Wahr oder falsch: lineare Abbildungen

Die Aufgabe

Wahr oder falsch? Bitte mit Begründung!

Sei $f$ eine lineare Abbildung eines reellen Vektorraumes $U$ in einen reellen Vektorraum $V$ . Dann gilt:

$f(0) = 0$
$f(-u) = -f(u)\ \ \forall u \in U$
$f(\lambda u) = f(\lambda)\cdot f(u)\ \ \forall u \in U,\ \forall \lambda \in \mathbb{R}$ .

Sei $W$ der Kern einer linearen Abbildung $f\colon U \to V$ . Dann gilt

$W = \{v \in V \mid f(v) = 0\}$
$W = \{u \in U \mid f(u) = 0\}$
$W = \{f(u) \mid u = 0\}$ .

Der Rang einer linearen Abbildung $f\colon U \to V$ ist gleich

dim(u)
dim(V)
dim(Kern(f))
dim(Bild(f)).

In k) steht im Original „dim(u)“ mit kleinem u. Gemeint ist $\dim(U)$ , die Dimension des Raums $U$ .

Gegeben ist eine Abbildung $f$ von einem Vektorraum $U$ in einen Vektorraum $V$ . Man schreibt das $f\colon U \to V$ : $f$ nimmt einen Vektor $u$ aus $U$ und liefert einen Vektor $f(u)$ in $V$ . „Reell“ heißt: Die Zahlen, mit denen man Vektoren malnimmt, sind reelle Zahlen.

Die Aufgabe hat drei Gruppen. In e) bis g) geht es um Rechenregeln für $f$ , in h) bis j) um den Kern, in k) bis n) um den Rang. Die Teile heißen im Original e) bis n), nicht a) bis j); diese Buchstaben behalten wir bei, damit sie zum Blatt passen.

Merke: Eine Aussage über „eine lineare Abbildung“ ist nur wahr, wenn sie für jede lineare Abbildung gilt. Dafür braucht man eine Begründung, die für alle passt. Für „falsch“ reicht ein konkretes Gegenbeispiel.

So gehen wir vor:

Wiederholen, was „linear“ heißt, dann e), f) und g).
Den Kern erklären, dann h), i) und j).
Bild, Dimension und Rang erklären, dann k), l), m) und n).

Was „linear“ heißt

Definition · lineare Abbildung

$f\colon U \to V$ heißt linear, wenn für alle $u, w \in U$ und alle $\lambda \in \mathbb{R}$ gilt:

f(u + w) = f(u) + f(w) \qquad \text{(Additivität)}

f(\lambda u) = \lambda\, f(u) \qquad \text{(Homogenität)}

Alle zehn Teile drehen sich um lineare Abbildungen. Darum steht die Definition zuerst. Eine Abbildung heißt linear, wenn sie zwei Regeln erfüllt.

Additivität: Man darf erst addieren und dann abbilden, oder erst abbilden und dann addieren. Es kommt dasselbe heraus.

Homogenität: Ein Faktor $\lambda$ (eine reelle Zahl, gesprochen „lambda“) darf vor das $f$ gezogen werden.

Aus Ü6 A1 („Lineare Abbildung: Matrix, Kern, Bild, Umkehrung“): Dort wird für eine konkrete Abbildung gezeigt, dass sie beide Regeln erfüllt. Das ist der Nachweis „

f

ist linear“.

Mehr als diese zwei Regeln weiß man über $f$ nicht. Jede Begründung in e) bis g) muss also aus ihnen kommen.

e) f(0) = 0: wahr

Additivität mit u = w = 0

\begin{aligned} f(0) &= f(0 + 0) && \text{weil } 0 + 0 = 0 \\ &= f(0) + f(0) && \text{Additivität} \\ \Rightarrow\ 0 &= f(0) && \text{auf beiden Seiten } f(0) \text{ abziehen} \end{aligned}

Die Null links ist der Nullvektor von $U$ , die Null rechts der Nullvektor von $V$ . Die Aussage sagt: $f$ schickt die Null immer auf die Null.

Der Trick: Die Null ändert sich nicht, wenn man sie zu sich selbst addiert, also $0 = 0 + 0$ . Dann hilft die Additivität aus Schritt 1.

Am Ende steht $f(0) = f(0) + f(0)$ . Auf beiden Seiten wird $f(0)$ abgezogen. Das darf man, weil jeder Vektor in $V$ einen Gegenvektor hat. Links bleibt $0$ , rechts $f(0)$ .

Die Begründung nutzt nur die Additivität. Sie gilt also für jede lineare Abbildung: wahr.

Wahr oder falsch: lineare Abbildungen

Die Aufgabe

Was „linear“ heißt

e) f(0) = 0: wahr

Die zehn Urteile und f: U → V

Abbildung 1Die zehn Urteile und f: U → V

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Was „linear“ heißt

Schritt 2e) f(0) = 0: wahr

Die zehn Urteile und f: U → V

Abbildung 1Die zehn Urteile und f: U → V

Die Aufgabe

Was „linear“ heißt

e) f(0) = 0: wahr