Figuren transformieren: Matrix A und ihre Inverse B

Eine Ecke lesen wir ab, indem wir von ihr senkrecht zur x-Achse und zur y-Achse laufen. Die Zahl an der x-Achse ist der x-Wert, die an der y-Achse der y-Wert. Beide Zahlen zusammen heißen die Koordinaten der Ecke.

Das linke Dreieck hat die Ecken $(1, 1)$, $(2, 1)$ und $(1, 2)$. Wir nennen sie $P_1$, $P_2$ und $P_3$. Der rechte Winkel liegt bei $P_1$: Von dort geht eine Kathete (eine Seite am rechten Winkel) nach rechts und eine nach oben. Beide sind 1 lang, das Dreieck ist also gleichschenklig (zwei Seiten sind gleich lang).

Das rechte Dreieck hat die Ecken $(0, 2)$, $(1, 2)$ und $(1, 4)$. Der rechte Winkel liegt bei $(1, 2)$: Eine Kathete geht von dort 1 nach links, die andere 2 nach oben. Die beiden Katheten sind hier verschieden lang.

Eine Abbildung muss für jede Ecke wissen, wo sie landet. Rechnerisch ginge jede der sechs Zuordnungen von drei Ecken auf drei Ecken. Wir wollen aber nur Drehen, Spiegeln, Verschieben und Strecken längs der Achsen. Diese Abbildungen schicken zwei Strecken, die senkrecht aufeinander stehen und achsenparallel liegen, wieder auf senkrechte Strecken. Der rechte Winkel links muss also auf einen rechten Winkel rechts gehen. Den gibt es rechts nur bei $(1, 2)$. Die anderen vier Zuordnungen würden das Dreieck zusätzlich scheren (schief ziehen); das ist keine dieser vier Abbildungen. Also muss $P_1$ auf $(1, 2)$ gehen. Diese Ecke nennen wir $Q_1$.

Für $P_2$ und $P_3$ bleiben die Ecken $(1, 4)$ und $(0, 2)$. Weil beide Katheten links gleich lang sind, gehen beide Verteilungen. Die Musterlösung nimmt $P_2 \mapsto (1, 4)$ und $P_3 \mapsto (0, 2)$. Wir nennen diese Bilder $Q_2 = (1, 4)$ und $Q_3 = (0, 2)$ und rechnen damit. Die andere Verteilung rechnen wir am Ende als Ergänzung (Schritte 13 und 14).

Das Zeichen $\mapsto$ liest sich „wird abgebildet auf“.