizen. $A$ hat vier Zeilen und fünf Spalten und enthält nur feste Zahlen. $B$ hat vier Zeilen und vier Spalten; in Zeile III steht die Zahl $t$ , die wir nicht kennen. Gesucht ist jeweils der Rang.

„Der Rang ist abhängig von t“ heißt: Für verschiedene Werte von $t$ kann ein anderer Rang herauskommen. Wir müssen also sagen, bei welchen $t$ welcher Rang gilt.

Merke: Der Rang ist die Anzahl der Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen, nachdem man die Matrix mit Zeilenoperationen auf Stufenform gebracht hat. Zeilenoperationen ändern den Rang nicht.

So gehen wir vor:

a) Gauß-Verfahren auf $A$ : Nullen unterhalb der ersten Zahl jeder Zeile erzeugen, dann die Zeilen zählen, die nicht nur Nullen enthalten.
b) Dasselbe mit $B$ . Die Zahl $t$ wandert dabei in die Rechnung. Wir erzeugen die Nullen so, dass wir nie durch einen Ausdruck mit $t$ teilen müssen.
Am Ende steht ein Ausdruck mit $t$ an einer Stelle, an der entweder eine Stufe entsteht oder nicht. Wir lösen, wann er null ist, und untersuchen beide Fälle getrennt.

Was der Rang ist und woran man ihn abliest

Regel

\operatorname{Rang}(A) = \text{Zahl der Zeilen} \neq (0\;0\;0\;0\;0) \text{ in der Stufenform}

Aus Ü4 A1 („Rang einer 2×3-Matrix, Spaltenabhängigkeit und neue Zeilen“): Den Rang bestimmt man mit dem Gauß-Verfahren. Danach zählt man die Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen.

Drei Erlaubnisse, die den Rang nicht ändern: zwei Zeilen vertauschen, eine Zeile mit einer Zahl $\neq 0$ multiplizieren, ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren. Damit baut man die Matrix um, bis sie Stufenform hat: Jede Zeile beginnt (mit einer Zahl $\neq 0$ ) weiter rechts als die Zeile darüber, und Nullzeilen stehen ganz unten. Jede Zeile, die nicht nur aus Nullen besteht, bildet eine Stufe.

Warum man dann zählen kann: In der Stufenform ist keine Zeile aus den anderen zusammensetzbar. Jede Zeile, die nicht nur aus Nullen besteht, trägt also Information, die die anderen nicht haben.

Zeile I und Zeile III tauschen

Zeile I und Zeile III vertauscht

\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 5 & 16 \\ 1 & 0 & 3 & 4 & 15 \\ 1 & 3 & 10 & 14 & 52 \end{bmatrix} \;\longrightarrow\; \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 4 & 15 \\ 0 & 1 & 3 & 5 & 16 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 5 \\ 1 & 3 & 10 & 14 & 52 \end{bmatrix}

Die erste Spalte soll unter der ersten Zeile nur Nullen haben. Dafür braucht die erste Zeile dort eine Zahl $\neq 0$ . In $A$ steht oben links aber eine $0$ .

Zeile III und Zeile IV beginnen mit einer 1. Wir wählen Zeile III, weil sie die kleineren Zahlen hat. Zeilentausch ändert den Rang nicht.

I	1	0	3	4	15
II	0	1	3	5	16
III	0	0	−2	−5	−11
IV	0	0	−2	−5	−11

Rang einer Matrix, auch mit Parameter t

Die Aufgabe

Was der Rang ist und woran man ihn abliest

Zeile I und Zeile III tauschen

Die Matrix A in ihren Zuständen

Abbildung 1Die Matrix A in ihren Zuständen

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Was der Rang ist und woran man ihn abliest

Schritt 2Zeile I und Zeile III tauschen

Die Matrix A in ihren Zuständen

Abbildung 1Die Matrix A in ihren Zuständen

Die Aufgabe

Was der Rang ist und woran man ihn abliest

Zeile I und Zeile III tauschen