Nebenklassen: verschobene Unterräume

Die Aufgabe

7. Aufgabe. Unter einer Nebenklasse $N(v,U)$ eines Untervektorraumes $U$ des Vektorraumes $V$ versteht man die Menge

N(v,U) = v + U \quad \text{(symbolische Schreibweise)},

wobei $v \in V$ ein beliebiger Vektor in $V$ (und damit möglicherweise auch in $U$ ) ist.

a) Wie kann man sich eine Nebenklasse geometrisch veranschaulichen?

b) Sind Nebenklassen Untervektorräume? Falls ja, warum? Falls nein, evtl. wann doch?

c) Beweisen Sie folgenden Satz.

Satz: Sei $U$ ein Unterraum von $V$ . Zwei Nebenklassen

v_1 + U = \{ v_1 + u \mid u \in U,\ v_1 \in V \}

v_2 + U = \{ v_2 + u \mid u \in U,\ v_2 \in V \}

sind gleich, wenn gilt

v_1 - v_2 \in U,

also

v_1 + U = v_2 + U \Rightarrow v_1 - v_2 \in U.

Gegeben ist ein Vektorraum $V$ , darin ein Unterraum $U$ und ein beliebiger Vektor $v$ . Die Aufgabe fragt dreierlei: Wie sieht $v + U$ aus (a)? Ist $v + U$ wieder ein Unterraum, und wenn nur manchmal, wann (b)? Und wann sind zwei Nebenklassen $v_1 + U$ und $v_2 + U$ gleich (c)?

Das Zeichen $\in$ heißt „liegt in“, $\notin$ heißt „liegt nicht in“, $\Rightarrow$ heißt „daraus folgt“. Zahlen gibt die Aufgabe nicht vor. Zum Zeichnen wählen wir ein Beispiel in der Ebene $\mathbb{R}^2$ ; die Beweise gelten dann für jeden Vektorraum.

Merke: Eine Nebenklasse ist ein verschobener Unterraum. Ein Unterraum muss den Nullvektor enthalten; ein verschobener tut das nur, wenn man ihn „in sich selbst“ verschiebt.

Zwei Hinweise vorab. Die Musterlösung antwortet bei b) nur „Nein“; die Frage „wann doch?“ beantworten wir in Schritt 9. Und der Satz in c) mischt „wenn“ und „daraus folgt“; wir beweisen beide Richtungen (Schritt 10 erklärt, warum).

So gehen wir vor:

a) Was $v + U$ bedeutet, und das Bild dazu: eine parallel verschobene Gerade.
b) Liegt der Nullvektor in $v + U$ ? Genau dann, wenn $v \in U$ .
c) Der Satz über gleiche Nebenklassen, in beide Richtungen bewiesen.

Was v + U bedeutet

Die Nebenklasse ausgeschrieben

N(v,U) = v + U = \{\, v + u \mid u \in U \,\}

Probe, ob ein Vektor x darin liegt

x \in v + U \iff x = v + u \ \text{ für ein } u \in U

Aus Ü3 A4 („Wahr oder falsch: Summen und Unterräume“): Ein Unterraum

U

ist eine nichtleere Teilmenge von

V

, die Summen und Vielfache ihrer Vektoren enthält. Darum liegt auch der Nullvektor

0

in jedem Unterraum: Man nimmt irgendein

u

aus

U

(

U

ist nicht leer) und bildet das Vielfache

0 \cdot u = 0

Einen Vektor kann man nicht wirklich zu einer Menge addieren. Darum nennt die Aufgabe $v + U$ eine „symbolische Schreibweise“. Gemeint ist: Man nimmt jeden Vektor $u$ aus $U$ , addiert jedes Mal denselben Vektor $v$ , und sammelt alle Ergebnisse in einer Menge. Diese Menge heißt Nebenklasse.

Der senkrechte Strich in der Mengenklammer liest sich „für die gilt“. Ein Vektor $x$ liegt also genau dann in $v + U$ , wenn es ein $u$ in $U$ gibt mit $x = v + u$ . Diese Probe brauchen wir in b) und c) immer wieder.

Beispiel: U ist eine Gerade durch den Ursprung

Unser Unterraum: eine Gerade durch 0

U = \left\{ t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \,\middle|\, t \in \mathbb{R} \right\}, \qquad \text{z.\,B. } \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} \in U

Zum Zeichnen nehmen wir $V = \mathbb{R}^2$ , die Ebene. Als $U$ wählen wir alle Vielfachen $t \cdot (2, 1)$ des Vektors $(2, 1)$ , mit einer beliebigen Zahl $t$ . Platzsparend schreiben wir einen Vektor als Zeile: $(2, 1)$ meint den Vektor mit den Einträgen 2 und 1.

$U$ ist ein Unterraum: Die Summe zweier Vielfacher von $(2, 1)$ ist wieder ein Vielfaches, $s \cdot (2,1) + t \cdot (2,1) = (s+t) \cdot (2,1)$ , und ebenso jedes Vielfache eines Vielfachen. Mit $t = 0$ liegt der Nullvektor darin. In der Grafik ist $U$ die Gerade durch den Ursprung in Richtung $(2, 1)$ .

Aus Ü1 A3 („Geraden in der Ebene: Ursprung und Parallelität erkennen“): Eine Gerade

\{ p + t \cdot r \}

geht durch den Ursprung, wenn man den Aufpunkt

p = 0

wählen kann. Zwei Geraden mit derselben Richtung

r

sind parallel.

Nebenklassen: verschobene Unterräume

Die Aufgabe

Was v + U bedeutet

Beispiel: U ist eine Gerade durch den Ursprung

Nebenklasse in der Ebene

Abbildung 1Nebenklasse in der Ebene

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Was v + U bedeutet

Schritt 2Beispiel: U ist eine Gerade durch den Ursprung

Nebenklasse in der Ebene

Abbildung 1Nebenklasse in der Ebene

Die Aufgabe

Was v + U bedeutet

Beispiel: U ist eine Gerade durch den Ursprung