Basiswechsel: Matrix und Bild in einer neuen Basis

Die Aufgabe

In kartesischen Koordinaten des $\mathbb{R}^2$ laute die Matrix einer linearen Abbildung $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ :

A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}8 & 0{,}7 \end{pmatrix}

Die beiden Vektoren

b_1 = \begin{pmatrix} -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad b_2 = \begin{pmatrix} 3/\sqrt{73} \\ 8/\sqrt{73} \end{pmatrix}

bilden eine andere Basis $B'$ .

Wie lautet die Matrix $A'$ der Abbildung $f$ dargestellt in der neuen Basis $B'$ ?
Welches Bild hat der in kartesischen Koordinaten angegebene Vektor $x = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ in beiden Basen? Führen Sie die Transformation in beiden Basissystemen aus und vergleichen Sie die Ergebnisse.

Gegeben ist eine lineare Abbildung $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ : Sie macht aus jedem Pfeil $x$ der Ebene einen neuen Pfeil $f(x)$ . Ihre Matrix $A$ ist in den gewohnten kartesischen Koordinaten angegeben, also bezüglich der Basis $e_1 = \binom{1}{0}$ , $e_2 = \binom{0}{1}$ . Eine Basis ist ein Paar von Pfeilen, mit denen sich jeder Punkt der Ebene genau auf eine Weise als „so viel vom ersten Pfeil plus so viel vom zweiten“ schreiben lässt. Diese beiden Zahlen heißen die Koordinaten des Punktes in dieser Basis.

Die Aufgabe gibt zwei neue Pfeile $b_1, b_2$ vor, die ebenfalls eine Basis $B'$ bilden. Gesucht ist erstens die Matrix $A'$ , die $f$ in der Basis $B'$ beschreibt. Zweitens soll der Vektor $x = (-2, 2)$ auf beiden Wegen abgebildet werden: einmal mit $A$ in kartesischen Koordinaten, einmal mit $A'$ in $B'$ -Koordinaten. Dann werden beide Ergebnisse verglichen.

Merke: Die Matrix

B'

mit

b_1, b_2

als Spalten übersetzt Koordinaten aus der neuen Basis in kartesische. Die Matrix der Abbildung in der neuen Basis ist

A' = B'^{-1}\, A\, B'

So gehen wir vor:

Teil a): $B'$ aufstellen, ihre Inverse berechnen, dann $A'$ ausrechnen.
Teil a): deuten, warum $A'$ so einfach aussieht.
Teil b): $x$ in kartesischen Koordinaten abbilden und in $B'$ -Koordinaten umrechnen.
Teil b): in $B'$ -Koordinaten abbilden, zurückrechnen und vergleichen.

Die Idee: übersetzen, abbilden, zurückübersetzen

Übersetzen: B′-Koordinaten c ↦ kartesische Koordinaten v

v = c_1 b_1 + c_2 b_2 = B'\, c \qquad \text{mit } B' = \begin{pmatrix} b_1 & b_2 \end{pmatrix}

Der Dreierweg für A′

c \;\xrightarrow{\;B'\;}\; v \;\xrightarrow{\;A\;}\; A v \;\xrightarrow{\;B'^{-1}\;}\; B'^{-1} A v \qquad \Rightarrow \qquad A' = B'^{-1}\, A\, B'

Ein Pfeil hat in jeder Basis andere Koordinaten, bleibt aber derselbe Pfeil. Die Matrix $A$ versteht nur kartesische Koordinaten. Die gesuchte Matrix $A'$ soll dagegen $B'$ -Koordinaten annehmen und $B'$ -Koordinaten des Bildes liefern.

Dazu schalten wir drei Schritte hintereinander. Zuerst übersetzen wir die $B'$ -Koordinaten in kartesische (Matrix $B'$ ). Dann bilden wir mit $A$ ab. Zuletzt übersetzen wir das Ergebnis zurück in $B'$ -Koordinaten (Matrix $B'^{-1}$ , die Umkehrung von $B'$ ). Das Produkt wird von rechts nach links gelesen: erst $B'$ , dann $A$ , dann $B'^{-1}$ .

Aus Ü3 A1 („Koordinaten bezüglich einer Basis berechnen“): Die Koordinaten

(c_1, c_2)

eines Vektors

v

in der Basis

b_1, b_2

sind die Zahlen mit

v = c_1 b_1 + c_2 b_2

Die Matrix B′ aufstellen

Spalten sind b₁ und b₂

B' = \begin{pmatrix} b_1 & b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{3}{\sqrt{73}} \\[2ex] \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{8}{\sqrt{73}} \end{pmatrix}

$B'$ bekommt $b_1$ als erste und $b_2$ als zweite Spalte. Das ist die Matrix, die aus $B'$ -Koordinaten kartesische macht: Der Koordinatenvektor $(1, 0)$ wird zu $b_1$ , der Koordinatenvektor $(0, 1)$ zu $b_2$ .

Beide Vektoren haben die Länge 1. Sie stehen aber nicht senkrecht aufeinander, denn $b_1 \cdot b_2 = \dfrac{-3 + 8}{\sqrt{2}\,\sqrt{73}} = \dfrac{5}{\sqrt{146}} \neq 0$ . Deshalb ist die Inverse von $B'$ nicht einfach die gespiegelte Matrix; wir müssen sie ausrechnen.

Basiswechsel: Matrix und Bild in einer neuen Basis

Die Aufgabe

Die Idee: übersetzen, abbilden, zurückübersetzen

Die Matrix B′ aufstellen

Die Ebene mit beiden Basen

Abbildung 1Die Ebene mit beiden Basen

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Die Idee: übersetzen, abbilden, zurückübersetzen

Schritt 2Die Matrix B′ aufstellen

Die Ebene mit beiden Basen

Abbildung 1Die Ebene mit beiden Basen

Die Aufgabe

Die Idee: übersetzen, abbilden, zurückübersetzen

Die Matrix B′ aufstellen