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LAG · Übungsblatt 8 · Aufgabe 1

Zehn Rechenregeln für Determinanten an 2×2-Matrizen nachweisen

Die Determinante ist eine Zahl, die man aus einer quadratischen Matrix berechnet. Für sie gibt es zehn Rechenregeln. Wir weisen alle zehn für 2×2-Matrizen nach. Dafür setzen wir allgemeine Einträge a11,…,a22a_{11}, \dots, a_{22} ein und rechnen beide Seiten der Regeln aus; wo eine Regel aus schon bewiesenen folgt, nutzen wir diese. Rechts steht die Matrix, um die es gerade geht, und die Liste der Regeln. Links steht der Lösungsweg. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Betrachtet werden die Eigenschaften bzw. Rechenregeln für Determinanten. Hier die Liste aus der Vorlesung. Seien AA und BB quadratische n×nn \times n-Matrizen über dem Körper K=RK = \mathbb{R}.

Nr.RegelErläuterung
1.)det⁡(A)=det⁡(AT)\det(A) = \det(A^T)Transponieren der Matrix ändert die det nicht
2.)det⁡(A⋅B)=det⁡(A)⋅det⁡(B)\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)Determinante des Produktes gleich Produkt der Determinanten
3.)det⁡(k⋅A)=kn⋅det⁡(A)\det(k \cdot A) = k^n \cdot \det(A)k∈Rk \in \mathbb{R}, Faktor bei der Matrix geht n-fach in die det ein
4.)det⁡(A)=0⇔rang⁡(A)<n\det(A) = 0 \Leftrightarrow \operatorname{rang}(A) < nEine Matrix mit „weniger Information“ hat die det Null
5.)det⁡(A)≠0⇔rang⁡(A)=n\det(A) \neq 0 \Leftrightarrow \operatorname{rang}(A) = nEine Matrix mit „voller Information“ hat die det ungleich Null
6.)det⁡(E)=1\det(E) = 1det(Einheitsmatrix) = 1
7.)det⁡(A−1)=1/(det⁡(A))\det(A^{-1}) = 1/(\det(A))Kehrwert der Matrix (Inverse) erzeugt Kehrwert der det
8.)Eine Zeile (Spalte) von AA mit kk multiplizieren ⇒k⋅det⁡(A)\Rightarrow k \cdot \det(A)Elementare Umformung
9.)Zwei Zeilen (Spalten) von AA vertauschen ⇒−det⁡(A)\Rightarrow -\det(A)Elementare Umformung
10.)Ein Vielfaches einer Zeile (Spalte) zu einer anderen addieren ⇒det⁡(A)\Rightarrow \det(A)Elementare Umformung

Zeigen Sie die Gültigkeit dieser Regeln für 2×2-Matrizen

A=[a11a12a21a22].A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}.

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Eine 2×2-Matrix hat zwei Zeilen und zwei Spalten. Der Eintrag aija_{ij} steht in Zeile ii und Spalte jj; a21a_{21} steht also in Zeile 2, Spalte 1. Eine Matrix heißt quadratisch, wenn sie gleich viele Zeilen und Spalten hat. Diese Zahl heißt in den Regeln nn. Bei uns ist immer n=2n = 2. „Über dem Körper K=RK = \mathbb{R}“ heißt: Alle Einträge sind reelle Zahlen, und kk ist auch eine reelle Zahl.

Die Abkürzung det⁡\det steht für Determinante, rang⁡\operatorname{rang} für den Rang. Beide Begriffe erklären wir, wenn wir sie brauchen. „Für alle 2×2-Matrizen zeigen“ heißt: Wir dürfen keine Beispielzahlen einsetzen. Wir rechnen mit Buchstaben, dann gilt das Ergebnis für jede Wahl der Zahlen.

Zeichen in der Tabelle: ⇒\Rightarrow heißt „daraus folgt“. ⇔\Leftrightarrow heißt „genau dann, wenn“ (es gilt in beide Richtungen). ≠\neq heißt „ungleich“. ATA^T ist AA mit getauschten Zeilen und Spalten, A−1A^{-1} die Inverse, EE die Einheitsmatrix. Diese drei Matrizen und die elementaren Umformungen erklären wir, wenn sie dran sind.

Merke: Eine Regel „linke Seite = rechte Seite“ ist bewiesen, wenn beide Seiten nach dem Ausmultiplizieren genau dieselben Summanden haben. So zeigen wir die Regeln 1–3, 6 und 8–10. Für 4, 5 und 7 argumentieren wir anders (siehe Liste unten).

So gehen wir vor:

  1. Die Formel für die Determinante einer 2×2-Matrix aufschreiben.
  2. Regeln 1–3: Transponieren, Produkt, Faktor; jeweils einsetzen und ausmultiplizieren.
  3. Regeln 4–5: Determinante und Rang; hier argumentieren wir mit den Zeilen.
  4. Regeln 6–7: Einheitsmatrix und Inverse.
  5. Regeln 8–10: die drei elementaren Umformungen, erst für Zeilen, dann für Spalten.

Die Formel für die 2×2-Determinante

Determinante einer 2×2-Matrix
det⁡(A)=det⁡[a11a12a21a22]=a11⋅a22−a12⋅a21\det(A) = \det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}
Genauso für B
det⁡(B)=det⁡[b11b12b21b22]=b11⋅b22−b12⋅b21\det(B) = \det \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} = b_{11} \cdot b_{22} - b_{12} \cdot b_{21}

Alle zehn Regeln handeln von det⁡(A)\det(A). Darum brauchen wir zuerst die Formel. Für eine 2×2-Matrix ist die Determinante: Produkt der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) minus Produkt der Nebendiagonale (von rechts oben nach links unten).

Mit dieser einen Formel rechnen wir alle Regeln nach. Für eine zweite Matrix BB gilt sie genauso, mit bb statt aa.

Regel 1: det(Aᵀ) = det(A)

Zeilen und Spalten getauscht
AT=[a11a21a12a22]A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix}
Formel aus Schritt 1 auf Aᵀ angewendet
det⁡(AT)=a11⋅a22−a21⋅a12=a11⋅a22−a12⋅a21=det⁡(A)  ✓\det(A^T) = a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} = \det(A) \;\checkmark

Die transponierte Matrix ATA^T entsteht, wenn man Zeilen und Spalten tauscht: Die erste Zeile von AA wird die erste Spalte von ATA^T. Dabei tauschen a12a_{12} und a21a_{21} die Plätze; die Diagonale bleibt stehen.

In der Formel kommen a12a_{12} und a21a_{21} nur als Produkt vor. Beim Multiplizieren ist die Reihenfolge egal (a21⋅a12=a12⋅a21a_{21} \cdot a_{12} = a_{12} \cdot a_{21}). Darum ändert sich nichts.

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Matrix und Regeln

die Matrix des Schritts, darunter die zehn Regeln

Abbildung 1Matrix und Regeln

die Matrix des Schritts, darunter die zehn Regeln

A
a₁₁a₁₂a₂₁a₂₂
det(A) = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁
  1. 1.)det(Aᵀ) = det(A)
  2. 2.)det(A·B) = det(A)·det(B)
  3. 3.)det(k·A) = kⁿ·det(A), hier k²
  4. 4.)det(A) = 0 ⇔ rang(A) < n
  5. 5.)det(A) ≠ 0 ⇔ rang(A) = n
  6. 6.)det(E) = 1
  7. 7.)det(A⁻¹) = 1/det(A)
  8. 8.)Zeile mal k ⇒ k·det(A)
  9. 9.)Zwei Zeilen tauschen ⇒ −det(A)
  10. 10.)Vielfaches einer Zeile addieren ⇒ det(A)
Legendegeänderte Einträge, Regel des SchrittsOben die allgemeine 2×2-Matrix A, darunter die zehn Regeln, die wir für sie nachweisen.