Darstellungsmatrix und Inverse einer linearen Abbildung

Die Aufgabe

Sei die Abbildung $f: U=\mathbb{R}^3 \to V=\mathbb{R}^3$ wie folgt definiert:

f: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x - y + z \\ -6y + 12z \\ -2x + 2y - z \end{pmatrix}.

a) Zeigen Sie, dass $f$ eine lineare Abbildung ist.

b) Berechnen Sie die Darstellungsmatrix $A$ von $f$ bezüglich der Basis

\left\{ \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \right\}

für Urbildraum U und Bildraum V.

c) Berechnen Sie die Darstellungsmatrix $B$ der inversen Abbildung $f^{-1}$ .

Gegeben ist eine Regel $f$ , die jeden Vektor $(x, y, z)$ des Raums $\mathbb{R}^3$ in einen neuen Vektor desselben Raums umrechnet. Jede Komponente des Ergebnisses ist eine Summe aus $x$ , $y$ und $z$ mit festen Zahlen davor.

Die Aufgabe nennt $U$ und $V$ : $U$ ist der Raum, aus dem $f$ die Vektoren nimmt (Urbildraum), $V$ der Raum, in dem die Ergebnisse liegen (Bildraum). Beides ist hier der $\mathbb{R}^3$ . Die Basisvektoren sind die drei Vektoren $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ , $(0,0,1)$ : Aus ihnen lässt sich jeder Vektor des $\mathbb{R}^3$ zusammensetzen (Schritt 5 erklärt das genauer).

Gesucht sind drei Dinge:

Der Nachweis, dass $f$ linear ist. Das heißt: $f$ verträgt Summen von Vektoren und Vielfache von Vektoren (genau erklärt in Schritt 1).
Die Darstellungsmatrix $A$ : eine Tabelle von Zahlen, die $f$ vollständig beschreibt. Man baut sie aus den Bildern der drei Basisvektoren auf.
Die Darstellungsmatrix $B$ der Umkehrabbildung $f^{-1}$ , also der Abbildung, die $f$ rückgängig macht.

Merke: Die Spalten der Darstellungsmatrix sind die Bilder der Basisvektoren. Die Matrix der Umkehrabbildung ist die inverse Matrix

A^{-1}

So gehen wir vor:

Teil a): die beiden Seiten der Bedingung für „linear“ ausrechnen und vergleichen.
Teil b): $f$ auf $e_1$ , $e_2$ , $e_3$ anwenden und die Ergebnisse als Spalten nebeneinanderschreiben.
Teil c): $A$ mit dem Gauß-Verfahren invertieren und prüfen, dass $f^{-1}$ wirklich $f$ rückgängig macht.

Was „linear“ verlangt

Die Bedingung für „linear“

f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v) \quad \text{für alle } u, v \in \mathbb{R}^3,\ \lambda \in \mathbb{R}

Wir wählen beliebige Vektoren und eine beliebige Zahl:

Beliebige Wahl

u = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}, \quad v = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}, \quad \lambda \in \mathbb{R}

Eine Abbildung $f$ heißt linear, wenn man erst rechnen und dann abbilden darf, oder erst abbilden und dann rechnen. Beides muss dasselbe ergeben, für alle Vektoren $u$ , $v$ und alle Zahlen $\lambda$ .

Das ist eine einzige Bedingung statt der zwei einzelnen („Summe“ und „Vielfaches“). Sie enthält beide Regeln: Setzt man $\lambda = 1$ , bleibt $f(u+v) = f(u) + f(v)$ . Setzt man $v = 0$ , bleibt $f(\lambda u) = \lambda f(u)$ (denn $\lambda = 1$ und $u = v = 0$ ergeben $f(0) = f(0) + f(0)$ , also $f(0) = 0$ ). Umgekehrt ergeben beide Regeln zusammen $f(\lambda u + v) = f(\lambda u) + f(v) = \lambda f(u) + f(v)$ .

Wir können nicht alle Vektoren einzeln probieren. Darum wählen wir beliebige Vektoren mit Buchstaben als Einträgen und rechnen allgemein. Was dann gilt, gilt für jede Wahl.

Linke Seite: λu + v in f einsetzen

Der Vektor λu + v

\lambda u + v = \begin{pmatrix} \lambda x_1 + x_2 \\ \lambda y_1 + y_2 \\ \lambda z_1 + z_2 \end{pmatrix}

In die Regel von f eingesetzt

f(\lambda u + v) = \begin{pmatrix} (\lambda x_1 + x_2) - (\lambda y_1 + y_2) + (\lambda z_1 + z_2) \\ -6(\lambda y_1 + y_2) + 12(\lambda z_1 + z_2) \\ -2(\lambda x_1 + x_2) + 2(\lambda y_1 + y_2) - (\lambda z_1 + z_2) \end{pmatrix}

Erst wird $\lambda u + v$ gebildet: Jeder Eintrag von $u$ wird mit $\lambda$ multipliziert, dann wird der Eintrag von $v$ addiert.

Dann wird dieser Vektor in die Regel von $f$ eingesetzt. Überall, wo dort $x$ steht, kommt $\lambda x_1 + x_2$ hin. Ebenso für $y$ und $z$ . Die Klammern bleiben stehen, damit die Zahlen vor $y$ und $z$ für beide Summanden gelten.

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Was „linear“ verlangt

Schritt 2Linke Seite: λu + v in f einsetzen

Die Aufgabe

Was „linear“ verlangt

Linke Seite: λu + v in f einsetzen