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LAG · Übungsblatt 5 · Aufgabe 2

Elementare Umformungen ändern den Rang nicht

Beim Gauß-Algorithmus formt man Matrizen ständig um: Zeilen tauschen, mit einer Zahl malnehmen, Vielfache addieren. Hier beweisen wir, dass sich der Rang dabei nie ändert. Für Spalten zeigen wir: Der Spann der Spalten bleibt derselbe. Für Zeilen zeigen wir: Welche Spalten linear unabhängig sind, bleibt gleich. Rechts baut sich der Beweis Zeile für Zeile auf. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Wir lernten die folgenden elementaren Umformungen einer Matrix MM über KK kennen und wissen, dass diese den Rang der Matrix nicht ändern.

(1) Vertauschen von Zeilen (Spalten)

(2) Multiplikation einer Zeile (Spalte) mit k∈Kk \in K und k≠0k \neq 0

(3) Addition einer Zeile (Spalte) zu einer (mit kk multiplizierten) Zeile (Spalte).

Beweisen Sie diese Behauptung.

MM ist eine Matrix über einem Körper KK. Ein Körper ist ein Zahlenbereich, in dem man addieren, subtrahieren, multiplizieren und durch jede Zahl ungleich 0 teilen kann, zum Beispiel R\mathbb{R}. Eine elementare Umformung ist eine der drei Änderungen (1), (2), (3). Sie betrifft entweder Zeilen oder Spalten. Zu zeigen: Nach jeder dieser Umformungen hat die Matrix denselben Rang wie vorher. Das Skript stellt diesen Satz in Kapitel 3.3 auf und verweist für den Beweis auf die Übung.

Hinweis zu (3): Das Skript schreibt (3) in Kapitel 3.3 als zi:=k⋅zi+zjz_i := k \cdot z_i + z_j. Die Zielzeile ziz_i wird also mit kk malgenommen, dann wird eine Zeile zjz_j addiert. Bedingungen an kk und jj nennt es nicht. Ohne sie ist die Aussage falsch: Mit k=0k = 0 kann der Rang fallen. Sie gilt, wenn k≠0k \neq 0 und j≠ij \neq i ist. Wir beweisen zuerst die Grundform „zu ziz_i das kk-fache einer anderen Zeile zjz_j addieren“, wie sie der Gauß-Algorithmus benutzt. Im letzten Teil setzen wir die Form des Skripts aus (2) und dieser Grundform zusammen.

So gehen wir vor:

  1. Klären, was der Rang ist, und den Plan aufstellen.
  2. Ein Hilfssatz: Wann zwei Listen von Vektoren denselben Spann haben.
  3. Für (1), (2) und (3) zeigen: Der Spann bleibt gleich.
  4. Daraus folgt der Rang für Spalten; für Zeilen kommt ein eigenes Argument.
  5. Die Form des Skripts für (3) prüfen.

Was der Rang einer Matrix ist

Definition · Rang einer Matrix (Skript, Kapitel 3.1)

Die m×nm \times n-Matrix MM sei über dem Körper KK, z. B. K=RK = \mathbb{R}. Fasst man die Spalten von MM als Vektoren aus KmK^m auf, so erzeugen die Spalten einen Unterraum UmU_m von KmK^m. Die Dimension des Unterraumes dim⁡(Um)\dim(U_m) nennt man Rang der Matrix MM, kurz rang⁡(M)\operatorname{rang}(M) genannt.

Rang in Formeln
rang⁡(M)=dim⁡⟨s1,…,sn⟩\operatorname{rang}(M) = \dim \langle s_1, \ldots, s_n \rangle

Wer zeigen will, dass der Rang gleich bleibt, muss wissen, was der Rang ist. Das Skript definiert ihn über die Spalten. MM hat mm Zeilen und nn Spalten. Jede Spalte s1,…,sns_1, \ldots, s_n ist ein Vektor mit mm Einträgen, also ein Vektor aus KmK^m.

Alle Linearkombinationen dieser Spalten bilden ihren Spann ⟨s1,…,sn⟩\langle s_1, \ldots, s_n \rangle. Wir nennen ihn den Spaltenraum. Der Rang ist seine Dimension, also die Zahl der Vektoren in einer Basis des Spaltenraums.

Aus dem Skript, Kapitel 2.3 („Unterräume“): Eine Linearkombination von v1,…,vpv_1, \ldots, v_p ist eine Summe λ1v1+…+λpvp\lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_p v_p mit Zahlen λ1,…,λp∈K\lambda_1, \ldots, \lambda_p \in K. Der Spann (auch lineare Hülle, ⟨…⟩\langle \ldots \rangle) ist die Menge aller dieser Summen.
Aus dem Skript, Kapitel 2.4 („Basen, Dimension“): Eine Basis ist eine linear unabhängige Menge, die den Raum aufspannt. Die Dimension ist die Zahl ihrer Vektoren.

Rang als Zahl linear unabhängiger Spalten

Skript · Skript, Kapitel 3.1
dim⁡(Um)=rang⁡(M)=# der linear unabh. Spalten von M\dim(U_m) = \operatorname{rang}(M) = \#\ \text{der linear unabh. Spalten von } M

Das Zeichen #\# heißt „Anzahl“.

Das Skript formuliert die Definition gleich noch anders: Der Rang ist die Zahl der linear unabhängigen Spalten. Gemeint ist die größte Zahl von Spalten, die zusammen linear unabhängig sind. Das ist dieselbe Zahl wie die Dimension: Eine größte linear unabhängige Auswahl von Spalten spannt den Spaltenraum auf und ist damit eine Basis von ihm.

Diese Form brauchen wir für die Zeilenumformungen. Dort zeigen wir: Welche Spalten linear unabhängig sind, ändert sich nicht.

Aus Ü2 A4 („Lineare Unabhängigkeit im ℝ³ prüfen“): s1,…,srs_1, \ldots, s_r heißen linear unabhängig, wenn λ1s1+…+λrsr=0\lambda_1 s_1 + \ldots + \lambda_r s_r = 0 nur mit λ1=…=λr=0\lambda_1 = \ldots = \lambda_r = 0 geht.
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Der Plan

zwei Fälle

Abbildung 1Der Plan

zwei Fälle

  1. Spaltenumformung
  2. s1,…,sn ⟶ s1′,…,sn′s_1, \ldots, s_n \ \longrightarrow\ s'_1, \ldots, s'_nVoraussetzung
  3. Hilfssatz und Teile (1) bis (3)
    Spaltenraum von M′=Spaltenraum von M\text{Spaltenraum von } M' = \text{Spaltenraum von } M
  4. derselbe Raum hat dieselbe Dimension
    rang⁡(M′)=rang⁡(M)\operatorname{rang}(M') = \operatorname{rang}(M)gezeigt
  5. Zeilenumformung
  6. z1,…,zm ⟶ z1′,…,zm′z_1, \ldots, z_m \ \longrightarrow\ z'_1, \ldots, z'_mVoraussetzung
  7. Teil „Zurück zum Rang“
    λ1s1+…+λnsn=0  ⟺  λ1s1′+…+λnsn′=0\lambda_1 s_1 + \ldots + \lambda_n s_n = 0 \iff \lambda_1 s'_1 + \ldots + \lambda_n s'_n = 0
  8. dieselbe Zahl linear unabhängiger Spalten
    rang⁡(M′)=rang⁡(M)\operatorname{rang}(M') = \operatorname{rang}(M)gezeigt
Legendegerade gemeintZielDer Plan des Beweises.