Wahr oder falsch: Spalten eines Matrixprodukts

Die Aufgabe

5. Aufgabe. Wahr oder falsch? Bitte mit Begründung!

Wenn $A$ und $B$ zwei reelle $n \times n$ -Matrizen sind, dann gilt:

a) Die Spalten der Produktmatrix $A \cdot B$ sind Linearkombinationen der Spalten von $A$ .

b) Die Spalten von $A \cdot B$ sind Linearkombinationen der Spalten von $B$ .

c) Wenn in $A$ die ersten beiden Spalten gleich sind, so ist das auch in $A \cdot B$ der Fall.

d) Wenn in $B$ die ersten beiden Spalten gleich sind, so ist das auch in $A \cdot B$ der Fall.

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Eine $n \times n$ -Matrix hat $n$ Zeilen und $n$ Spalten. Jede Spalte ist ein Vektor mit $n$ Einträgen. Die Aussagen fragen: Was erbt das Produkt $A \cdot B$ von den Spalten von $A$ , was von den Spalten von $B$ ?

Merke: Jede Aussage soll für alle

n \times n

-Matrizen gelten. Ein einziges Gegenbeispiel macht sie falsch. Um sie als wahr zu zeigen, braucht es einen Beweis, der für jede Matrix gilt.

Zur Musterlösung: Dort stand zuerst „w f f w“ (wahr, falsch, falsch, wahr). Später wurde mit dunklerer Tinte c) zu „w“ und d) zu „f“ geändert. Diese Änderung stimmt nicht: In c) zeigt ein Gegenbeispiel (Schritt 7), dass die Aussage falsch ist. In d) zeigt ein Beweis (Schritt 10), dass sie wahr ist. Richtig ist die erste Fassung: a) wahr, b) falsch, c) falsch, d) wahr.

So gehen wir vor:

Wie man zwei Matrizen multipliziert, und die Spaltenregel.
Aussage a): Beweis mit der Spaltenregel.
Aussagen b) und c): je ein Gegenbeispiel mit 2×2-Matrizen.
Aussage d): Beweis mit der Spaltenregel, dann eine Probe.

Wie man zwei Matrizen multipliziert

Die Regel für 2×2-Matrizen

(A \cdot B)_{ij} = A_{i1} \cdot B_{1j} + A_{i2} \cdot B_{2j}

Allgemein für n×n-Matrizen: n Produkte, Summe über k = 1 bis n

(A \cdot B)_{ij} = A_{i1} \cdot B_{1j} + A_{i2} \cdot B_{2j} + \dots + A_{in} \cdot B_{nj}

Das Beispiel, alle vier Einträge

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 10 & 4 \end{pmatrix}

Wir rechnen mit einem Beispiel aus zwei $2 \times 2$ -Matrizen. $A_{ik}$ ist der Eintrag in Zeile $i$ und Spalte $k$ von $A$ ; bei $B$ genauso.

Den Eintrag in Zeile $i$ , Spalte $j$ des Produkts erhält man so: Zeile $i$ von $A$ und Spalte $j$ von $B$ nebeneinanderlegen, Eintrag für Eintrag multiplizieren und alles addieren. Oben links (Zeile 1, Spalte 1): $1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 4$ . Bei $n \times n$ -Matrizen sind es $n$ Produkte statt zwei; die Regel bleibt dieselbe.

Die Spaltenregel: Spalte j von A · B ist A · bⱼ

Spalte 1 von A · B

A \cdot b_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \end{pmatrix}

Spalte 2 von A · B

A \cdot b_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \\ 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}

Wir nennen die Spalten von $B$ kurz $b_1$ und $b_2$ . Im Beispiel ist $b_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Schauen wir nur auf die erste Spalte von $A \cdot B$ , also $(4, 10)$ . Beide Einträge haben wir mit Spalte 1 von $B$ gerechnet; Spalte 2 von $B$ kam darin nicht vor. Die erste Spalte ist also genau $A$ mal den Vektor $b_1$ . Matrix mal Vektor rechnet man mit derselben Regel, nur mit einer einzigen Spalte.

Das gilt für jedes $n$ : In der Regel aus Schritt 1 kommen aus $B$ nur die Einträge $B_{1j}, \dots, B_{nj}$ vor, also nur Spalte $j$ . Schreibt man die Einträge $(A \cdot B)_{1j}, \dots, (A \cdot B)_{nj}$ untereinander, steht dort genau die Rechnung für $A \cdot b_j$ .

Merke (Spaltenregel): Spalte

j

von

A \cdot B

ist

A \cdot b_j

. Sie hängt nur von Spalte

j

von

B

ab, aber von ganz

A

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Wie man zwei Matrizen multipliziert

Schritt 2Die Spaltenregel: Spalte j von A · B ist A · bⱼ

Das Beispiel

Abbildung 1Das Matrixprodukt

Die Aufgabe

Wie man zwei Matrizen multipliziert

Die Spaltenregel: Spalte j von A · B ist A · bⱼ