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LAG · Übungsblatt 8 · Aufgabe 4

Determinante bleibt beim Basiswechsel gleich

Zu zeigen ist, dass die Determinante gleich bleibt, wenn man eine Matrix AA von links mit XX und von rechts mit der inversen Matrix X−1X^{-1} multipliziert. Das ist ein kurzer Beweis. Rechts baut er sich Zeile für Zeile auf, am Pfeil steht jeweils die Regel. Solche Matrizen X⋅A⋅X−1X \cdot A \cdot X^{-1} heißen zu AA ähnlich. Sie beschreiben dieselbe lineare Abbildung in einer anderen Basis (Basiswechsel). Der Beweis zeigt: Die Determinante hängt nicht von der Basis ab. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran.

Die Aufgabe

Seien AA und XX reelle n×nn \times n-Matrizen (nn Zeilen und nn Spalten), wobei XX regulär sei. Zeigen Sie, dass gilt:

det⁡(A)=det⁡(X⋅A⋅X−1)=det⁡(X−1⋅A⋅X).\det(A) = \det(X \cdot A \cdot X^{-1}) = \det(X^{-1} \cdot A \cdot X).

Gegeben sind zwei quadratische Matrizen AA und XX mit reellen Einträgen. XX ist regulär: Es gibt eine inverse Matrix X−1X^{-1} mit X⋅X−1=EX \cdot X^{-1} = E. EE ist die Einheitsmatrix (Einsen auf der Diagonale, sonst Nullen). Gezeigt werden soll: Die Determinanten von AA, X⋅A⋅X−1X \cdot A \cdot X^{-1} und X−1⋅A⋅XX^{-1} \cdot A \cdot X sind gleich.

Der Beweis benutzt die Produktregel, det⁡(E)=1\det(E) = 1, die Kehrwertregel und das Kommutativgesetz. Wir nennen sie beim Namen, sobald sie gebraucht werden. Die drei wichtigsten:

  1. Produktregel: det⁡(B⋅C)=det⁡(B)⋅det⁡(C)\det(B \cdot C) = \det(B) \cdot \det(C).
  2. Kehrwertregel: det⁡(X−1)=1/det⁡(X)\det(X^{-1}) = 1 / \det(X). Sie wird in Teil a) bewiesen.
  3. Kommutativgesetz der Multiplikation in ℝ: x⋅y=y⋅xx \cdot y = y \cdot x für reelle Zahlen.

Weg: a) die Kehrwertregel zeigen, b) det⁡(X⋅A⋅X−1)=det⁡(A)\det(X \cdot A \cdot X^{-1}) = \det(A), c) det⁡(X−1⋅A⋅X)=det⁡(A)\det(X^{-1} \cdot A \cdot X) = \det(A).

Merke: Die Determinante macht aus einer Matrix eine einzelne Zahl. Mit Zahlen darf man in jeder Reihenfolge multiplizieren, mit Matrizen nicht.

Ausgangspunkt: die Definition der Inversen

Definition der inversen Matrix
X⋅X−1=EX \cdot X^{-1} = E

Der Beweis braucht det⁡(X−1)\det(X^{-1}) als Zahl. Wir kennen nur eine Eigenschaft von X−1X^{-1}: Sie ist die Matrix, die XX rückgängig macht. Beide Produkte X⋅X−1X \cdot X^{-1} und X−1⋅XX^{-1} \cdot X ergeben die Einheitsmatrix EE.

Aus Ü7 A3 („Inverse eines Produkts: (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹“): Die inverse Matrix X−1X^{-1} wird auch in Ü7 A3 benutzt. Sie erfüllt X⋅X−1=EX \cdot X^{-1} = E und X−1⋅X=EX^{-1} \cdot X = E.

Auf beiden Seiten die Determinante bilden

det⁡(X⋅X−1)=det⁡(E)\det(X \cdot X^{-1}) = \det(E)

Zwei gleiche Matrizen haben dieselbe Determinante. Wir bilden darum links und rechts die Determinante. Die Gleichung bleibt wahr.

Noch 13 Schritte bis zum Ergebnis
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Beweis der Kehrwertregel

Zeile für Zeile

Abbildung 1Beweis der Kehrwertregel

Zeile für Zeile

  1. X⋅X−1=EX \cdot X^{-1} = E
  2. auf beiden Seiten die Determinante bilden
    det⁡(X⋅X−1)=det⁡(E)\det(X \cdot X^{-1}) = \det(E)
  3. Produktregel
    det⁡(X)⋅det⁡(X−1)=det⁡(E)\det(X) \cdot \det(X^{-1}) = \det(E)
  4. Determinante der Einheitsmatrix: det(E) = 1
    det⁡(X)⋅det⁡(X−1)=1\det(X) \cdot \det(X^{-1}) = 1
  5. ein Produkt von Zahlen ist 1: kein Faktor ist 0, durch det(X) teilen
    det⁡(X−1)=1det⁡(X), det⁡(X)≠0\det(X^{-1}) = \dfrac{1}{\det(X)}, \ \det(X) \neq 0gezeigt
Legende gerade gemeint Ziel (gezeigt) Beweis der Kehrwertregel.