Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme angeben

Die Aufgabe

Geben Sie die Lösungsmengen der folgenden linearen Gleichungssysteme in der Form spezielle Lösung des inhomogenen Systems plus allgemeine Lösung des homogenen Systems an.

a) und b)

\text{a)}\ \begin{aligned} 2x_1 + 3x_2 &= 1 \\ x_1 + 2x_2 &= 0 \end{aligned} \qquad \text{b)}\ 3x_1 - x_2 = 2

c) und d)

\text{c)}\ \begin{aligned} x_1 + 3x_2 + x_3 &= 0 \\ x_2 - x_3 &= 1 \end{aligned} \qquad \text{d)}\ \begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 &= 0 \\ -x_1 + x_2 - x_3 &= 0 \\ x_1 + x_3 &= 0 \end{aligned}

e) und f)

\text{e)}\ \begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 &= 1 \\ x_1 + x_2 - x_3 - x_4 &= -1 \\ x_1 - x_2 - x_3 - x_4 &= 0 \end{aligned} \qquad \text{f)}\ x_1 + x_2 + x_3 - x_4 + x_5 = 1

Gegeben sind sechs Gleichungssysteme. Von jedem soll man alle Lösungen angeben, also die Lösungsmenge. Sie soll in einer bestimmten Form stehen: eine spezielle Lösung (ein einzelner Vektor, der alle Gleichungen des Systems erfüllt) plus die allgemeine Lösung des homogenen Systems. „Homogen“ heißt: Auf der rechten Seite aller Gleichungen steht 0.

So gehen wir vor:

Klären, wie die Lösungsmenge aussieht und warum die verlangte Form immer klappt.
Jedes System a) bis f) in einem eigenen Teil: als Matrix aufschreiben, mit Zeilenoperationen umformen, spezielle Lösung und Richtungsvektoren ablesen, Probe.
Am Ende alle sechs Ergebnisse zusammenfassen und typische Fehler nennen.

Merke: Lösungsmenge = eine spezielle Lösung + Spann der Lösungen des homogenen Systems. Der Spann von Vektoren sind alle ihre Vielfachen und Summen davon. Hat das System keine freie Unbekannte, besteht die Lösungsmenge aus einem einzigen Vektor.

Die gesuchte Form der Lösungsmenge

Form der Lösungsmenge von A x = b

L = \{\, x_s + y \mid A y = 0 \,\} = x_s + \langle v_1, \dots, v_k \rangle

Dabei ist $x_s$ die spezielle Lösung ( $A x_s = b$ ), und $v_1, \dots, v_k$ sind linear unabhängige Lösungen von $A y = 0$ , die alle anderen erzeugen.

Ein LGS schreibt man kurz als $A x = b$ . Dabei ist $A$ die Matrix der Zahlen vor den Unbekannten, $x$ der Vektor der Unbekannten und $b$ der Vektor der rechten Seiten. Die Lösungsmenge $L$ enthält alle Vektoren $x$ , die $A x = b$ erfüllen.

Das homogene System gehört zum selben $A$ , hat aber rechts nur Nullen: $A y = 0$ . Seine Lösungen kann man addieren und mit Zahlen malnehmen, ohne dass sie das System verlassen. Darum lassen sie sich als Spann einiger Vektoren $v_1, \dots, v_k$ schreiben. Der Spann $\langle v_1, \dots, v_k \rangle$ besteht aus allen Vektoren $s_1 v_1 + \dots + s_k v_k$ mit beliebigen Zahlen $s_i$ .

Aus Ü4 A3 („Ebene durch drei Punkte: Nebenklasse, Höhenformel, Spurgerade“): Ein Aufpunkt plus ein Spann beschreibt eine verschobene Ebene oder Gerade. Hier ist es genauso, nur in mehr Dimensionen.

Warum geht das? Ist $x_s$ eine Lösung von $A x = b$ und $y$ eine Lösung von $A y = 0$ , dann gilt $A(x_s + y) = A x_s + A y = b + 0 = b$ . Umgekehrt ist für jede Lösung $x$ der Unterschied $x - x_s$ eine Lösung des homogenen Systems, denn $A(x - x_s) = b - b = 0$ .

Das Verfahren: umformen, freie Unbekannte erkennen, ablesen

Aus dem Rang folgt die Zahl der Richtungsvektoren

\underbrace{n}_{\text{Unbekannte}} = \underbrace{\operatorname{Rang}(A)}_{\text{festgelegt}} + \underbrace{k}_{\text{frei}}

Jedes System wird als Tabelle $(A|b)$ geschrieben und mit Zeilenoperationen umgeformt, bis in jeder nicht-leeren Zeile eine führende 1 steht und in ihrer Spalte sonst nur Nullen. Dieses Verfahren heißt Gauß-Algorithmus (hier in der Form nach Gauß-Jordan).

Erlaubt sind drei Umformungen: zwei Zeilen vertauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich 0 malnehmen und ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren. Jede Zeile ist eine Gleichung; diese Umformungen ändern die Lösungen des Systems nicht. Die erweiterte Matrix $(A|b)$ hat links die Zahlen von $A$ und rechts nach einem Strich die von $b$ .

Der Rang von $A$ ist die Zahl der Zeilen, die nach dem Umformen nicht nur aus Nullen bestehen. Hat $A$ insgesamt $n$ Spalten (also $n$ Unbekannte), dann haben $\operatorname{Rang}(A)$ Unbekannte eine führende 1 in ihrer Spalte. Die übrigen $k = n - \operatorname{Rang}(A)$ Unbekannten sind frei: Man darf sie beliebig wählen und nennt sie dann $s$ , $t$ , … (Parameter). Die anderen ergeben sich daraus. Das ist die Regel der Umformung; es geht auch anders: Man darf jede Unbekannte frei wählen, nach der sich die übrigen eindeutig auflösen lassen (siehe b)).

Aus der Lösung liest man ab: Setzt man alle Parameter 0, bleibt die spezielle Lösung $x_s$ . Der Faktor vor jedem Parameter ist ein Richtungsvektor $v_i$ . Es gibt genau $k$ davon.

Merke: Ein System hat nur dann eine Lösung, wenn keine Zeile

0 = c

mit

c \neq 0

entsteht. Bei allen sechs Systemen hier passiert das nicht; das zeigt sich beim Umformen.

Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme angeben

Die Aufgabe

Die gesuchte Form der Lösungsmenge

Das Verfahren: umformen, freie Unbekannte erkennen, ablesen

Die sechs Lösungsmengen

Abbildung 1Die sechs Lösungsmengen

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Die gesuchte Form der Lösungsmenge

Schritt 2Das Verfahren: umformen, freie Unbekannte erkennen, ablesen

Die sechs Lösungsmengen

Abbildung 1Die sechs Lösungsmengen

Die Aufgabe

Die gesuchte Form der Lösungsmenge

Das Verfahren: umformen, freie Unbekannte erkennen, ablesen